线性代数讲义正式版
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郑老师线代核心讲义
目录 第一章 行列式........................................................................................................................................ 1
第一节：基本概念.......................................................................................................................... 1 第二节：行列式的基本性质与计算.............................................................................................. 1 第三节：典型例题精讲.................................................................................................................. 2 第二章 矩阵.......................................................................................................................................... 5 第一节：基本概念.......................................................................................................................... 5 第二节：几种特殊矩阵.................................................................................................................. 5 第三节：矩阵基本运算与公式性质.............................................................................................. 6 第四节：初等变换与初等矩阵...................................................................................................... 8 第五节：求逆矩阵........................................................................................................................ 10 第六节：矩阵的秩........................................................................................................................ 12 第七节：矩阵的性质.................................................................................................................... 13 第三章 向量........................................................................................................................................ 18 第一节：基本概念........................................................................................................................ 18 第二节：向量组的性质................................................................................................................ 19 第三节：向量组的秩与向量组等价............................................................................................ 23 第四章 线性方程组............................................................................................................................ 26 第一节：基本概念........................................................................................................................ 26 第二节：基本结论........................................................................................................................ 26 第三节：线性方程组解的结构.................................................................................................... 27 第四节：具体线性方程组的通解的求法.................................................................................... 28
a11 a12
a22
...
a2 n
中元素 aij 所在的 i 行元素和
j 列元素去掉，剩下的 n 1行和 n 1
an1 an2 ... an2
列元素按照元素原来的排列次序构成的 n 1阶行列式，称为元素 aij 的余子式，记为 M ij ，
1
郑老师线代核心讲义
第一章 行列式
第一节：基本概念
1：逆序——设 i, j 是一对不等的正整数，若 i j ，则称 i, j 为一对逆序.
2：逆序数——设 i1,i2...in 是1, 2,......n 的一个排列，该排列所含的逆序总数称为该排列的逆
序数，记为 (i1, i2...in ), 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.
1
郑老师线代核心讲义 第五节：线性方程组的性质........................................................................................................ 29 第六节：典型例题：.................................................................................................................... 31 第五章 特征值与特征向量................................................................................................................ 39 第一节：基本概念........................................................................................................................ 39 第二节:特征值与特征向量的性质............................................................................................... 40 第三节：矩阵相似........................................................................................................................ 43 第四节：相似及对角化性质........................................................................................................ 43 第五节：非实对称阵对角化步骤................................................................................................ 43 第六节：求特征值的方法............................................................................................................ 44 第七节：典型例题........................................................................................................................ 46 第六章 二次型.................................................................................................................................... 56 第一节 二次型及其标准型.......................................................................................................... 56 第二节：如何化二次型为标准二次型........................................................................................ 58 第三节 矩阵之间的三大关系.................................................................................................... 59 第四节 正定矩阵与正定二次型.................................................................................................. 63
3：行列式——由 n2 个数组成的下列记号
a11 a12 ... a1n
D
a21
a22
...
a2 n
,称为 n 阶行列式，规定
an1 an2 ... an2
D 1 a a a j1 j2 jn
( j1 j2 jn )
1 j1 2 j2
njn
4：余子式与代数余子式——把行列式
目录 第一章 行列式........................................................................................................................................ 1
第一节：基本概念.......................................................................................................................... 1 第二节：行列式的基本性质与计算.............................................................................................. 1 第三节：典型例题精讲.................................................................................................................. 2 第二章 矩阵.......................................................................................................................................... 5 第一节：基本概念.......................................................................................................................... 5 第二节：几种特殊矩阵.................................................................................................................. 5 第三节：矩阵基本运算与公式性质.............................................................................................. 6 第四节：初等变换与初等矩阵...................................................................................................... 8 第五节：求逆矩阵........................................................................................................................ 10 第六节：矩阵的秩........................................................................................................................ 12 第七节：矩阵的性质.................................................................................................................... 13 第三章 向量........................................................................................................................................ 18 第一节：基本概念........................................................................................................................ 18 第二节：向量组的性质................................................................................................................ 19 第三节：向量组的秩与向量组等价............................................................................................ 23 第四章 线性方程组............................................................................................................................ 26 第一节：基本概念........................................................................................................................ 26 第二节：基本结论........................................................................................................................ 26 第三节：线性方程组解的结构.................................................................................................... 27 第四节：具体线性方程组的通解的求法.................................................................................... 28
a11 a12
a22
...
a2 n
中元素 aij 所在的 i 行元素和
j 列元素去掉，剩下的 n 1行和 n 1
an1 an2 ... an2
列元素按照元素原来的排列次序构成的 n 1阶行列式，称为元素 aij 的余子式，记为 M ij ，
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郑老师线代核心讲义
第一章 行列式
第一节：基本概念
1：逆序——设 i, j 是一对不等的正整数，若 i j ，则称 i, j 为一对逆序.
2：逆序数——设 i1,i2...in 是1, 2,......n 的一个排列，该排列所含的逆序总数称为该排列的逆
序数，记为 (i1, i2...in ), 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.
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郑老师线代核心讲义 第五节：线性方程组的性质........................................................................................................ 29 第六节：典型例题：.................................................................................................................... 31 第五章 特征值与特征向量................................................................................................................ 39 第一节：基本概念........................................................................................................................ 39 第二节:特征值与特征向量的性质............................................................................................... 40 第三节：矩阵相似........................................................................................................................ 43 第四节：相似及对角化性质........................................................................................................ 43 第五节：非实对称阵对角化步骤................................................................................................ 43 第六节：求特征值的方法............................................................................................................ 44 第七节：典型例题........................................................................................................................ 46 第六章 二次型.................................................................................................................................... 56 第一节 二次型及其标准型.......................................................................................................... 56 第二节：如何化二次型为标准二次型........................................................................................ 58 第三节 矩阵之间的三大关系.................................................................................................... 59 第四节 正定矩阵与正定二次型.................................................................................................. 63
3：行列式——由 n2 个数组成的下列记号
a11 a12 ... a1n
D
a21
a22
...
a2 n
,称为 n 阶行列式，规定
an1 an2 ... an2
D 1 a a a j1 j2 jn
( j1 j2 jn )
1 j1 2 j2
njn
4：余子式与代数余子式——把行列式