八年级 下册 数学 PPT课件 精品课件 第一章 三角形的证明 角平分线(二)

2. (巴中•中考)如图所示，是一块三角形的草坪，现
要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三
条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A.△ABC 的三条中线的交点
A
B.△ABC 三边的中垂线的交点
C.△ABC 三条角平分线的交点
B
C
D.△ABC 三条高所在直线的交点
【解析】选C. 根据三角形三条角平分线的性质定理得.
合作交流 ⅰ、如图， 有两条公路相交于点A处，现计划 修建一个油库，要求到两条公路的距离相等， 你们该如何选择油库的位置？
A
合作交流
ⅱ、如图， 有两条公路相交于点A处，如果再增 加一条公路，与这两条公路都相交(不经过点A 处)，现计划修建一个油库，那么如何选择油库 的位置才能保证油库到三条公路的距离相等？
你发现了什么？
三条折痕交于一点
新知探究
Ⅱ、如图，△ABC，用尺规作出三角形三个角的
角平分线。
A
你又发现了什么？
1、三个角的角平分线 交于一点；
B 2、交点到三条边的 距离相等。
P C
新知探究
Ⅲ、求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并
且这一点到三条边的距离相等。
A
已知：如图，△ABC中，角平分线BM与角
两边距离相等的点，在这个角的平分线上)
即 ∠A的平分线经过点P
新知归纳
三角形三条角平分线定理： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一
点到三条边的距离相等。
情景引入
如图，三个城镇A、B、C之间有三条公路连
接，现要在三条公路围成的内部区域建一个加油
站，使加油站到三条公路的距离相等，你能确定
加油站的位置吗？
3.（曲靖·中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC
＝10,AD平分∠BAC交BC于点D，且BD:CD＝3:2，则点
D到线段AB的距离
.
【解析】∵BD:CD＝3:2,BC＝ 10,∴CD＝4,又∵AD平x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxzzz zzzzzzzzz66juj 分∠BAC，∠C＝90°， 则点D到线段AB的距离等于CD,为4. 答案：4
课堂小结
三角形三条角平分线定理： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一
点到三条边的距离相等。
北师大版八年级(下)
第一章 三角形的证明
1.4角平分线 第2课时 三角形三个内角的角平分线
复习旧知 1、角平分线性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、角平分线判定定理： 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的
点，在这个角的平分线上。
新知探究 Ⅰ、剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的 角平分线。
A
B
C
1.（益阳·中考）如图，已知△ABC，求作一点P，使P
到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方
法正确的是（ ）
C
A.P为∠A、∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线
P
的交点
A
B
C.P为AC、AB两边上的高的交点
D.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
【解析】选B. ∵点P到∠A的两边的距离相等， ∴P在∠A的角平分线上， ∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上. ∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点.
A
B
C
范例讲解
例1、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。 (1)已知CD=4cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD。
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线， ∠C=90°，DE⊥AB ∴DE=CD=4cm ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角) ∵∠C=90°，∴∠B= 1×90°=45°． ∴∠BDE=90°-45°=42 5°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE中
平分线CN相交于点P， 过点P分别作
D
AB 、 BC、AC的垂线，垂足分别为 D、E、 F。 NhomakorabeaN
PM
求证：∠A的平分线经过点P,且
F
PD=PF=PF.
证明：∵BM 是∠ABC的平分线， B
点P在BM上
EC
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
同理，PF=PE
∴PD=PE=PF
∴点P在A的平分线上 (在一个角的内部，且到角的
B D 2 D E2 4 2c m (勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+ 4 2 )cm．
例1、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。 (1)已知CD=4cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD。
(2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD．