2020版高考数学(文)总复习课时冲关(创新教程含答案j解析)

第一章 集合与常用逻辑用语
第1节 集 合 学生用书 课时冲关一
[基础训练组]
1．(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，则A ∩B ＝( ) A ．{3} B ．{5} C ．{3,5}
D ．{1,2,3,4,5,7}
解析：C [A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，∴A ∩B ＝{3,5}，故选C.]
2．(2019·石嘴山市一模)集合P ＝{x |0≤x ＜3}，M ＝{x ||x |≤3}，则P ∩M ＝( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{x |0≤x ＜3}
D ．{x |0≤x ≤3}
解析：C [集合P ＝{x |0≤x ＜3}，M ＝{x ||x |≤3}＝{x |－3≤x ≤3}，则P ∩M ＝{x |0≤x ＜3}．]
3．(2019·张家口市模拟)如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A ．(M ∩P )∩S
B ．(M ∩P )∪S
C ．(M ∩P )∩∁I S
D ．(M ∩P )∪∁I S
解析：C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集的子集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S .故选C.]
4．(2019·漳州市模拟)满足{2018}⊆A {2018,2019,2020}的集合A 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：C [满足{2018}⊆A {2018,2019,2020}的集合A 可得：A ＝{2018}，{2018,2019}，{2018,2020}． 因此满足的集合A 的个数为3.]
5．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：C [因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ， 得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．]
6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭
⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞
解析：D [A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝⎛⎭⎫0，12， 所以A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎡⎭
⎫1
2，＋∞.] 7．(2019·合肥市模拟)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤
12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞
D ．(1，＋∞)
解析：A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩
⎪⎨⎪
⎧
2a －1≥1，2a －1≥1
2a ，解得a ≥1，故选A.] 8．(2019·石家庄市模拟)函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝( ) A ．(1,2]
B ．[1,2]
C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)
解析：D [使x －2有意义的实数x 应满足x －2≥0，∴x ≥2，∴M ＝[2，＋∞)，y ＝ln(1－x )中x 应满足1－x ＞0，∴x ＜1，∴N ＝(－∞，1)，所以M ∪N ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.]
9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，y ＝4x 2－1}，则A ∩B 的元素个数是________．
解析：集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝4x 2－1上的点的集合，观察图像可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．
答案：3
10．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．
解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
11．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝________.
解析：由题意得A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．
答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)
12．(2019·淮南市一模)若A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，则a 的取值范围是________． 解析：∵A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，
∴a ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0
Δ＝(－a )2
－4a <0，解得0≤a ＜4.∴a 的取值范围是[0,4)． 答案：[0,4)．
[能力提升组]
13．集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A ．{x |x ≥1}
B ．{x |1≤x <2}
C ．{x |0<x ≤1}
D ．{x |x ≤1}
解析：B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．]
14．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：B [当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝1
2；
当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－1
2；
当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－1
2；
当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝1
2
.
故P *Q ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫0，12，－12，该集合中共有3个元素．]
15．若集合A ＝{x |(a －1)x 2
＋3x －2＝0，x ∈R }有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．
解析：由题意知，方程(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－1
8
.
答案：1或－1
8
16．(2019·西城区一模)某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是________．
解析：设同时会打乒乓球和篮球的学生有x 人， 同时会打乒乓球和排球的学生有y 人， 同时会打排球和篮球的学生有z 人，
∵该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球， ∴该班会打乒乓球或篮球的学生有24人， 会打乒乓球或排球的学生有16人， 会打篮球或打排球有22人， ∴x ＋y ＋z ＝24＋16＋22－40＝22. ∴该班会其中两项运动的学生人数是22. 答案：22
第2节 命题、充分条件与必要条件
学生用书 课时冲关二
[基础训练组]
1．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0
解析：D [写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．]
2．(2019·晋城市一模)设a ∈R ，则“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：A [因为函数y ＝log a (x －1)在定义域(1，＋∞)上为增函数，所以a ＞1， 因此“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件．]
3．(2019·天津市模拟)“m ＝1”是“圆C 1：x 2＋y 2＋3x ＋4y ＋m ＝0与圆C 2“x 2＋y 2＝4的相交弦长为23”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：A [由题意知圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线是3x ＋4y ＋m ＋4＝0，故(0,0)到3x ＋4y ＋m ＋4＝0的距离d ＝|m ＋4|5
＝4－3＝1，即|m ＋4|＝5，
解得m ＝1或m ＝－9.故m ＝1是m ＝1或m ＝－9的充分不必要条件，故选A.]
