四川省外国语学校2024学年高三保温练习(二)数学试题

四川省外国语学校2024学年高三保温练习（二）数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．两圆()22
4x a y ++=和()
2
2
1x y b +-=相外切，且0ab ≠，则22
2
2
a b a b +的最大值为（ ） A ．
94
B ．9
C ．
13
D ．1
2．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3
π
的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )
A ．2935,2424⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ B ．2935,2424⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．2935,2424⎛⎤
⎥⎝⎦
3．函数()2f x ax =-与()x
g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．,4
e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．,2
e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．(]
,e -∞ D ．(
2
,e ⎤-∞⎦
4．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( )
A 1
B ．
1
2
C 1
D ．
1
2
6．已知函数()0)f x x x =->，()x
g x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ）
A ．123x x x <<
B ．213x x x <<
C ．231x x x <<
D ．312x x x <<
7．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A ．
()1
12
n n + B ．
()1
312
n n - C ．2n n 1-+ D ．222n n -+
8．设双曲线22
:1916
x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则
AFB △的面积为（ ）
A ．
3215
B ．
6415
C ．5
D ．6
9．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2
2||z z z
+=（ ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i --
D ．1i -+
10．已知函数12
12log ,18()2,12x x x f x x ⎧
+≤<⎪
=⎨⎪≤≤⎩
，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2
ln 20.69,ln 20.48≈≈
A ．
12
B ．
24
C ．2log 3
D ．
22
11．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．执行如图所示的程序框图，若输出的3
10
S =
，则①处应填写（ ）
A ．3?k <
B ．3?k
C ．5?k
D ．5?k <
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数254,0
()22,0
x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．
14．已知实数满足则的最大值为________.
15．若满足3
2x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则目标函数2z y x =-的最大值为______.
16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足2n n S a +=-，则数列{}n a 的通项n a =_______． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知()
2
:,41p x R m x x ∀∈+>；2:[2,8],log 10q x m x ∃∈+.
（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若p q ⌝∨为真命题且p q ⌝∧为假命题，求实数m 的取值范围.
18．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦距为2，且过点(2,0)P ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设F 为C 的左焦点，点M 为直线4x =-上任意一点，过点F 作MF 的垂线交C 于两点A ，B （ⅰ）证明：OM 平分线段AB （其中O 为坐标原点）； （ⅱ）当
||
||
MF AB 取最小值时，求点M 的坐标． 19．（12分）某企业现有A ．B 两套设备生产某种产品，现从A ，B 两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在[)20,40内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是从A 设备抽取的样本频率分布直方图，表1是从B 设备抽取的样本频数分布表. 图1：A 设备生产的样本频率分布直方图
表1：B 设备生产的样本频数分布表
质量指标值 [15,20)
[20,25)
[)25,30
[)30,35
[)35,40
[)40,45
频数
2
18
48
14
16
2
（1）请估计A ．B 设备生产的产品质量指标的平均值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件利润240元；质量指标值落在[)20,25或[)30,35内的定为二等品，每件利润180元；其它的合格品定为三等品，每件利润120元.根据图1、表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.企业由于投入资金的限制，需要根据A ，B 两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？
20．（12分）如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，CB 2GF,BF CF ==.
（1）求证：AB CG ⊥；
（2）若BC CF =，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值. 21．（12分）已知函数2
()ln 3f x x ax x =+-（a ∈R ）
（1）函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2y =-，求函数()f x 的极值；
（2）当1a =时，对于任意[]12,1,10x x ∈，当21x x >时，不等式()()()211221
m x x f x f x x x -->恒成立，求出实数m 的
取值范围.
22．（10分）在ABC ∆中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，记ABC ∆的面积为S ，且2S AB AC =⋅． （1）求角A 的大小； （2）若7c =，cos 4
5
B =
，求a 的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解题分析】
由两圆相外切，得出229a b +=，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【题目详解】
因为两圆()2
24x a y ++=和()2
21x y b +-=相外切
3=，即229a b +=
()2
22222
229819249
9
a a a a
b a b ⎛
⎫--+
⎪-⎝⎭=
=
+ 当2
92a =时，22
22
a b a b
+取最大值8119494⨯= 故选：A 【题目点拨】
本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题. 2、A 【解题分析】 根据题意，2cos sin 33π
πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，求出6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出ω
的取值范围. 【题目详解】
已知()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3
π
的交点， 则2cos
sin 33π
πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
， 225,333πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
，
2536ππ
ϕ∴
+=，6
πϕ∴=， ()sin 26g x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭，
若函数()g x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
倍， 则sin 26y x πω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 所以当[0,2]x π时，2,4666x π
π
πωπω⎡⎤+
∈+⎢⎥⎣⎦
， ()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，
5466
π
ππωπ∴+
<，
29352424
ω∴<. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 3、C 【解题分析】
由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解，可得2ln x
a x
+=
有解，令()2ln x h x x +=
，则()21ln x h x x --'=，对x 分类讨论，得出1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，也即为最大值，
进而得出结论. 【题目详解】
解：由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解， 即2ln x
a x +=
有解，令()2ln x h x x +=，则()2
1ln x h x x --'=， 则当10x e
<<时，()0h x '>；当1
x e >时，()0h x '<，
故1x e =
时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，也即为最大值， 当x 趋近于0时，()h x 趋近于-∞，所以a e ≤满足条件． 故选：C.
【题目点拨】
本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题． 4、C 【解题分析】
根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③． 【题目详解】
①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；
③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③为假命题． 故选：C ． 【题目点拨】
本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题． 5、C 【解题分析】
由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解. 【题目详解】
由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以
121z z -=，其中tan φ2=，
故选C 【题目点拨】
本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型. 6、C 【解题分析】
转化函数()0)f x x x =-
>，()x
g x x e =+，
()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与0)y x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解.
【题目详解】
函数()(0)f x x x x =-
>，()x
g x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，
即为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，
作出y x =与(0)y x x =
>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，
如图所示，可知231x x x << 故选：C 【题目点拨】
本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题. 7、A 【解题分析】
利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可． 【题目详解】
数列{}n a 满足：11a =，*1(2,)n n a a n n n N --=∈， 可得11a =
212a a -= 323a a -= 434a a -=
⋯
1n n a a n --=
以上各式相加可得：
1
123(1)2
n a n n n =+++⋯+=
+， 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力． 8、A 【解题分析】
根据双曲线的标准方程求出右顶点A 、右焦点F 的坐标，再求出过点F 与C 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可. 【题目详解】
由双曲线的标准方程可知中：3,45a b c ==∴==，因此右顶点A 的坐标为(3,0)，右焦点F 的坐标为
(5,0)，双曲线的渐近线方程为：4
3y x =±
，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43
y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为4
3，因此直线FB 方程为：4(5)3y x =-，因此点B 的坐标是方程组：
22
4(5)31
916
y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：175
3215x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为： 13232
(53)21515
⨯-⨯-=. 故选：A 【题目点拨】
本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力. 9、A 【解题分析】
结合复数的除法运算和模长公式求解即可 【题目详解】
∵复数1z i =+
，∴||z =，()
2
2
12z i i =+=，则22||22(1)
221211(1)(1)
z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A. 【题目点拨】
本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题 10、A 【解题分析】
首先()f x 的单调性，由此判断出1
1
412
a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由
此求得ab 的最小值. 【题目详解】
由于函数1212log ,18()2,12
x x x f x x ⎧
+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩
，所以()f x 在1,18⎡⎫
⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412
a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简
得2log 22b
a =-，所以2222log log log 22log
b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12x
g x x x =-+<≤，
()2'
112ln 22ln 2ln 2ln 2
x x
x g x x x -⋅⋅=-+=
.构造函数()()2
12ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在
()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所
以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1
1
22
-=
. 故选：A
【题目点拨】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 11、C 【解题分析】
先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案. 【题目详解】
直线1:240l ax y ++=，()2:120l x a y +-+=，12l l 的充要条件是()1221a a a a -=⇒==-或，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“1a =-”是“12l l ”的充分必要条件. 故答案为C. 【题目点拨】
判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 12、B 【解题分析】
模拟程序框图运行分析即得解. 【题目详解】
211
1,0;2,0226
k S k S ====+
=+； 21113,6334k S ==+=+；2113
4,44410k S ==+=+.
所以①处应填写“3?k ” 故选：B 【题目点拨】
本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(1,3) 【解题分析】
函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【题目详解】
函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：
由图象可知：实数a 的取值范围是13a <<. 故答案为：(1,3) 【题目点拨】
本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想. 14、
【解题分析】
直接利用柯西不等式得到答案. 【题目详解】 根据柯西不等式：，故
，
当，即，
时等号成立.
故答案为：
.
