土壤水动力学复习笔记

1
、 ；
温
[1] 土壤水动力学是许多学科的基础，它的研究涉及农田水利学、水文学、地下水文学、水
文地质学、土壤物理学、环境科学等学科。

）合理开发和科学管理水资源；2）调控农 田墒情，促进农业节水；3）土壤改良和水土环境的改善。

[2] 土壤各个指标，计算意义，相互关系。

土壤—是由矿物质和生物紧密结合的固相、液相
和气相三相共存的一个复杂的、多相的、非均匀多孔介质体系。

定性指标—质地、结构。

定量指标– 孔隙度、密度、含水率、饱和度等。

[3] 含水率。

体积含水率：θ v =Vw /V0 重量（质量）含水率：θ g =mw /ms 饱和度：w=Vw
/Vv 贮水深度：h=H θ （量刚为 L ） 主要测定方法：称重法（烘干法） 核技术测量：中
子仪， γ 射线仪、电磁测量：时域反射仪(TDR)、核磁共振测量、热脉冲测量、遥感测 量：大面积地表含水率；
[4] 水分常数。

吸湿水，束缚在土粒表面的水汽，最大吸湿量（吸湿常数） 薄膜水，吸湿 水外层连续水膜，最大分子持水量，（薄膜水不能被植物吸收时）凋萎系数；毛管水， 土壤孔隙（毛管），水气界面为一弯月面，分毛管上升水、毛管悬着水，田间持水量（毛 管悬着水达到最大），田持；重力水，大孔隙中的水，饱和含水率。

农业生产中常用的 水分常数：田间持水量（field (moisture) capacity ）：农田土壤某一深度内保持吸湿水、 膜状水和毛管悬着水的最大水量。

凋萎系数（wilting coefficient ）：土壤中的水分不能被 根系吸收、植物开始发生永久凋萎时的土壤含水率，也称凋萎含水率或萎蔫点。

土壤有 效含水量（available water content of soil ）：土壤中能被作物吸收利用的水量，即田间持 水量与凋萎系数之间的土壤含水量。

土壤含水率与水分常数的应用：估计水分对植物生 长的影响；计算灌溉水量；根据土壤水分的动态变化估算腾发量（地面蒸发＋植物蒸腾） [5] 土水势(Soil water potential)：可逆、等温地从特定高度和大气压下的纯水池转移极少量
水到土壤中某一点时单位数量纯水所做的功。

定义土壤中任一点的单位数量土壤水分的 吉氏自由能与标准参考状态下自由能的差值为该点的总土水势，ψ=ψp+ψT+ψs+ψm+ψg 土水势=压力势＋温度势＋溶质势＋基质势＋重力势，标准状态下ψ =0，将单位数量的 水分从标准状态移动到另一状态时，如果环境对土壤水做功，ψ >0；如果土壤水对环境 做功，ψ <0。

重力势：地球重力场对土壤水作用的结果；大小：取决于土壤水相对于参 考面的高度；势能：Eg=±Mgz 。

压力势：压力场中压力差的存在而引起的；大小：取 决于水压与大气压之差；势能：Ep=V Δ p ；饱和地下水：地下水面以下深度h ，ψ p ≥0； 非饱和土壤水：气孔连通：ψ p=0，封闭未充水孔隙：气压势（目前考虑较少）。

基质势： 由土壤基质对土壤水的吸持作用（毛管作用、吸附作用）所产生，自由水被土壤吸持后， 自由能降低，土水势减小(0→负值)，ψ m ≤0，饱和－非饱和水分运动研究中：负压势 h 土壤基质对土壤水分吸持作用：与土壤含水量有关，ψ m ～θ (土壤水分特征曲线)； 基质势的测定：张力计（负压计）法，砂性漏斗法，压力仪法，离心机法，稳定土壤水 分剖面法。

溶质势：土壤溶液中溶质对土壤水分综合作用的结果，渗透试验（半透膜试 验）：溶质的存在降低了水的势能，ψ s ≤0 单位体积土壤水的溶质势：ψ s=-(c/M)RT
c ：溶液浓度(g/cm3)；M :溶质摩尔质量(g/mol)，c/M ：溶液摩尔浓度(mol/cm3)，R ： 摩尔气体常数，8.314 MPa cm3/mol K ，T ：热力学温度(K)。

土壤：不存在半透膜，一般 不考虑溶质势；需要考虑溶质势的情况：植物根系吸水，植物细胞渗流，水汽扩散。

度势：温差；大小： ψ T =－Se Δ T ，Se ：单位数量土壤水分的熵，不易定量描述；温 差对土壤水分运动影响不大，因此一般不考虑温度势；温度对土壤水分运动的影响： 温度影响水的物理化学性质（粘滞性、表面张力、渗透压等），从而影响基质势、溶质 势和土壤水分运动参数，温度决定水的相变和热特性参数。

其他分势：荷载势：土壤承 受荷载，湿润势：膨胀土在饱和状态下产生的土水势。

小结，一般情况下：土壤水：ψ =ψ m ±z ，地下水：ψ =h ±z ，存在半透膜时：考虑溶质势。

⎥± [7] Darcy 定律的微分形式
d H 三维：q =-K grad H =-K ▽H gradH = ∂H i + ∂H j + ∂H
k
⎢K (θ ) ⎥ ⎢K (θ )∂y ⎥ ⎢K (θ )∂z
[6] 基质势（土壤水吸力）随土壤含水率而变化，其关系称为土壤水分特征曲线（Soil water
characteristic curve ）或土壤持水曲线（Soil water retention curve)土壤水分特征曲线反映 了土壤水和土壤基质间的相互作用：高吸力：以吸附作用为主，低吸力：以毛管作用为 主。

基本形状，土壤饱和： s=-ψ m=0，对土壤施加一定吸力，吸力较小时无水分排出， 含水率维持饱和值，当吸力增加至某一临界值 sa 后，土壤水分开始排出，含水率减小。

sa 称为进气值；一般地，粗质地的砂性土壤或结构良好的土壤，其 Sa 较小；相反，细 质地的粘性土壤，其 Sa 较大；吸力不断增大，含水率不断减小。

土壤质地：相同吸力 下，不同土质的含水率差别较大；土壤的粘粒含量越高，同一吸力条件下土壤的含水率 越大；相同含水率对植物的有效性不同。

土壤结构：土壤压实后，孔隙度减小，大孔隙 减少，饱和含水率减小，中等孔隙增加，小孔隙变化不大；一般的，土壤的粘粒含量越 高，同一吸力条件下土壤的含水率越大。

温度：温度升高：水的粘滞性、表面张力下降， 基质势增大（基质吸力减小）；土壤水分变化历史：脱湿，吸湿。

土壤水分特征曲线并 非单值曲线，主脱湿曲线（土壤从饱和到干燥过程曲线称为主脱湿线）、主吸湿曲线（土 壤从干燥到饱和过程曲线称为主吸湿线 ）、扫描曲线（土壤从部分湿润开始排水或从部 分干燥到吸湿过程线 ）。

相同吸力下脱湿过程的含水率较大；砂土滞后现象明显。

滞后 现象在粗质的土壤于低吸力范围内最为明显；孔隙排水时的吸力较它们充水时吸力大得 多。

土壤水分特征曲线的应用，进行土壤吸力 S 和含水率θ 之间的换算。

间接地反映出 土壤中孔隙大小的分布。

可用来分析不同质地土壤的持水性和土壤水分的有效性。

应用 数理方法定量分析土壤水分运动时，水分特征曲线和比水容量 C 都是必不可少的重要参 数。

q = -K
s s s d L 梯度： ∂x
∂y ∂z
Darcy 定律的适用范围：小 Re 数层流：与粘滞力相比，惯性力作用可以忽略不计。

在 紊流状态下，通量与水势梯度呈非线性关系；对于颗粒极细的土壤：克服一定的初始水 头差才能发生流动；一般情况下，Darcy 定律有效。

饱和导水率 Ks ：综合反映了多孔介质对流体流动的阻碍作用，多孔介质的基质特征： 质地、结构…；流体物理性质：粘滞性、密度…；实验室测定：现场测定：双环入渗试 验，Guelph 渗透仪，抽水试验。

1907 年：Edgar Buchkingham 将 Darcy 定律推广到非饱和土壤水：饱和：q =-K s ▽H →非饱
和：q =-K (θ) ▽ψ，q =-K (ψm ) ▽ψ q =-K (θ) ▽(ψm ±z ) ，驱动力：土水势（重力势＋基质 势）梯度不能笼统地说水由高处流向低处，或湿处流向干处。

导水率：小于饱和导水率， 是基质势（含水率）的函数。

非饱和导水率随基质势（含水率）的减小而减小的原因：部分孔隙充气，随着含水率的 降低，实际过水面积减小；随着含水率的降低，较大孔隙排水，土壤水在较小的孔隙流 动，水流阻力增大，实际流速减小；小孔隙弯曲程度增加
非饱和导水率的影响因素：与土壤质地有关，(Ex: Miller&Gardner,1962)湿润情况下：砂 性土 K>粘性土 K ，干燥情况下：砂性土 K<粘性土 K ；与土壤结构有关，(Ex: 渠底夯实； 农田表面结皮 )，土壤干容重增大，K 减小；K 与含水率关系受滞后作用影响较小，但 与基质势（or 吸力）关系则受滞后影响。

[8] Richards 方程的不同形式，混合形式：
∂θ ∂ ⎡ ∂ψ ⎤ ∂ ⎡ ∂ψ ⎤ ∂ ⎡ ∂ψ ⎤ ∂K (θ )
= m + m + m ∂t ∂x ⎣ ∂x ⎦ ⎣ ∂y ⎦ ⎣ ∂z ⎦
∂z
z
t 。

不同形式基本方程的特点：混合方程是一般形式；θ 方程：数学处理，适用于均质非饱 和土壤，扩散率 D 的变化比 K 小；ψ m 方程：可用于饱和－非饱和流动、土壤分层等 情况；K 的变化范围大，数值计算时需要特别处理以保证质量守恒；以 x 或 z 为因变量 的基本方程：简单情况下的解析解和半解析解。

初始条件：所研究问题初始状态，即初始时刻自变量在研究区域上的分布 对于θ型方程，需已知 对于ψm 型方程，需已知 或写作： h (x,y,z,0)=h0(x,y,z) 边界条件，一般分为三类：
第一类边界条件（变量已知边界 Dirichlet 条件）对于θ型方程，θ(x,y,z,t)=θ1(x,y,z,t) (x,y,z) ∈Γ1 对于ψm 型方程，h(x,y,z,t)=h 1(x,y,z,t) (x,y,z) ∈Γ1 Γ1 为一类边界区域 举例： 地面薄 层积水入渗时，地表可视为一类边界条件；土壤下边界若选在潜水面处，潜水位不变时 常视为一类边界条件
第二类边界条件（水流通量已知边界 Neuman 条件）
◆ q =-K (θ) ▽(ψm ±z ) - D(θ )
∂θ
+ K (θ ) = q (t )
Γ2
◆ 垂向一维： - K (h )
∂h
+ K (h )
= q (t )
∂z
Γ2
举例：通量为零的情况：如不透水边界、无蒸发入渗的边界 ；
通量已知的情况：降雨、灌溉、蒸发强度已知
第三类边界条件（水流通量随边界上的变量变化而变化的情况 ）
∂f
◆
α
1 ∂z
+ α f = α 2
3
◆ 举例： 当土壤蒸发强度为表土含水率（基质势）函数的情况
- D(θ )
∂θ
+ K (θ )
= a θ + b
∂z
Γ3
- K (h ) ∂h ∂z
+ K (h ) = a f (h) + b
Γ3
零通量面法：零通量面--当水势梯度为 0，该处通量为 0，则该处为零通量面 分类：单一聚合型零通量面；单一发散型零通量面；多个零通量面。

由于零通量面为已知通量（零）断面，若 t 1 和 t2 时段内零通量位置不变，则根据两时 刻的土壤含水率观测值，可计算出时段内任一断面处流过的土壤水通量。

[9] 入渗：水分进入土壤的过程。

积水条件下的干土入渗：分区：
，饱和区，过渡区，传导 区，湿润区；饱和区、过渡区一般不存在；积水条件下的干土入渗：积水后，表土含水 率很快增加到θ 0 (<θ s )；地表处含水率梯度由大变小， 足够大时地表含水率不变；地 表入渗率逐渐减小；湿润锋不断下移，含水率变化平缓。

入渗率 i ：单位时间内通过单 位面积的入渗水量（地表水通量），mm/min, mm/h, mm/d ，累积入渗量 I ：从入渗开始 到某一时刻通过单位面积的总水量，mm 。

入渗过程的影响因素：供水速率 P （降水强 度…）、土壤入渗能力 f ，P<f ，入渗率 i 取决于供水速率 P （通量控制）；P>f ，入渗率 I 取决于入渗能力 f （剖面控制），超过 f 的部分产生地表积水、径流（超渗产流） 地表
入渗的边界条件：通量边界：积水前 ⎢
- D(θ )⎡ + K (θ )⎥
= R ∂t ⎦ z =0 = K t = D t
s θ - θ I
i =d I /d t ： d z d t = ⋅ f 积分(t =0, z f =0)： t = θ - θ ⎡ ⎢ z f - (s f + H ) ln f ⎥
s i ⎢⎣
⎥⎦
i =i c + b /I t = θ - θ z
⎩i = i + A(t - t )-α t > t
⎣
∂θ ⎤
积水边界：积水后——饱和－非饱和流动 h (0, t )=h 0
一类边界（灌溉模型）：地表含水率接近饱和、不积水：θ(0, t )=θ0
Green -Ampt 入渗模型 初始干燥土壤在薄层积水时的入渗：活塞模型：存在明显湿润 锋面，将土壤分为湿土（饱和含水率）、干土（初始含水率）. 水平，地表：水势 H,湿 润锋：水势 – sf ，入渗率： i=Ks(sf+H)/zf ，累积入渗量： I=(θ s -θ i) zf ，i=dI/dt ：
d z
K
f
=
s
d t
θ - θ s
i
⋅
s + H
f
z
f
积分(t=0, zf=0)： z
2
f
2
s + H
f s i
得到： I = (θ - θ ) z = (θ - θ ) 2D t ， i = dI / d t = (θ - θ )
s i f s i 0 s i D
0 2t
垂直.地表：水势 H ，湿润锋：水势-(s f +z f ) ，
入渗率：i =K s (s f +z f +H )/z f ，累积入渗量：=(θs -θi )z f
f K
s θ - θ
s
i z + s + H
f z f
，
z + s + H ⎤ f K
s + H
s f
入渗公式小结
Green -Ampt 垂直入渗公式：i =K s [1+ (θs -θi ) s f /I ],
s K
s
i [
f
- s ln(1 + z / s )] f f f
具有一定物理基础，确定 K s 、 s f 比较困难；对非均质土壤、初始含水率不均匀也可 应用；可用于降水入渗分析（通量控制－积水）
⏹ Philip 入渗公式：I (t )=St 1/2+At , i (t )=0.5St -1/2+A 适用范围：均质土壤垂直入渗
⎧i = R
t ≤ t Smith 入渗公式 ⎨ ∞ 0
p
p
⏹ 考斯加可夫(Kostiakov)入渗公式：i (t )=Bt -a ，经验性公式，水平入渗
Horton 入渗公式 i = i + (i - i ) exp( - β t )
c 0
c
[10] 蒸发强度的决定性因素：外界条件：辐射、气温、湿度、风速等气象因素决定了大气蒸
发能力；水分蒸发过程中的能量供给；蒸发面水汽向大气的扩散过程；潜在蒸发强度： 土壤供水充分时，由大气蒸发能力决定的最大可能蒸发强度，一般用水面蒸发强度表示 土壤条件：土壤表层的含水率状况决定了土壤供水能力。

土面蒸发的阶段性(大气蒸发能力不变)
稳定蒸发阶段：AB ，θ >θ k ；蒸发强度 E 0；θ k 取决于土质和大气蒸发能力，毛管破裂
点（50%～70%田持）
土面蒸发强度随含水率变化阶段： BC 。

随着含水率的降低，表层土壤的供水减小，地 表水汽压降低，蒸发强度减小
∂z
= -[ D (θ ) + D (v)] ∂c ∂z ∂z
∂(θc) ∂ ⎡
∂c ⎤ ∂(qc)
∂t ∂z ⎢⎣ sh ∂z ⎥⎦ ∂z
∂(θc + σ ) ∂ ⎡ ∂c ⎤ ∂(qc)
∂t ∂z ⎢⎣ sh ∂z ⎥⎦ ∂z
溶质势： ψs =-cRT /(ρwgM ) 水流通量： = - K (θ ) ⎛ ∂ψ ∂ψ ⎫ ⎝ ∂z
⎭
水汽扩散阶段：表土含水率很低时，形成干土层，干土层底部蒸发－水汽扩散
潜水蒸发是由液态水在非饱和土壤中向上运移和水汽从土面向大气散发两个过程组成。

潜水蒸发量的大小及其变化规律对于浅层地下水资源评价、土壤盐碱化成因分析和控制 等十分重要。

潜水稳定蒸发强度取决于大气蒸发能力（通常以水面蒸发强度表示）和土壤供水能力（取 决于土质和潜水埋深）。

[11] 对流(Convection)：溶质随土壤水分的运动而运移，溶质对流通量： J c =qc =vθc ， q ：土
壤水通量，c ：土壤水溶液的质量浓度，v =q /θ：土壤水溶液的平均孔隙流速。

对流作用 下溶质的穿透时间：t L =L /v =Lθ/q
分子扩散(Molecular diffusion) ：不同浓度的溶质间在浓度梯度的作用下产生的质量交换 原因：分子不规则热运动（布朗运动），趋势：高浓度→低浓度，溶质的分子扩散符合
Fick 第一定律：土壤水溶液： J = - D
d s ∂c ∂z
，Jd ——分子扩散通量；Ds ——扩散系数
溶质扩散系数 Ds :随土壤含水率的减小而减小
机械弥散(mechanical dispersion)：又称对流弥散(convection dispersion)，由于土壤水流 和土壤孔隙结构相互作用使溶质在土壤孔隙中运移和分散的过程。

产生原因：土壤孔隙 不均匀，流速方向和大小不同，使得溶质在水流运动中分散
溶质的机械弥散通量： J = - D (v)
∂c
h
h
，机械弥散系数 Dh(v)： Dh(v)=λ |v|
经验常数（dispersivity ）λ 与土壤质地、结构有关；机械弥散系数还与空间尺度有关 水动力弥散(hydrodynamic dispersion)：综合考虑分子扩散与机械弥散
溶质的水动力弥散通量： J
sh s h sh
= - D (v ,θ )]
∂c
水动力弥散系数(综合扩散－弥散系数 )：D sh (v,θ )，当土壤水流速度较大时，机械弥散 作用超过扩散作用；土壤溶液静止时，只有分子扩散作用
土壤溶质通量： J = J + J c
sh
= qc - D (v ,θ )
sh ∂c
∂z
∂(θ c ) ∂J
溶质运移连续方程(一维，不考虑源汇项) =-
∂t ∂z
一维溶质运移方程：根据水流连续方程：
对流－弥散方程：CDE
= D (v ,θ ) -
土壤水分运动对溶质运移的影响 c = D (v ,θ ) - + S
c
水流通量 q 影响溶质对流；土壤含水率 θ 、水流通量 q （土壤平均孔隙流速 v =q /θ）影 响溶质的水动力弥散；土壤溶质的源汇项、动态储存一般与 θ 有关。

溶质对土壤水分运动的影响
m + f s + 1⎪
f 0——选择系数：＝1：完全选择，溶质不能通过(半透膜)；＝0：溶质能通过， 溶质势对水流无影响；粘土层存在一定的半透膜作用，非粘土中一般可以忽略溶
法。

间接测定法：Bowen 比法；空气动力学法
测定两个高度处的温度和湿度。

由：β = = γ 2 1 ⎛ R - G ⎫
E = n ⎪
T - T n ⎛ z ⎫ ∆
γ
⎝ z ⎭
质势的影响。

溶质的存在导致土壤导水率的降低。

溶质可能影响密度，产生密度 流（如海水入侵）
[12] 土壤比热容（Specific heat capacity ）
： 单位体积（质量）的土壤，温度升降 1℃所吸收 或释放的热量，称为体积（质量）比热容，比热容是土壤的一种广度性质，具有可加性， 是土壤各组分(矿物质、有机质、水、冰、空气)比热容之和。

热导率：热量传输能力，数值上等于温度梯度为 1 时的热通量。

： q h =-K h ▽T ，q h ：热通
量， W cm -2 ，K h ：热导率，W cm -1 ℃-1
热扩散率：D h =K h /C v ，Fourier 热传导定律： q h =-K h ▽T =-C v D h ▽T ，D h ：cm 2/s
随着含水率的增加，热导率的提高较比热容的提高要快，但当含水率较高时情况恰好相 反。

因此含水率 θ 较小时，随 θ 的增大而增大，含水率 θ 较大时，随 θ 的增大而减小。

土壤水分运动对热量传输的影响：
土壤水分状况影响土壤热特性参数；土壤水分相变（蒸发与凝结、冻结与融化等）产生 热源、汇；地表基质势影响水汽压，从而影响地表热量平衡 土壤温度对水分运动的影响
温度影响水的物理化学性质，从而引起土壤水分运动参数、基质势的变化； 温度势所产生的水分运动。