4．(2019·大庆市模拟)已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．(－∞，9]
C ．[1,9]
D ．[9，＋∞)
解析：D [由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，即p ：－2≤x ≤10；
又q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则1＋m ≥10，解得m ≥9.故选D.]
5．(2019·洛阳市一模)若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，2] C ．(－∞，1]
D ．[2，＋∞)
解析：C [由x 2－3x ＋2＜0得1＜x ＜2，
若x ＞m 是x 2
－3x ＋2＜0的必要不充分条件， 则m ≤1，
即实数m 的取值范围是(－∞，1]．]
6．(2019·南昌市模拟)a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：A [因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin (θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.]
7．(2019·新余市模拟)“m ＞1”是“函数f (x )＝3x ＋
m －33在区间[1，＋∞)无零点”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析：A [因为函数f (x )＝3x
＋m
－33在区间[1，＋∞)上单调递增且无零点，所以f (1)＝31
＋m
－33＞0，即m
＋1＞32，解得m ＞12
，
故“m ＞1”是“函数f (x )＝3x
＋m －33在区间[1，＋∞)无零点的充分不必要条件，故选A.]
8．(2019·焦作市质检)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .给出命题s ：若|q |＝2，则S 6＝7S 2，则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：B [若|q |＝2，则q 2
＝2，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 2)(1＋q 2＋q 4)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q ＝7S 2，所以原命题为真，
从而逆否命题为真；而当S 6＝7S 2时，显然q ≠1，这时a 1(1－q 6)1－q ＝7·a 1(1－q 2)
1－q ，解得q ＝－1或|q |＝2，因此，逆
命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2.]
9．(2019·西宁市模拟)《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的_______条件(将正确的序号填入空格处)．
①充分条件 ②必要条件 ③充要条件 ④既不充分也不必要条件
解析：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件． 答案：①
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．
解析：由正弦定理，得a sin A ＝b
sin B ，故a ≤b ⇔sin A ≤sin
B.
答案：充要
11．(2019·曲靖市一模)若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________．
解析：由x 2－5x ＋6≥0得x ≥3或x ≤2，
若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)
12．(2019·日照模拟)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．
解析：由2x 2－3x ＋1≤0，得1
2
≤x ≤1，
∴命题p 为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |12≤x ≤1.
由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， ∴命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}． 非p 对应的集合A ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ＞1或x ＜12，
非q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }． ∵非p 是非q 的必要不充分条件， ∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤1
2，
即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，1
2. 答案：⎣⎡⎦
⎤0，1
2 [能力提升组]
13．(2019·合肥市模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：A [设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题，即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.]
14．(2019·保定市模拟)已知条件p ：4
x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，
则a 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤－2，－1
2 B.⎣⎡⎦⎤
12，2
C ．[－1,2]
D.⎝⎛⎦
⎤2，1
2∪[2，＋∞) 解析：C [由4x －1≤－1，移项得4
x －1＋1≤0，通分得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1；
由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0.
由非q 的一个充分不必要条件是非p ，可知非p 是非q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．
设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪
⎧
f (－3)＝－a 2＋a ＋6≥0，f (1)＝－a 2
＋a ＋2≥0， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－2＜a ＜3
－1≤a ≤2∴－1≤a ≤2，故选C.]
15．给出下列命题：
①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；
④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________．
解析：对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B
＝
3
2
，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④. 答案：①④
16．设命题p ：2x －1
x －1<0，命题q ∶x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值
范围是________．
解析：2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x <1，
x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1. 由题意，得⎝⎛⎭⎫
12，1⊆[a ，a ＋1]． 故⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤12，a ＋1≥1， 解得0≤a ≤12
.
答案：⎣⎡⎦
⎤0，1
2
第3节 量词与逻辑联结词 学生用书 课时冲关三
[基础训练组]
1．(2019·安阳市模拟)已知命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0，则非p 为( ) A ．存在x 0∈[0，＋∞)，2x 0<3x 0 B ．存在x 0∈(－∞，0)，2x 0≥3x 0 C ．任意x 0∈[0，＋∞)，2x ＜3x D ．任意x ∈(－∞，0)，2x ≥3x
解析：D [由特称命题的否定为全称命题，可得 命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0， 则非p 为：任意x ∈(－∞，0)，2x ≥3x ，故选D.]
2．(2019·济南市一模)若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则( ) A ．命题p 与命题q 都是真命题 B ．命题p 与命题q 都是假命题 C ．命题p 是真命题，命题q 是假命题 D ．命题p 是假命题，命题q 是真命题
解析：D [命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题， 则p 是假命题，q 是真命题，故选D.]
