2023-2024学年四川省成都市高新区高一上数学期末经典试题含解析

【点睛】本题考查了三角函数的单调性与单调区间，考查转化能力与计算能力，属于基础题
3、B 【解析】根据指数幂和根式的运算性质转化即可
【详解】解：
a a
3
a2
3
a4
，
故选：Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4、D
【解析】由于 f (x) | x | 2是“ (0, ) 上的优越 k 函数”且函数在 (0, ) 上单调递减，由题意得 b a 0 ，
sin
x
6
，所以函数
f
x 的最大值为
4 3
，故选
A.
【点睛】三角函数求最值或者求值域一定要先将函数化成 y Asin x 的形函数.
9、C 【解析】由斜二测画法知识得原图形底和高
【详解】原图形 AOB 中， OB 4 ， OB 边上的高为 8 2 16 ，故面积为 32
故选：C
10、C
0
，由此可求出 a
的取值范
围.
【详解】解：因为函数 y 2ln x, x 1的值域为[0, ) ，而 f x 的值域为 R ，
2 a 0 所以 2 a 3a 0 ，解得 1 a 2，
故选：B 【点睛】此题考查由分段函数的值域求参数的取值范围，分段函数的值域等于各段上的函数的值域的并集是解此题的 关键，属于基础题.
2023-2024 学年四川省成都市高新区高一上数学期末经典试题
考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的 位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
【解析】由从池塘内捞出 70 条鱼，其中有标记的有 2 条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的
鱼一共有 40 条鱼，按照比例即得解.
【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为 n ，
由题意，得从池塘内捞出 70 条鱼，其中有标记的有 2 条，
所有池塘中有标记的鱼的概率为： 2 1 ， 70 35
3
6
3
A. 4
B. 2
3
3
C.1
D. 1
3
9．如图所示的是用斜二测画法画出的 AOB 的直观图（图中虚线分别与 x 轴， y 轴平行），则原图形 AOB 的面积
是（）
A.8
B.16
C.32
D.64
10．管理人员从一池塘内随机捞出 40 条鱼，做上标记后放回池塘.10 天后，又从池塘内随机捞出 70 条鱼，其中有标记
C. ab 的最大值是 1 8
B. 2a 4b 2 2 D. a2 b2 的最小值是 5
16
7．下列区间中，函数 f（x）=|ln（2-x）|在其上为增函数的是（ ）
A. ,1
B.
1,
4 3
C.
0,
3 2
D. 1, 2
8．函数 f（x）= 1 sin（x+ ）+cos（x- ）的最大值是（ ）
（2）若
，求 的取值范围
19．(1)求两条平行直线 3x＋4y－6＝0 与 ax＋8y－4＝0 间的距离
(2)求两条垂直的直线 2x＋my－8＝0 和 x－2y＋1＝0 的交点坐标 20．如图 1，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四
周景色.如图 2，某摩天轮最高点 Q 距离地面高度 AQ 为 110m，转盘直径为 100m，设置有 48 个座舱，开启时按逆时 针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置 P 进舱，转一周需要 30 min .
1、D
【解析】依题意， a 1 b 3 ，根据基本不等式，有 22
1 2a 1
2 b
a
1 2
b
2 3
2 3
5 2
b 2a 1
2a 1 b
2 3
5 2
2
3.
2、B
【解析】求出 f（x）的单调减区间 A，令（ ，π）⊆A，解出 ω 的范围 2
【详解】解：f（x） sin（ωx ）， 3
22．已知函数
f
x
a 3x 1 3x
是
R
上的奇函数
（1）求 a ；
（2）用定义法讨论 f x 在 R 上的单调性；
（3）若
f
2k
k
1 4x
f
1 2x2
1
0在
xR
上恒成立,求 k
的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
又因为池塘内具有标记的鱼一共有 40 条鱼，
. .所以40 1 ，解得n35401400， n 35 即估计该池塘内共有1400 条鱼
故选：C 11、B
【解析】根据题意，分析可得点（﹣3，0）在直线 3 x+3y+n=0 上，将点的坐标代入直线方程，计算可得答案 【详解】根据题意，直线 3 x+3y+n=0 在 x 轴上的截距为﹣3，
f
(x)
sin( x
) 3
在
π 2
,π
上递减，则
的取值范围为（
）
A.
0,
1 3
B.
1 3
,
7 6
C.
1 3
,
5 6
D. 0,3
3． a a (a 0)可以化简成（）
1
A. a 4
2
C. a 3
3
B. a 4
2
D. a 5
4．若函数
f
x 的定义域为
D ，满足：①
f
x在
D 内是单调函数；②存在区间，使
【详解】对
A，
a
b0 1 2b
0
0
b
1 2
，正确；
对 B， 2a 4b 2
2a 4b 2
2a2b 2
2
，当且仅当 2a
4b
a
1 2
,b
1 4
时取“=”，正确；
对
C，
ab
1 2
a 2b
1 2
a
2b 2
2
1 8
，当且仅当
a
2b
a
1 2
,b
1 4
时取“=”，正确；
对
D，由题意， a2
，
由题意得
b
a
0
，
a b
2 2
k a k b
，
所以 k a(2 a) ， k b(2 b) ，
即 y k 与 y x(2 x) x 12 1 在 x 0 时有 2 个不同的交点，
根据二次函数单调性质可知 0 k 1，即 k 0,1
故选：D 5、C 【解析】设 h(x)=f(x)﹣g(x)，利用 h(0)=f(0)﹣g(0)=﹣0.44<0，h(1)=f(1)﹣g(1)=0.542>0，即可得出结论. 【详解】设 h(x)=f(x)﹣g(x)，则 h(0)=f(0)﹣g(0)=﹣0.44<0，h(1)=f(1)﹣g(1)=0.542>0， ∴h(x)的零点在区间(0，1)， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关零点存在性定理的应用问题，解题思路如下：
2x
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知
x
,sin x cos x
1
.
