2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理及解三角形学案理新人教版20

第六节 正弦定理和余弦定理及解三角形
1．正弦定理
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C ＝2R ，其中R 是△ABC 的外接圆半径． 正弦定理的常用变形：
(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R .
(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc _cos_A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ； b 2＝a 2＋c 2－2ac _cos_B ，cos B ＝
a 2＋c 2－
b 2
2ac ； c 2＝a 2＋b 2－2ab _cos_C ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
． 3．勾股定理
在△ABC 中，∠C ＝90°⇔a 2＋b 2＝c 2． 4．三角形的面积公式 S △ABC ＝12ah a ＝12bh b ＝1
2
ch c
＝12ab _sin_C ＝12bc _sin__A ＝1
2ac _sin_B ． 5．实际问题中的常用术语 术语名称
术语意义
图形表示
仰角与
俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在
水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线
下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方
向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的X 围是0°≤α<360°
续表 术语名称
术语意义
图形表示 方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成
的锐角，通常表达为北(南)偏东
(西)××度
①北偏东m °
②南偏西n °
坡角
坡面与水平面的夹角
设坡角为α，坡度为i ， 则i ＝h
l
＝tan α
坡度
坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比
1．射影定理 b cos C ＋c cos B ＝a ， b cos A ＋a cos B ＝c ， a cos C ＋c cos A ＝b .
2．三个角A ，B ，C 与诱导公式的“消角”关系 sin (A ＋B )＝sin C ， cos (A ＋B )＝－cos C ， sin A ＋B 2＝cos C 2，
cos A ＋B 2＝sin C 2
.
3．特殊的面积公式
(1)S ＝1
2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径).
(2)S ＝
P （P －a ）（P －b ）（P －c ），P ＝1
2
(a ＋b ＋c ).
(3)S ＝abc
4R
＝2R 2sin A ·sin B ·sin C (R 为△ABC 外接圆半径).
1．(基本方法：正弦定理)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．23 C ． 3 D ．
3
2
答案：B
2．(基础知识：正、余弦定理)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 答案：C
3．(基础知识：三角形的面积公式)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为________．
答案：2 3
4．(基本能力：正弦定理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________．
答案：3π4
5．(基本应用：实际问题中的常用术语)两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的北偏西________，西偏北________．
答案：10° 80°
题型一 正、余弦定理的基本应用
[典例剖析]
类型 1 正弦定理及其应用
[例1] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝3
5，
则b 等于( )
A ．5
3
B ．107
C ．5
7
D ．5214
解析：因为cos A ＝3
5
，所以sin A ＝
1－cos 2A ＝
1－⎝⎛⎭⎫352
＝45，所以sin C ＝sin [π－(A
＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝72
10
.
由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝172
10×sin 45°＝5
7.
答案：C
类型 2 余弦定理及其应用
[例2] 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )
A ．2
B ．4＋23
C ．4－2 3
D ．6－ 2
解析：在△ABC 中，易知B ＝30°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4， ∴b ＝2. 答案：A
类型 3 正、余弦定理混合应用
[例3] 已知△ABC 满足sin 2A ＋sin A sin B ＋sin 2B ＝sin 2C ，则C 的大小是________． 解析：因为sin 2A ＋sin A sin B ＋sin 2B ＝sin 2C ，所以a 2＋ab ＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12(0＜C ＜π)，所以C ＝2π3
.
答案：2π
3
方法总结
1．求解三角形的一般方法： 方法 解读
题型
正弦
定理法 直接利用正弦定理(变式)求边、角
(1)已知两角及一边；
(2)已知两边及一边对角 余弦
定理法
直接利用余弦定理(变式)求边、角
(1)已知两边及夹角；
(2)已知三边
2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角
或直角
图形
关系式
a ＝
b sin A
b sin A
＜a ＜b
a ≥b
a ＞b
a ≤b
解的
个数
1
2
1
1
[题组突破]
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2b ，
且a ＞b ，则B ＝( )
A ．π
6
B ．π3
C ．2π
3
D ．5π6
解析：∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2
b ，
∴由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝1
2sin B ，
即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝1
2sin B .
∵sin B ≠0，∴sin (A ＋C )＝1
2，
即sin B ＝1
2
.
∵a ＞b ，∴A ＞B ，即B 为锐角，∴B ＝π
6.
