高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第一章 常用逻辑用语 1.2

§1.2充分条件与必要条件
【课时目标】 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．
1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的__________，q是p的__________．
2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________条件．
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件
题号123456
答案
二、填空题
7．用符号“⇒”或“⇒”填空.
(1)a>b________ac2>bc2；
(2)ab≠0________a≠0.
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．
9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．
三、解答题
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
11.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
12．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3<0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．
【能力提升】
13．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．
1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对于
否定性命题，注意利用等价命题来判断．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．
§1.2 充分条件与必要条件
知识梳理
1．充分条件 必要条件
2．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要
作业设计
1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．
因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．]
2．A [∵q ⇒p ，∴綈p ⇒綈q ，反之不一定成立，因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]
3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]
4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]
5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]
6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a
<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有
一根为－12
，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]
7．(1) ⇒ (2)⇒
8．a >2
解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1)
(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.
9．b ≥－2a 解析 由二次函数的图象可知当－b 2a
≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增．
10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ，
但x ＝y ⇒|x |＝|y |，
∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形．
△ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形．
∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形．
四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．
∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．
11．证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，
则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．
当xy >0时，即x >0，y >0，或x <0，y <0，
又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ，
∴等式成立．
当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．
总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．
②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，
则|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，
即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x ||y |，
∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.
综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．
12．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．
13．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，
∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．
∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a
. 又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c
， 即a b ＝a c 或b c ＝a c
， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．]
14．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，
∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，
∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，
∴a n ＋1－a n ＝2为常数．
又a 1＝S 1＝4＋c ，
∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c ，
∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2.
∴c ＝－1，反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，
可得a n ＝2n ＋1 (n ≥1)为等差数列，
∴{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1.
小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。