2
2
5
(1)求 sin x cos x sin2 x 的值 1 tan x
(2)求 sin x cos x 的值.
18．已知集合
，
（1）当 时，求 ；
令 2k x 3 2k ，解得 2k x 7 2k ，k∈Z
2
32
6
6
∵函数 f（x） sin（ωx ）（ω＞0）在（ ，π）上单调递减，
3
2
∴
6 7
6
2k 2k
2
，解得 1 4k 3
ω
7 6
2k，k∈Z
∴当 k＝0 时， 1 ω 7
3
6
故选：B
（1）求游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到 10 min 后距离地面的高度；
（2）以轴心 O 为原点，与地面平行的直线为 x 轴，PQ 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，
开始转动 t min 后距离地面的高度为 y m，求在转动一周的过程中， y 关于 t 的函数解析式；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 h （单位：m）关于
t 的函数解析式，并求高度差的最大值（结果精确到 0.1m）.
参考公式： sin sin 2cos sin .
2
2
参考数据： sin 0.2079 ， sin 0.0654
15
48
21．已知函数
f
(x)
2x 1 2x a
是定义在
R 上的奇函数
(1)求实数 a 的值；
(2)判断函数 f x 的单调性，并利用定义证明
a b
2 2
k a k b
，问题转化为
y
k
与
y
x(2
x)
在
x
0
时有
2
个不同的交点，结合二次函数的性质可求
【详解】解：因为 f (x) | x | 2是“ (0, ) 上的优越 k 函数”且函数在 (0, ) 上单调递减，
若存在区间 a, b ，使
f
(x)
在 a, b
上的值域为
k b
,
k a
log2alog1a
14．已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 0, 上单调递减，若实数 a 满足 f 3
2 f 3 ，
则 a 的取值范围是______
15．集合 A x Z 3 x 3 的子集个数为______
16．函数 f x 1 的定义域为__________.
x
1
的值域为
R
，那么实数 a
的取值范围是（
）
A. , 1
B.[-1，2）
C.（0，2）
D. 2,1
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
13．已知 max{x1, x2, , xn} 表示 x1, x2 ,, xn 这 n 个数中最大的数．能够说明“对任意 a,b, c, d R ,都有 max{a,b} max{c,d} max{a,b,c,d} ”是假命题的一组整数 a,b,c,d 的值依次可以为_____
x
﹣1
0
1
2
3
f(x)
﹣0 677 3.011 5.432 5.980 7.651
g(x) A.(﹣1，0)
﹣0.530 3.451 4.890 B.(1，2)
5.241
6.892
）
C.(0，1)
D.(2，3)
6．已知 a 0,b 0, a 2b 1，则下列选项错．误．的是（ ）
A. 0 b 1 2
b2
1
2b2
b2
5b2
4b
1
5 b
2 5
2
1 5
，由
A
可知
0
b
1 2
，所以 a2
b2
1 5
,1
，
错误.
故选：D.
7、D
【解析】函数定义域为 (, 2); 当 x 1时， f (x) ln(2 x) 是减函数；当1 x 2 时， f (x) ln(2 x) 是增函数；
故选 D 8、A
【解析】先利用三角恒等变化公式将函数化成 y Asin x 形式，然后直接得出最值.
的 【详解】
f
x
1 sin 3
x
6
cos
x
3
1 2
sinxcos
6
cosxsin
6
cosxcos
3
sinxsin
3
整理得
f
x
23 3
sinx
2 3
cosx
，利用辅助角公式得
f
x
4 3
则点（﹣3，0）在直线 3 x+3y+n=0 上，即（﹣3）× 3 +n=0，
解可得：n=3 3 ；
故选 B
【点睛】本题考查直线的一般式方程以及截距的计算，关键是掌握直线一般方程的形式，属于基础题
12、B
【解析】先求出函数
y
2 ln
x,
x
1的值域，而
f
x 的值域为
R
2 a ，进而得 2 a
0 3a
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
1．设 a 1 ,b 0 ，若 a b 2 ，则 1 2 的最小值为
2
2a 1 b
A. 3 2 2
B. 6
C. 9
D. 3
2．已知
0 ，函数
f
x 在a,b上的值域为
k b
,
k a
，
则称函数 f x 为“ D 上的优越 k 函数”．如果函数 f x x 2 是“ 0, 上的优越 k 函数”，则实数 k 的取值范
围是（）
A. 1,0
B. 1, 0
C. 0,1
D. 0,1
.5．已知 f(x)、g(x)均为[﹣1，3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程 f(x)=g(x)有实数解的区间是（
的有 2 条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（）
A.2800
B.1800
C.1400
D.1200
11．已知直线 3 x+3y+n=0 在 x 轴上的截距为-3，则实数 n 的值为（ ）
A. 3 3
B. 3 3
C. 3
D. 3
12．已知函数
f
x
2 a x 3a,
2ln x, x 1
（1）先构造函数 h(x)=f(x)﹣g(x)； （2）利用题中所给的有关函数值，得到 h(0)=﹣0.44<0，h(1)=0.542>0； （3）利用零点存在性定理，得到结果. 6、D 【解析】根据题意求出 b 的范围可以判断 A，然后结合基本不等式判断 B,C，最后消元通过二次函数的角度判断 D.