【题目点拨】
本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案. 15、-1 【解题分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【题目详解】
由约束条件32x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
作出可行域如图，
化目标函数2z y x =-为2y x z =+，
由图可得，当直线2y x z =+过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，
由2x y x y +=⎧⎨=⎩得1
1
x y =⎧⎨=⎩即()11B ，，则z 有最大值121z =-=-，
故答案为1-． 【题目点拨】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
16、1
12n -⎛⎫- ⎪
⎝⎭
【解题分析】
先求得1n =时11a =-；再由2n n S a +=-可得2n ≥时112n n S a --+=-,两式作差可得120n n a a --=,进而求解. 【题目详解】
当1n =时,11122S a a +==-,解得11a =-；
由2n n S a +=-,可知当2n ≥时,112n n S a --+=-,两式相减,得120n n a a --=,即11
(2)2
n n a a n -=
≥,
所以数列{}n a 是首项为1-,公比为
1
2
的等比数列, 所以1
12n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,
故答案为:1
12n -⎛⎫- ⎪⎝⎭
【题目点拨】
本题考查由n S 与n a 的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1,4⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
（2）-1m ＜或14m >
【解题分析】
（1）根据p 为真命题列出不等式，进而求得实数m 的取值范围；（2）应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. 【题目详解】 （1）
()
241x m x x ∀∈⋅+>R ，
0m ∴>且21160-<m ，
解得1
4
m >
所以当p 为真命题时，实数m 的取值范围是1,4
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
（2）由2[2,8],log 10x m x ∃∈+≥，可得21
[2,8],log x m x
∃∈≥-
， 又∵当[2,8]x ∈时，2111,log 3⎡
⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦
x ， 1m ∴≥-.
∵当p q ⌝∨为真命题，且p q ⌝∧为假命题时， ∴p 与q 的真假性相同，
当p 假q 假时，有141
m m ⎧≤⎪
⎨⎪<-⎩，解得1m <-；
当p 真q 真时，有141m m ⎧>⎪
⎨⎪≥-⎩
，解得14m >；
故当p q ⌝∨为真命题且p q ⌝∧为假命题时，可得1m <-或1
4
m >. 【题目点拨】
本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
18、（1）22
143
x y +=（2）
（ⅰ）见解析（ⅱ）点M 的坐标为(4,0)-． 【解题分析】
（1）由题意得1,2c a ==，再由,,a b c 的关系求出b ，即可得椭圆的标准方程；
（2）（i ）设1122(4,3),(,),(,)M m A x y B x y -，AB 的中点为00(,)N x y ，MF k m =-，设直线AB 的方程为1x my =-，代入椭圆方程中，运用根与系数的关系和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；
（ii ）利用两点间的距离公式及弦长公式将||||MF AB 表示出来，由换元法的对勾函数的单调性，可||
||
MF AB 得取最小值时的
条件获得等量关系，从而确定点M 的坐标. 【题目详解】
解：（1）由题意得， 22,2c a ==，所以222
1,413c b a c ==-=-=，
所以椭圆方程为22
143
x y +=
（2）设1122(4,3),(,),(,)M m A x y B x y -， AB 的中点为00(,)N x y ，MF k m =- （ⅰ）证明：由(0,1)F -，可设直线AB 的方程为1x my =-，
代入椭圆方程22
143
x y +=，得22(34)690m y my +--=，
所以1212
22
69
,4343+=
=-++m y y y y m m ， 所以22
43,4343m N m m ⎛
⎫- ⎪++⎝⎭
，则直线ON 的斜率为34ON m k =-，
因为34
OM m
k =-
，所以OM ON k k =， 所以,,O M N 三点共线，所以OM 平分线段AB ； （ii
）由两点间的距离公式得MF ==
由弦长公式得12AB y y =-=
22
12(1)
43m m +==
+
所以
2MF AB
=
令1)t t ≥，则
23111(3)44MF t t AB t t +==+，由1()3g t t t
=+在[1,)+∞上递增，可得1t =，即0m =时，()g t 取得最小值4， 所以当
||
||
MF AB 取最小值时，点M 的坐标为(4,0)- 【题目点拨】
此题考那可是椭圆方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，运用根与系数的关系和中点坐标公式，同时考查弦长公式，属于较难题.
19、（1）A x =30.2，B x =29；（2）B 设备 【解题分析】
（1）平均数的估计值为组中值与频率乘积的和；
（2）要注意指标值落在[)20,40内的产品才视为合格品，列出A 、B 设备利润分布列，算出期望即可作出决策. 【题目详解】
（1）A 设备生产的样本的频数分布表如下
0.0417.50.1622.50.4027.50.1232.50.1837.50.1042.530.2A x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
根据样本质量指标平均值估计A 设备生产一件产品质量指标平均值为30.2.
B 设备生产的样本的频数分布表如下
17.50.0222.50.1827.50.4832.50.1437.50.1642.50.0229B x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
根据样本质量指标平均值估计B 设备生产一件产品质量指标平均值为29. （2）A 设备生产一件产品的利润记为X ，B 设备生产一件产品的利润记为Y ，
()(24020180141209)195.3543
E X =
⨯+⨯+⨯= 111
()240180120200236E Y =⨯+⨯+⨯=
()()E X E Y <
若以生产一件产品的利润作为决策依据，企业应加大B 设备的生产规模. 【题目点拨】
本题考查平均数的估计值、离散随机变量的期望，并利用期望作决策，是一个概率与统计综合题，本题是一道中档题.
20、（Ⅰ）见证明；【解题分析】
（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF ，易证四边形CDFG 为平行四边形，即//CG DF ，由于BF CF =，D 为BC 的中点，可得到DF BC ⊥，从而得到CG BC ⊥，即可证明CG ⊥平面ABC ，从而得到CG AB ⊥；（Ⅱ）易证DB ，DF ，
DA 两两垂直，以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，求出平面BEG 的
一个法向量为(),,n x y z =，设AE 与平面BEG 所成角为θ，则sin cos ,AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉=⋅，即可得到答案．
【题目详解】
解：（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF .
由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，从而//BC FG . ∵2CB GF =，∴//CD GF ，
∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.
∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB 平面ABC ，
∴CG AB ⊥. （Ⅱ）连结AD .
由ABC ∆是正三角形，且D 为中点，则AD BC ⊥. 由（Ⅰ）知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ， ∴DF
AD ⊥，DF BC ⊥，
∴DB ，DF ，DA 两两垂直.
以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.
设2BC =
，则(00A ,
，12
E ⎛-
⎝⎭，()1,0,0B
，()
G -，
∴122AE ⎛=-- ⎝⎭
，()
BG =-
，322BE ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
.
设平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =.
由0
{0BG n BE n ⋅=⋅=
可得，20{30
2x x z -+=-++=.
令x 2y =，1z =-，∴(
)
3,2,1n =
-.
设AE 与平面BEG 所成角为θ，则6
sin cos ,4
AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉=
=⋅.
【题目点拨】
本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．
21、（1）极小值为2-，极大值为5
ln 24
--.（2）(],1710-∞- 【解题分析】
（1）根据斜线的斜率即可求得参数a ，再对函数求导，即可求得函数的极值； （2）根据题意，对目标式进行变形，构造函数()()m
h x f x x
=-，根据()h x 是单调减函数，分离参数，求函数的最值即可求得结果. 【题目详解】
（1）函数2
()ln 3f x x ax x =+-的定义域为(0,)+∞，
1
()23f x ax x
'=
+-，(1)1230f a '=+-=，1a =， 可知2
()ln 3f x x x x =+-，21231
()230x x f x x x x
-+'=+-==，
解得11x =，21
2
x =
， 可知在10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，(1,)+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
可知函数()f x 的极小值为(1)ln1132f =+-=-， 极大值为11135ln ln 222424f ⎛⎫=+-=--
⎪
⎝⎭
.
（2）()()()211221
m x x f x f x x x -->可以变形为()()1212m m f x f x x x ->-， 可得()()1212
m m
f x f x x x -
>-， 可知函数()m
f x x -
在[]1,10上单调递减 2()()ln 3m m
h x f x x x x x x =-=+--，
21()230m
h x x x x
'=+-+≤，
可得3223m x x x ≤-+-， 设3
2
()23F x x x x =-+-，
2
211()6616022F x x x x ⎛
⎫'=-+-=--+< ⎪⎝
⎭，
可知函数()F x 在[]1,10单调递减，
32min ()(10)210310101710F x F ==-⨯+⨯-=-，
可知1710m ≤-，
可知参数m 的取值范围为(],1710-∞-. 【题目点拨】
本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题. 22、（1）
4
π
；（2）5a = 【解题分析】
（1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得sin cos bc A bc A =，结合范围(0,)A π∈，可求tan 1A =，进而可求A 的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求3
sin 5
B =，利用两角和的正弦函数公式可求sin
C 的值，由正弦定理可求得a 的值． 【题目详解】
解：（1）由2S AB AC =，得sin cos bc A bc A =，
因为(0,)A π∈，
所以tan 1A =， 可得：4A π
=．
（2）ABC ∆中，cos 45B =
， 所以3sin 5
B =.
所以：sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=
， 由正弦定理sin sin a c A C =
=，解得5a =， 【题目点拨】
本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．。