答案：A
2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc ＝a 2，bc ＝3a 2，则C 的大小是( )
A ．π6或2π
3
B ．π3
C ．2π
3
D ．π6
解析：∵b 2＋c 2－3bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝3bc ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝3
2.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由b 2＋c 2－a 2＝3bc 及bc ＝3a 2
得b 2＋c 2－
3
3
bc ＝3bc ，即3b 2－4bc ＋3c 2＝0.∴(3b －c )·(b －3c )＝0，解得c ＝3b 或b ＝3c .①当c ＝3b 时，由bc ＝
3a 2得
a ＝
b ，∴△ABC 为等腰三角形，且A ＝B ＝π6，∴C ＝2π
3
；
②当b ＝3c 时，由bc ＝3a 2得
a ＝c ，∴△ABC 是以B 为顶点的等腰三角形，A ＝C ，∴C ＝π
6
.
综上，C 的大小为π6或2π
3
.
答案：A
3．(2021·某某模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a
b
等于( )
A ．3
2
B ．43
C ． 2
D ． 3
解析：由正弦定理及b sin2A ＝a sin B ，得2sin B sin A ·cos A ＝sin A sin B ，又sin A ≠0，sin B ≠0，则cos A ＝12.又c ＝2b ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2·12＝3b 2，得a
b
＝ 3.
答案：D
题型二 正、余弦定理的综合应用
[典例剖析]
类型 1 判断三角形的形状
[例1] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
解析：法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 2
2a ＝a ，所以a sin A ＝a ，
即sin A ＝1，故A ＝π
2
，因此△ABC 是直角三角形．
法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝sin 2A ，
故sin A ＝1，即A ＝π
2，因此△ABC 是直角三角形．
法三：由射影定理可得b cos C ＋c cos B ＝a ， 所以a ＝a sin A ，
所以sin A ＝1，即A ＝π
2，所以△ABC 为直角三角形．
答案：B
(2)在△ABC 中，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 的形状为________． 解析：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin (A ＋B )
＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin (A －B )＝0， 因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B ， 所以△ABC 为等腰三角形． 法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，
再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 2
2ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，
所以△ABC 为等腰三角形． 答案：等腰三角形
类型 2 有关三角形的周长与面积
[例2] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求A ；
(2)若a ＝13，△ABC 的面积为33，求△ABC 的周长．
解析：(1)由(2b －c )cos A ＝a cos C 知2×2R sin B cos A －2R sin C cos A ＝2R cos C sin A ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos A ＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝1
2.
因为 0＜A ＜π，所以A ＝π
3
.
(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得13＝b 2＋c 2－2bc ·1
2，
即(b ＋c )2－3bc ＝13，
因为S △ABC ＝12bc ·sin A ＝3
4bc ＝33，
所以bc ＝12，
所以(b ＋c )2－36＝13，即b ＋c ＝7， 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝7＋13. 类型 3 有关三角形的边长与角度
[例3] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C .
(1)求C ；
(2)若a ＝2，b ＝22，线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ，求CD 的长． 解析：(1)因为a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C ， 所以由正弦定理可得a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2
2，
又0＜C ＜π，所以C ＝3π
4.
(2)由(1)知C ＝3π
4
，
根据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(22)2－2×2×22×⎝
⎛⎭
⎫
－
22＝20， 所以c ＝2 5.
由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得2522＝22
sin B
，
解得sin B ＝
55，从而cos B ＝255
. 设BC 的垂直平分线交BC 于点E ， 因为在Rt △BDE 中，cos B ＝
BE BD ，所以BD ＝BE cos B ＝1255
＝5
2
. 因为点D 在线段BC 的垂直平分线上，所以CD ＝BD ＝52
. 1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．方法总结(2)
若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
提醒 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．
3．判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．
边角
互化法
边化角：用角的三角函数表示边 等式两边是边的齐次形式
角化边：将解析式中的角用边的
形式表示
等式两边是角的齐次形式或
a 2＋
b 2－
c 2＝λab
[题组突破]
1．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 解析：因为
BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3
sin 60°
，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A
＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2π3－A ＋4sin A
＝5sin A ＋3cos A ＝27sin (A ＋φ).
因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，A ∈⎝
⎛⎭⎪⎫
0，2π3，所以AB ＋2BC 的最大值为27.
答案：27
2．若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________，c
a
的取值X 围是________．
解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ，
∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ．又∵S ＝
34
(a 2＋c 2－b 2
)， ∴12ac sin B ＝3
4×2ac cos B ，∴tan B ＝3，∴B ＝π3. 又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6
.