3．(2019·濮阳市一模)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．命题p ：若α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥α；命题q ：若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n .那么下列命题中的真命题是( )
A ．p 且q
B ．p 或非q
C ．非p 且q
D ．非p 且非q
解析：C [直线垂直于平面内的一条直线，不能确定该直线与平面垂直，命题p 是假命题；命题q 满足直线与平面平行的性质定理，命题q 是真命题；所以非p 是真命题，可得非p 且q 是真命题．故选C.]
4．已知命题p ：若a ＝0.30.3，b ＝1.20.3，c ＝log 1.20.3，则a ＜c ＜b ；命题q ：“x 2－x －6＞0”是“x ＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )
A ．p 且q
B ．p 且(非q )
C ．(非p )且q
D ．(非p )且(非q )
解析：C [因为0＜a ＝0.30.3＜0.30＝1，b ＝1.20.3＞1.20＝1，c ＝log 1.20.3＜log 1.21＝0，所以c ＜a ＜b ，故命题p 为假命题，非p 为真命题；由x 2－x －6＞0可得x ＜－2或x ＞3，故“x 2－x －6＞0”是“x ＞4”的必要不充分条件，q 为真命题，故(非p )且q 为真命题，选C.]
5．(2019·沈阳市模拟)命题p ：“任意x ∈N ＋，⎝⎛⎭⎫12x ≤12”的否定为( ) A ．任意x ∈N ＋，⎝⎛⎭⎫12x ＞12 B ．任意x ∉N ＋，⎝⎛⎭⎫12x ＞12
C ．存在x 0∉N ＋，⎝⎛⎭⎫12x 0
＞1
2 D ．存在x 0∈N ＋，⎝⎛⎭⎫12x 0
＞1
2
解析：D [命题p 的否定是把“任意”改成“存在”，再把“⎝⎛⎭⎫12x ≤12”改为“⎝⎛⎭⎫12x 0＞12”即可，故选D.] 6．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，(非q )且r 是真命题，则选拔赛的结果为( )
A ．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名
B ．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名
C ．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名
D ．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名
解析：D [(非q )且r 是真命题意味着非q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p 或q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p 且q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.]
7．(2019·玉溪市模拟)有四个关于三角函数的命题： p 1：存在x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； p 2：存在x ∈R ，sin 2x ＝sin x ； p 3：任意x ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π2， 1＋cos 2x
2
＝cos x ； p 4：任意x ∈(0，π)，sin x ＞cos x . 其中真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 2，p 3 C ．p 3，p 4
D ．p 2，p 4
解析：B [因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4，所以sin x ＋cos x 的最大值为2， 可得不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立，得命题p 1是假命题； 因为存在x ＝k π(k ∈Z )，使sin 2x ＝sin x 成立，故命题p 2是真命题； 因为1＋cos 2x
2＝cos 2x ，所以
1＋cos 2x 2
＝|cos x |，结合x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π
2得cos x ≥0 由此可得
1＋cos 2x
2
＝cos x ，得命题p 3是真命题； 因为当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝2
2
，不满足sin x ＞cos x ，
所以任意x ∈(0，π)，使sin x ＞cos x 不成立，故命题p 4是假命题．故选B.] 8．(2019·瓦房店市一模)下列说法错误的是( )
A ．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”
B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件
C ．命题p ：“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，则非p ：“任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”
D ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题
解析：D [命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”，故A 正确； 由x ＞1，可得|x |＞1＞0，反之，由|x |＞0，不一定有x ＞1，如x ＝－1， ∴“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件，故B 正确；
命题p ：“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，则非p ：“任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故C 正确； 若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故D 错误．] 9．(2019·银川市模拟)命题“存在x 0∈R,2x 0＞3”的否定是________．
解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x 0∈R,2x 0＞3”的否定是：“任意x ∈R,2x ≤3”． 答案：任意x ∈R,2x ≤3
10．若命题“任意x ∈R ，kx 2－kx －1＜0”是真命题，则k 的取值范围是________．
解析：命题“任意x ∈R ，kx 2－kx －1＜0”是真命题，当k ＝0时，则有－1＜0；当k ≠0时，则有k ＜0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k ＜0，解得－4＜k ＜0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．
答案：(－4,0]
11．(2019·西宁市一模)命题“存在x ∈R ，x 2－(m －1)x ＋1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围为________． 解析：命题“存在x ∈R ，x 2－(m －1)x ＋1＜0”为假命题， 可得任意x ∈R ，x 2－(m －1)x ＋1≥0恒成立， 即有Δ＝(m －1)2－4≤0，解得－1≤m ≤3， 则实数m 的取值范围为[－1,3]． 答案：[－1,3]
12．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集
是{x |a <x <b }，则在命题“p 且q ”、“p 或q ”、“非p ”、“ 非q ”中，是真命题的有________．
解析：依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p 且q ”为假、“p 或q ”为假、“非p ”为真、“非q ”为真．
答案：非p ，非q
[能力提升组]
13．已知命题p 1：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0成立；p 2：对任意x ∈[1,2]，x 2
－1≥0.以下命题为真命题的
是( )
A ．(非p 1)且(非p 2)
B ．p 1或(非p 2)
C ．(非p 1)且p 2
D ．p 1且p 2
解析：C [∵方程x 20＋x 0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 20＋x 0＋1<0无解，故命题p 1为假命题，非
p 1为真命题；
由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1.
