应力状态分析

第九章 应力状态分析和强度理论
§9–1 应力状态的概念 §9–2 平面应力状态分析——解析法 §9–3 平面应力状态分析——图解法 §9–4 梁的主应力及其主应力迹线 §9–5 三向应力状态研究——应力圆法 §9–6 平面内的应变分析 §9–7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系
——（广义虎克定律） §9–8 复杂应力状态下的变形比能
c/sin c/cos
xy cos 2 sin 2
3
ixco 2 sysi2 nxsy in co s i 1
3i xs2 i n ys2 in xy c2 o s s2 in i 1
x 2yx 2yco 2 s1 2xsy i2 n
2x 2ysi2n1 2xyco2s
ts ssxx 2 2 ssyyss i2nx 2 styxcyco o22s stxsy i2 n
令 :d d s 0 sx sysi2 n 0 2 txc y 2 o 0 s 0
由此的两个驻点：
01、（012）和两各极值：
tg20
2txy sx sy
s s s s s s t m m ´´a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
sy sx
t0 0极值正应力就是主应！力
主面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s1s2s3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点
的无限小的几何体，常用的是正六面体。
单元体的性质——a、平行面上，应力均布；
sy
y
b、平行面上，应力相等。
sz
z
txy sx
x
四、普遍状态下的应力表示
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分
Fn0
n
sSsxSco2stxyScossin
t
sySsin2tyxSsincos0
sy
考虑剪应力互等和三角变换，得：
y O
sx
y
sx
txy
x
图1
s
sy
ttxy
s sx 2 sy sx 2 syc2 o stxs y 2 i n
同理：
tsx 2sysi2n txc y o2s
n
Ox
t
图2
二、极值应力
y
面的法线 应力圆的半径
Ox
t n D( s , t
2
C
x
两面夹角 两半径夹角2 ；
A(sx ,txy) s
且转向一致。
O
B(sy ,tyx)
四、在应力圆上标出极值应力
t
t max
x
21
A(sx ,txy)
OC
s3 s2
20 s1 s
B(sy ,tyx)
t min
s s
1 3
OC
R半径
s
x
s
2
y
（s
二、应变分析图解法——应变圆（ Strain Circle）
1、应变圆与应力圆的类比关系
/2
s; 2 t;2 2
2、已知一点A的应变（x,y, xy ），画应变圆
A
建立应变坐标系如图
C B
在坐标系内画出点
A(x，xy/2)
B(y，-yx/2)
AB与 轴的交点C便是圆心
以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
25 3
45 95
60°
150° 25 3
ss12sx2sy（sx2sy） 2tx2y
sy45MPa tyx25 3MPatxy
y Ox
s x ?
s 60 95MPa t6025 3MPa
tsx 2sysi2ntxyco2s
§9–4 梁的主应力及其主应力迹线
i0 (ix,y,)z
yz zx0
txy
z
x
三、复杂状态下的应力 --- 应变关系
sy
y
sx
sz
txy
z
x
依叠加原理,得:
x
s x
E
sy
E
sz
E
xE 1sxsysz
yE 1syszsx
zE 1szsxsy
xy
t xy G
yz zx
t
yz
G
t zx
G
1 E
s
x
s
y
s
z
主应力 --- 主应变关系
三、方向上的应变与应变圆的对应关系
/2
n D(，/2)
2 A
方向上的应变( ， /2) 应变圆上一点(， /2)
C 20
min
max
方向线 应变圆的半径
B
两方向间夹角
两半径夹角2 ；且转向一致。
四、主应变数值及其方位
ssm mianxsx 2sy（ sx 2sy） 2tx2y
s; 2 t;2 2
x
s
2
y
）2 t
2 xy
t t
m m
ax
in
R半径
s
m
axs
2
m
in
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)
解：主应力坐标系如图
在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 B 95
A
150° 0 25 3
s1
B(45,25 3)
AB的垂直平分线与
t max44
§9–6 平面内的应变分析
一、叠加法求应变分析公式
y
Ox
剪应变： 直角的增大量！ （只有这样，前后才对应）
D1 D d1axcos
E1 B
b
E
aA
D1
D
cd
O
1xco2s
1 AOD BOE b x cos a x sin
b/sin a/cos x sin 2
E2
B E
b
y Ox
y
txy
tsx2sysin2txyco2s
Ox
sx
y
sy
s
ttxy
对上述方程消去参数（2），得：
nssx 2sy2t 2sx 2sy2tx2y
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
Ox
t 由德国工程师：Otto Mohr引入）
sy
n 二、应力圆的画法
s
sx
t txy
y
Ox
t n D( s , t
2
C O
力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
整个单元体内的最大剪应力为：
t maxs12s3
例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）
y
B AC
40 50
t（MPa ）
B
t max
建立应力坐标系如 图，画应力圆和
点s1′,得:
30 x
z
解：由单元
s3
体图知：y
z面为主面
s150
s2
A
10
s
s1 (MPa) s 1 58 s 2 50 s 3 27
y
txy
Ox
s1 sm a;xs2 sm in
s1在剪应力相对的项限内， 且偏向于sx 及sy大的一侧。
sy
s 2
主 单元体
sx
y
txy s 1
令:dt 0 d 1
tg21s2xtsxy y
Ox
ttmmainx
± （sx
sy
2
）2 tx2y
014 ,即极值剪应力面成与 450主面
例2 分析受扭构件的破坏规律。
s 轴的交点C便是
圆心，以C为圆心， 以AC为半径画 圆——应力圆
t (MPa)
B
s3
O
s2
A
2s0
C
20MPa
s1
s
(MPa)
主应力及主平面如图
s 1 120 s 2 20 s 30
030
25 3
s2
45 B 95
A
150° 0 25 3
s1
t (MPa)
B
s3
O
s2
A
2s0
C
20MPa
s1
s
m 1 2 in (xy)2 （ [xu ） 2 （ u y ） 2]
tg202uxxyy
§9–7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）
一、单拉下的应力--应变关系
y
sx
x
sx E
y
E
s
x
z
E
s
x
ij0(i,jx,y),z
z
x
y
二、纯剪的应力--应变关系
xy
t xy G
拉力
s3 s1
压力
y
1234
i
a
b
c
d
n
主应力迹线的画法： x
1234
i
n
截面截面截面截面 截面 截面
q
s1 s3
§9–5 三向应力状态研究——应力圆法
1、空间应力状态
y
s1
t
s2
s3
s
z
x
s3
s2
s1
2、三向应力分析
t
y
s1
t max
s2
s
s3
s3
s2
s1
x
z 图a
图b
弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应
P1
P2
1
2 3 4
5
q 如图，已知梁发生剪切弯 曲（横力弯曲），其上M、 Q>0，试确定截面上各点主 应力大小及主平面位置。
单元体：
s
x
My Iz
t
xy
QS bI
z
z
ss13s2x（s2x）2tx2y
1
s3 s3
0 s1
s3
3 –45°
s1s3
0 s1 5 s1
t
D1 A2
A1 D2
CO
s
D1
1E 1s1s2s3
2E 1s2s3s1
s1
3E 1s3s2s1
s3
方向一致
tg20
B(sy ,tyx)
x
A(sx ,txy) s
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
在坐标系内画出点A(s x，txy)和 B(sy，tyx)
AB与s 轴的交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画 圆—应关系
s
sx
t txy
面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )
破坏分析
s t 低:碳 s 2钢 4 M 0 ;P s 2a0 M 0Pa
灰口:s铸 Lb 9铁 ~ 828M 0 Pa syb 64~9 06M 0 ;P tb a19~3 80M 0 Pa
低碳钢 铸铁
§9–3 平面应力状态分析——图解法
sy
一、应力圆（ Stress Circle）
sx
ssx2sysx2syco2stxysin2
量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相 离。
sy
y
证:明 单元体M 平 z0衡
t t (xd y y d z)d x (yd x z d x )d y 0
sz
z
txy sx
x
t xyt yx
六、原始单元体（已知单元体）： 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
P
A
P sx
C
y Ox
M
txy tyx
解：确定危险点并画其原
t yx
始单元体
t C xy
sxsy0
t
xy
t
Mn WP
求极值应力
ss12sx2sy（ sx2sy） 2tx2y
t
2 xy
t
s1t;s20;s3t
tg20s2xtsxyy 045
ttm m ianx（sx2sy） 2tx2yt
tg21s2xtsxyy010
§9–１ 应力状态的概念 一、引言
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢
铸铁
P
P
2、组合变形杆将怎样破坏？
M
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
sx
A
y
B
C z
P
sx B sx
Mx
tzx
txz
t yx
t C
xy
七、主单元体、主面、主应力：
sy
y
主单元体(Principal bidy)：
sx
各侧面上剪应力均为零的单元体。
sz
z
s2
s3
主面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
D2
D
A
a cd
O
D2D d2cysin
2ysin2
2 AOD BOE c y sin c y sin
c/cos c/cos y sin 2
d3 A D d3 cxc y os
E3
B
b
D3 a
A
E
c
xy
D
d xy
O
y
Ox
3xysinsoc
3 AOD 3BOE c xy sin c xy cos
tg20s2xtsxy y
m mia n1 2 x xy（ xy） 2x 2y
tg20
xy x y
例5 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、 2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。
解：由
ixc2 oi sys2 iin xsy iic no i s
sx B sx
tzx
txz
sx
sx
A
§9–2 平面应力状态分析——解析法
y
sy
sy
txy sx
等价 y
sx
txy
x z
Ox
sy
一、任意斜截面上的应力
sx 规定：s 截面外法线同向为正；
y
txy
t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
t
A2