《完全平方公式》图文课件-北师大版初中数学一年级下册

已知a+b=5,ab=4,求a2+b2的值，提示[利用公式 (a+b)2=a2+2ab+b2] 解 ∵(a+b)2=a2+2ab+b2
∴a2+b2=(a+b)2-2ab
又∵a+b=5,ab=4,∴(a+b)2=25；2ab=8
∴a2+b2=(a+b)2-2ab =25-8 =17
做一做
形成四 要将其边长增加 b 米。 块实验田，以种植不同的新品 b 种(如图1—6). 用不同的形式表示实验 田的总面积, 并进行比较.
(2x2+y)(-2x2+y)
那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否 也能用一个公式来表示呢？
探究：计算下列各式,你能发现什么规律?
P2+2p+1 (1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) = ______
2+4m+4 (2) (m+2) 2 = m _________;
n2+6n+9 (3) (n+3)2= _________; P2-2p+1 (4) (p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;
完全平方和公式：
b ab a
b²
(a+b)²
a²
a
2
ab b
2 2
( a b) a +2ab +b
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
ab
b a
a b
b² ab
a²
(a-b)²
( a b) a ab ab b
2
2
a b
2
a 2ab b
2
2
完全平方公式 的图形理解
(a -b)2 =a2-2ab+b2
例1.运用完全平方公计算⑴(x+2y)2,⑵(x-2y)2
( a+
解: ⑴
2 2 b) =a +2
a b+
2 b
2+ 2 x (x+2y) =
2· x· 2y + (2y)2
=x2+4xy+4y2 2 2 2 (a - b ) =a - 2 a b + b
⑵(x - 2y
2 2 ) =x -
2·x·2y +( 2y =x2 - 4xy+4y2
2 )
尝试应用
1.运用完全平方公式计算:
(1)
(4m&m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2 = 16m2+8mn +n2; 1 1 1 2 (2) (y - ) = y2 - 2•y• + ( 2 )2 2 2
2.当a=b时(a+b)
2=a2+2ab+b2 2=a2 2 2ab+b
(a-b) ——完全平方公式
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
完全平方公式的结果 是三项， 即 (a b)2＝a2 2ab+b2; 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
(a -b)2= a2-ab-ab+b2 =a2 -2ab+b2 你的猜想正确吗？
真棒！
下面就让我们一起来给这个公式起个名字！
一般地,我们有 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加(或减)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
1.下列各式中与(x+1)² 相等的是( B )
A.x² +1 B.x² +2x+1 C.x² -2x+1 D.x² -1
2.下列各式中是完全平方式的是（D）
A.x² +xy+y² B.y² +2y+2 C.x² +xy+y²D.m² -2m+1
1 2
)2.
1 = y 2- y + 4
2.
运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 . (2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2Χ100Χ1+12
(a+b)2= a2 +2ab+b2
2= a2 - 2ab+b2 (a b) 公式特点：
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同。 首平方，尾平方，
积的2倍在中央
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式。
(a+b)2= a2 +2ab+b2
完全平方公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
（x ＋ 3)( x＋3）
2 =x ＋3x
＋3X ＋9 =x2 ＋6x ＋9
课 件 使 用 1 0 1 教 育 P P T 制 作 ()
回顾旧知———平方差公式 2 2 ( a + b )( a – b )=a - b
（1） 第一天有a个男孩去了老人家，老人一共 给了这些孩子多少块糖？ a2块 （2） 第二天有b个女孩去了老人家，老人一 共给了这些孩子多少块糖？ b2块 （3） 第三天这（a+b）个孩子一起去看老人， 老人一共给了这些孩子多少块糖？ (a+b)2块 （4） 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天 他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
做一做:用两数差的完全平方公式计算(填空):
(1) (a-1)2=( a )2+2( a )( -1 )+( -1 )2 2 =( )
a 2a 1
(2) (2a-5b)2=( 2a )2+2( 2a )( -5b )+(-5b )2 =(4a 2
20ab 25b
2
)
(a+b)2=a2+2ab+b2,
完 全 平a 方 公式 因需 一块边长为 米的正方形实验田，
探索: 你发现了什么?a
法一
直 接 求
总面积=(a+b) 2；
总面积=a2+ ab+ ab+ b2.
法二
间 接 求
a
图 1 —6
b
公式: (a+b)2=a2+ 2 ab + b2.
乘法公式： 2 (x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab 1.当a=-b时(a+b)(a-b)=a2-b2 ——平方差公式
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
做一做:用两数和的完全平方公式计算(填空):
(1)(a+1)2=( a )2+2( a )( 1 )+( 1 )2 2 =( )
a 2a 1
(2)(2a+3b)2=( 2a )2+2( 2a )( 3b )+( 3b )2 2 2 =( )
4a 12ab 9b
2-4m+4 (5) (m-2)2 = m __________. 2-6n+9 n = __________.
(6)
(n-3)2
猜想 (a+b)2= a2+2ab+b2 2 - 2ab+b2 2 a (a -b) =
你能证明你的猜想吗？ 动手算一算
(a+b)2= a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
完全平方差公式：
b a
a b
(a-b)²
b²
a ²
a b
( a b) a ab ab b
2
2
a b
2
a 2ab b
2
2
b
a
a
b
完 全 平 方 公 式 （ 二 ）
有一位老人非 常喜欢孩子， 每当有孩子到 他家做客时， 老人都要拿出 糖果招待他们， 来一个孩子， 老人就给这个 孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩 子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……
第3天多 (a+b)2- a2- b2=2ab
例2. 利用完全平方公式计算： （1）1022 （2）1972
解： （1）1022=（ 100+2 ）2
= 1002+2×100×2+22
（2）1972=（200-3）2 =2002-2×200×3+32
今天我们学到了什么? 大家一起来说说吧!
结果不同：
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、 2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进 行多项式乘法的关键
有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
完全平方公式 的图形理解
3.下列计算中正确的是（ C ）
A. B. C. D. (x+2)² =x² +2x+4 (2x-y)² =4x² -2xy+y² ( ½ x-y)² = ¼ x² -xy+y² (a+b)² =a² +b²
4.计算：
(1).(y-6)² (2).(-1+½y)² (3).101² (4).(x+3)(x-3)(x² -9)
• 4题答案：
• • • • • • • • • • (1) (y-6)² =y² -2y×6+6² =y² -12y+36 (2) (-1+½y) ² =(-1) ² +2×(-1)(½ y)+ (½y) ² =1-y+¼y ² (3) 101 ² =(100+1)² =100² +2×100×1+1² =10000+200+1=10201 (4) (x+3)(x-3)(x² -9) =(x² -9) (x² -9) = (x² -9) ² =x4-2x² ×9+9² =x4-18x² +81