计算方法-第4章-数值积分与数值微分龙贝格求积公式精品

在实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次 二分的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到 二分前后两次积分近似值之差符合精度要求为止。
2019f (x)dx的积分区间[a,b]分割为n等份 a
各节点为 xk a kh , k 0,1,, n
例：p110
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§ 4.4.2 龙贝格算法
根据复化梯形公式的余项表达式可知
I

Tn

ba 12
h2
f
(),
(a,b)
I
T2n

ba 12
(h)2 2
f
(
),
(a,b)
假定 f () f ( ) ，则有 I T2n 1 I Tn 4
C2 0.94608307
I 1sin x dx 0x
0.946083070367183
9
将T
1
41
T2n 3 (T2n Tn ) 3 T2n 3 Tn 用于计算 I
1sin x dx 0x
I 0.9460831
T4 0.9445135
2位有效数字
第四章 数值积分
§ 4.4 龙贝格算法
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§ 4.4.1 梯形法的递推化
由上节讨论得知加密节点可以提高求积公式的精度，复化 求积方法对提高精度是行之有效的，但必须事先给出合适 的步长（即n的选取），步长取得太大则精度难以保证， 而步长取得太小又会导致计算量的增加。因此，如何确定 适当的n，使近似值和精确值之差在允许的范围，这又是 一个难题。
3 (h) 1
3 ( 2 h)
表4-5 T表
17
可以证明：
1， 对固定m :
lim
k→ ∞
m

h
2k


I
2，对必须的 k: lim m
m

h
2k


I
(m将不断增长)
注意：当
m充分大时
1 22m

1

0 , 从而
h
h
T
(
m
k
2
)T ( m-1
k 1
h ba n
复化梯形公式为
Tn

h 2
n1
[f
k 0
(xk )
f
( xk 1 )]
--------(1)
如果将[a,b]分割为2n等份，而 h (b a)/n不变,则
xk , xk1
经过二分只增加了一个分点 x k

1
2

1 2 (xk

xk 1)
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T8 0.9456909
3位有效数字
T

4 3 T8

1 3
T4
0.9460833
6位有效数字
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直接验证易知
Sn

4 3 T2n

1 3 Tn
同理由复化辛普森公式的余项
I

S2n

1 15
(
S2
n

Sn )
可得
16 1 I 15 S2n 15 Sn
Cn
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2
)
因此随m增大， 收敛变慢,一般只用到龙贝格公式
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本章作业
P136 8(1)
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I
C2n

1 63
(C2n
Cn )
7
因此对一般的复化积分
I
有
n
I
I2n

1 p
(I
2n
In)
若预先给定的误差限为 只要I2n In p 就有I I2n
I
2
即为满足要求的
n
I的近似值
这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的 事后估计法.
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用积分近似值 T2n 的误差作为 T2n 的一种补偿，得到
T
T2n

1 3
(T2n
Tn )

4 3 T2n

1 3
Tn
例1. 使用各种复合求积公式计算定积分 I 1sin x dx 0x
T8 0.94569086
原积分的精确值为
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S4 0.94608331
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例3 将以上三个加速公式用于求 I 1sin x dx 0x
k
T2k
S 2k1
C2k2
0 0.9207355
R2 k 3
1 0.9397933 0.9461459
2 0.9445735 0.9460869 0.9460830
3 0.9456909 0.9460833 0.9460831 0.9460831
3
用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为
h 4

f
( xk
)

2
f
(
x k

1
)

2
f
( xk 1 )

这里h仍为二分前的步长.将每个子区间上的积分值相加得
T2n

h 4
n1
[f
k 0
(xk )
f
(xk1)]
h 2
n1 k 0
f
(
x k

1
)
2
--------(2)
2 1
h 22 1
h 23 1
h 24
0
0 (h) 1
0 ( 2 h) 1
0 ( 4 h) 1
0 ( 8 h) 1
0 ( 1 6 h)
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1
2
3
1 (h)
1 1( 2 h)
1 1( 4 h)
1 1( 8 h)
2 (h)
1 2 ( 2 h)
1 2 ( 4 h)
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即
4I 4T2n I Tn
I
T2n

1 3
(T2
n
Tn )
因此T2n作为I的近似值的截断误差约 为
I
T2n

1 3 (T2n
Tn )
依此类推 S2n作为I的近似值的截断误差约 为
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I

S2n

1 15 (S2n

Sn )
C2n作为I的近似值的截断误差约 为
用h/2代替h，有
T(
h 2
)

I
1
h2 4
2
h4 16




l
(
h 2
)
2l

(4.8)
4T ( h) T (h)
由(4.7)及(4.8)两式可得 T1(h)
2 3
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(4.9)
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比较(4.9)与
Sn

4 3
T2n

1 3
Tn
可知，这样构造的序列
T1
(h),T1
(
h 2
)
,
就是辛普森公式序列
S
n
,
S
2
n
,
一般的，若记 T0(h) T (h) ，则有
Tm (h)

4m
h
4m
1 Tm1 (
) 2

1 4m 1Tm1(h)
(m 1,2) (4.10)
上述处理方法称为理查森外推加速法
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步长
h
1 h
从表中可以看出三次加速求得R1=0.9460831每位数字都是 有效数字
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§ 4.4.2 理查德森外推加速法
定理4 设 f (x) C a, b ，则有
T(h) I 1h2 2h4 lh2l
(4.7)
其中系数l (l 1,2,) 与h无关
由(1)(2)两式可
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T2n

1 2
Tn

h 2
n 1 k 0
f
(
x k

1
)
2
--------(3)
4
(3)式称为递推的梯形公式
递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选 取步长的复化梯形公式
优点：梯形法计算简单 缺点：收敛慢，为了达到要求的精度，需要二分区间
多次，分点大量增加，计算量很大