由正弦定理得c
a
＝
sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2π3－A sin A
＝32cos A ＋1
2sin A sin A ＝12＋32·1tan A .
∵0＜tan A ＜
33，∴1
tan A
＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2，即c
a ＞2. 答案：π
3
(2，＋∞)
题型三 解三角形的应用举例
[典例剖析]
类型 1 解决测量问题
[例1] (1)(可视两点)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，在A ，B 两点分别测得树顶的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为10 m ，则树的高度h 为( )
A ．(5＋53)m
B ．(30＋153)m
C ．(15＋303)m
D ．(15＋33)m
解析：在△P AB 中，由正弦定理，得10sin （45°－30°）＝PB
sin 30°，因为sin (45°－30°)＝sin 45°
cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－2
4
，所以PB ＝5(6＋2)(m)，所以该树的高度h ＝PB sin 45°＝
(5＋53)(m).
答案：A
(2)(河对岸或不可视两点)如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从点D 可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从点E 可以观察到点B ，C .并测量得到一些数据：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB °，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为________.(其中°取近似值23
)
解析：依题意知，在△ACD 中，∠A ＝30°，由正弦定理得AC ＝
CD sin 45°sin 30°
＝2 2.在△BCE 中，∠CBE ＝45°，
由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°
＝3 2.连接AB (图略)，
在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝10， ∴AB ＝10. 答案：10
类型 2 三角形在平面几何中的应用
[例2]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π
4，AB ⊥AD ，AB
＝1.
(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π
6
，CD ＝4，求sin ∠CAD .
解析：(1)在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即5＝1＋BC 2
＋2BC ，解得BC ＝2，
所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12
.
(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD ，即AC sin π6
＝4
sin θ
，①
在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝θ－π
4，
由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB
sin ∠BCA ，
即
AC sin
3π4＝1
sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫θ－π4，② ①②两式相除，得sin 3π
4
sin π
6＝4sin θ1sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫θ－π4，
即4⎝⎛
⎭
⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.
又sin 2θ＋cos 2θ＝1，故sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝25
5.
方法总结
1．测量距离问题的解法：
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解．
提醒 解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．
2．测量角度问题的基本思路：
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
提醒 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
3．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理
求解．
4．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来．
[题组突破]
1．(2020·某某模拟)如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，则通信塔CD 的高为________米．
解析：在Rt △ABM 中，AM ＝
AB
sin 15°＝30－103sin 15°＝30－103
6－2
4＝206，过点A 作AN ⊥CD 于点N (图略)，在Rt △A 中，因为∠CAN ＝30°，所以∠A ＝60°，又在Rt △CMD 中，∠CMD ＝60°，所以∠MCD ＝30°，所以∠ACM ＝30°，在△AMC 中，∠AMC ＝105°，所以AC sin 105°＝AM sin ∠ACM ＝206sin 30°，
所以AC ＝60＋203，所以＝
30＋103，所以CD ＝DN ＋＝AB ＋＝30－103＋30＋103＝60. 答案：60
2．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解析：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.
根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2(负值舍去)，
故AC ＝28，BC ＝20.
根据正弦定理得BC sin α＝AC
sin 120°，
解得sin α＝20sin 120°28＝53
14
，
所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为53
14
.
再研高考
创新思维
(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C
2
＝b sin A .
(1)求B ；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值X 围． 解析：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B ·sin A .
因为sin A ≠0，所以sin A ＋C
2
＝sin B .
由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B
2
， 故cos B 2＝2sin B 2cos B
2
.
因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝1
2，所以B ＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝3
4
a . 由(1)知A ＋C ＝120°，
由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋1
2.
由于△ABC 为锐角三角形，故0°＜A ＜90°，0°＜C ＜90°. 结合A ＋C ＝120°，得30°＜C ＜90°，
所以12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.
因此，△ABC 面积的取值X 围是⎝⎛⎭⎫
38
，32. 素养升华
边角互化
(2021·某某某某模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .
(1)求b
a
；
(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .
解析：(1)由正弦定理得a sin B ＝b sin A ，
因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以b
a ＝ 2.
(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为c 2＝b 2＋3a 2，所以cos B ＝（1＋3）a
2c .
由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，
所以cos 2B ＝12，易知cos B ＞0，所以cos B ＝2
2.
又0＜B ＜π，所以B ＝π
4.。