常微分方程试题B答案

常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7
一、填空题（每小题3分，本题共30分）
1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈
4．
)(x N
x
N
y M ϕ=∂∂-∂∂ 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0
0(,)x
x y y f x y dx =+
⎰
9.
1
,Re s a s a
>- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分）
11. 解： 齐次方程的通解为 x
C y 3e
-= (3分)
令非齐次方程的特解为 x
x C y 3e )(-=
代入原方程，确定出 C x C x
+=5e 5
1)( 原方程的通解为 x
C y 3e
-=+x
2e
5
1 （5分）
12. 解： 对应的特征方程为：012
=++λλ，
解得i i 2
3
,23212211--=+
-=λλ （3分） 所以方程的通解为：)2
3sin 23cos
(212
1
t c t c e
x t +=- （5分）
13.
1=∂∂y M ，x
N
∂∂=1 , x N y M ∂∂=∂∂ 所以此方程是恰当方程. （3分）
凑微分，0)(22
=++-xdy ydx ydy dx x
得
C y xy x =-+23
3
1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77
dt t
t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离 （3分）
2
1772t x c t
-=-+两边积分
21
7(5)7.2
(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量
（5分）
三、计算题（每小题10分，本题共30分） 15．特征方程为 014
11=--=
-λ
λλE A ,
即 0322
=--λλ.
特征根为 31=λ，12-=λ. （4分）
31=λ对应特征向量应满足 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--0031413111b a 可确定出
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a
同样可算出12-=λ对应的特征向量为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a
所以，原方程组的通解为
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 （10分） . 16．解：
(),dy
P x y dx
= （1） 这是一个变量分离方程，通解为(),P x dx
y ce ⎰=这里c 是任意常数。

（4分）
假设()()P x dx
y c x e ⎰
=是
()()dy
P x y Q x dx
=+的通解，代入方程，则有 ()()
()P x dx dc x Q x e dx
-⎰= 积分后得到
()()(),P x dx
c x Q x e dx c -⎰=+⎰
（8分）
这里c 是任意常数，方程的通解为
()()(())P x dx
P x dx
y e Q x e dx c -⎰
⎰=+⎰ （10分）
17. 解：设f(x,y)= 2331y ,则)0(2
13
2
≠=∂∂-y y y f
故在0≠y 的任何区域上
y
f
∂∂存在且连续， 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件. （4分）
显然，0≡y 是通过点（0，0）的一个解； （6分）
又由2
3=dx dy 31y 解得，|y|=23
)(c x -
所以，通过点（0，0）的一切解为0≡y 及
|y|=⎪⎩⎪⎨
⎧≥>-≤是常数
0),()
()(023c c x c x c x （10分）
四、证明题（每小题10分，本题共20分）
18. 证明：必要性 若该方程为线性方程,则有
)()(x Q y x P dx
dy
+= , 此方程有积分因子⎰=-dx
x P e x )()(μ,)(x μ只与x 有关 . （4分）
充分性 若该方程有只与x 有关的积分因子)(x μ,
则0),()()(=-dx y x f x dy x μμ为恰当方程,
从而dx x d y y x f x )()),()((μμ=∂-∂ ,)()
(x x y f μμ'-=∂∂,
)()()()
()()()()(x Q y x P x Q y x x x Q dy x x f +=+'-=+'-=⎰
μμμμ. 其中)
()
()(x x x P μμ'-
= . （8分） 于是方程可化为0))()((=+-dx x Q y x P dy
即方程为一阶线性方程. （10分）
19．证明： (),()x x ϕψ的朗斯基行列式
为 ()()
()()()
x x W x x x ϕψϕψ=
''
因
(),()x x ϕψ是基本解组, 故
()0,()W x x R ≠∈. 若存在 0x R ∈, 使得00()()0x x ϕϕ'==, 则由行列式性质可得
0()0W x =, 矛盾. 即 ()x ϕ最多只能有简单零点. 同理对 ()x ψ有同样的性质, 故(i)
得证.
若存在
0x R
∈, 使得
00()()0x x ϕψ==, 则由行列式性质可得 0()0W x =, 矛盾.
即 (),()x x ϕψ无共同零点. 故(ii)得证 若存在 0x R
∈, 使得 00()()0x x ϕψ''== 则同样由行列式性质可得
0()0
W x =, 矛
盾.
(),()x x ϕψ''没有共同的零点.. 故(iii)得证.。