地表能量平衡： R n =C s +λE s +G R n ：净辐射 C s ：显热消耗，λE s ：蒸发潜热；G ：地表的
热通量
[13] 早期对各种水分传输过程单独研究，概念不统一后来，用水势的概念综合研究水分传输，
将土壤－植物－大气视为连续体，Philip 于 1966 年提出 SPAC 的概念，土壤－植物－大 气连续体： Soil -Plant -Atmosphere Continuum 。

SPAC 系统的三个重要环节：根系吸水过 程，水在植物体内的输运过程，植物体内的水分向大气扩散过程。

蒸腾(Transpiration)：主要通过叶片气孔散失。

水分在气孔腔和细胞间隙的叶肉表面蒸发 （水面蒸发），水汽达到饱和；水汽由气孔腔经气孔向叶面气层扩散；水汽从叶面气层 向大气扩散。

腾发的影响因素：能量：辐射，潜热消耗 L=2.5 MJ/kg ；水汽输送：风 速、温度梯度、湿度梯度；其它影响因素：植物生长状况、土壤供水状况
直接测定法：根据实测水分剖面，利用零(定位)通量法计算；称重式蒸渗仪；涡度相关
LE R = LE + H + G = LE + + G H β 1
LE e - e 2 1 L ⎝ 1 + β ⎭
涡度相关是指某种物质的垂直通量，即这种物质的浓度与其垂直速度的协方差。

涡度相 关法已经成为直接测定大气与植物群落气体交换通量的通用标准方法。

能量平衡与紊流扩散理论结合，只需一个高度的气象资料。

Penman 公式（计算潜在腾
发量）：水面→湿润表面
LE = tp LE ρε k 2u (e - e )
γ n a E =- a 2 2 s 2
a 2
+1p 2⎪
a
1
其中Ea常称为干燥力，反映了空气湿度与饱和湿度差引起的蒸发量。

Penman-Monteith公式：引入冠层气孔阻力，可用于计算腾发
ET=
01∆(R-G)+Cpρ(e-e)/ra n a d
其中ra空气边界层阻力，rc冠层气孔阻力应用中，气孔阻力测定问题
L∆+γ(1+rc/ra)
aero
=
T + 273 2 a
( ∂ ⎛ ( )∂θ ⎫ ∂K (θ ) ⎪-
- S (z, t ) = D θ ∂t ∂z ⎝ ∂z ⎭ ∂z
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单作物系数法：ET m =K c ET 0 , ET=K s ET m ， ET=K s K c ET 0
ET 0——参考作物腾发量(Reference ET) ，K c ——作物系数(Crop coefficient)
K s ——土壤供水系数，ET m ——土壤供水充分时的最大腾发量（作物需水量）
ET——实际腾发量
参考作物腾发量(Reference ET)概念：参照作物腾发量，为一种假想的参照作物冠层（作 物高度为 0.12m ，固定的叶面阻力为 70s/m ，反射率为 0.23，非常类似于表面开阔、高 度一致、生长旺盛、完全遮盖地面而不缺水的绿色草地）的腾发速率。

计算公式：FAO Penman -Monteith 公式
ET = ET
rad
+ ET 0.408∆(R - G )+ γ 900 U (e - e )
n d
∆ + γ 1
+ 0.34U ) 2
∂θ
r
初始条件：初始含水率（基质势）分布已知，即：θ (z,t) = θ0(z) t=0
边界条件:
上边界为以地表土面蒸发强度控制的通量边界 下边界视具体情况而定。

（根系吸水源汇项）
[14] 解析法 ：求出解的函数表达式: 精度高，但有很大局限性:简化、特殊情况。

数值法：求用数值表示的有限个离散点和离散时段上的近似解: 具有广泛适用性；容易 程序化，数值模拟软件多；随着计算机技术的提高和数值算法的改进得以迅速发展。

全离散化方法：时间和空间进行离散，利用微分方程推导出物理量在节点值的代数方程 组，求解方程组得到微分方程在节点上的近似解
有限差分法(FDM)：用差商替代导数；控制容积法 (CVM)：积分方程离散，守恒；有限 元(FEM)：借助基函数，直接求函数的近似解
半离散方法：时间或空间离散有限解析法（FAM ） ；线法(MOL)。