∴对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，
非p 2为假命题．
∵非p 1为真命题，p 2为真命题， ∴(非p 1)且p 2为真命题，选C.]
14．已知命题p ：任意x ∈R,2x ＋12x ＞2，命题q ：存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＝1
2，则下列命题中为真命题的是( )
A ．非p 且非q
B ．非p 且q
C ．p 且非q
D ．p 且q
解析：A [命题p ：任意x ∈R,2x ＋1
2x ＞2，当x ＝0时，命题不成立．所以命题p 是假命题，则非p 是真命题；
命题q ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[1，2]，所以存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＝12，不正确，则非q 是真命题．所以非p 且非q .故选A.]
15．若“任意x ∈⎣⎡⎦
⎤－π4，π
4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________． 解析：由“任意x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π
4，m ≤tan x ＋1”为真命题，可得－1≤tan x ≤1，∴0≤tan x ＋1≤2，∴实数m 的最大值为0.
答案：0
16．(2019·洛阳市一模)已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤
14，12，2x ＜m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________．
解析：已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x ＜m (x 2＋1)，故m ＞2x x 2＋1.令g (x )＝2x x 2
＋1，则g (x )在⎣⎡⎤14，12递增，所以g (x )≤g ⎝⎛⎫12＝4
5
， 故p 为真时：m ＞4
5
；
q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋
1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，
令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1.
若f (x )存在零点，则2x ＝2－m －1>0， 解得m ＜1， 故q 为真时，m ＜1.
若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫
45，1. 答案：⎝⎛⎭⎫45，1
第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示
学生用书 课时冲关四
[基础训练组]
1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )
解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]
2．(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x
D ．y ＝
1
x
解析：D [函数y ＝10lg x 的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x 的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝
1
x
的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] 3．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2
＋1x 2＋1
x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)
D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)
解析：C [f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2
＋1x 2＋1x ＝(x ＋1)2
x 2
－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]
4．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －
1
－2，x ≤1
－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )
A ．－7
4
B ．－54
C ．－34
D ．－14
解析：A [当a ≤1时，2a －
1－2＝－3，无解； 当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－
2－2＝－74
，故选A.]
5．(2019·孝义市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x ≤1x ＋4x －3，x >1
，( )
A ．[1，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．[0,1)∪(1，＋∞)
解析：B [由f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x ≤1x ＋4x －3，x >1，知
当x ≤1时，x 2≥0； 当x ＞1时，x ＋4
x
－3≥2
x ·4x －3＝4－3＝1，当且仅当x ＝4
x
，即x ＝2时取“＝”． 取并集得f (x )的值域是[0，＋∞)．]
6．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.
解析：由图像知每段为线段．
设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭
⎫1，3
2，(2,0)分别代入求解，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝32，
b ＝0，
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－32，
b ＝3.
答案：f (x )＝⎩⎨⎧
3
2
x ，0≤x ≤13－3
2x ，1＜x ≤2
7．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________． 解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]
8．(2019·东莞市模拟)已知函数f (x )＝ax －b (a ＞0)，f (f (x ))＝4x －3，则f (2)＝__________. 解析：∵f (x )＝ax －b ，
∴f (f (x ))＝f (ax －b )＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ＝4x －3.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4ab ＋b ＝3，且a ＞0，∴a ＝2，b ＝1. ∴f (x )＝2x －1，∴f (2)＝2×2－1＝3. 答案：3
9．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.
解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
∵f (0)＝1，∴c ＝1.
把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.
(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.
故原不等式解集为{x |x ＞4，或x ＜－1}． 10．已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；
(2)画出y ＝f (x )的图像，并结合图像写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值范围．
解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时，x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，
即f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ≥0，
－x 2－2x ，x <0.
图像如图，由图像可得实数m ∈(－1,1)．
[能力提升组]
11．(2019·遂宁市模拟)设函数f (x )＝x －1，则f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f ⎝⎛⎭⎫
4x 的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤12，4 B ．[2,4] C ．[1，＋∞)
D.⎣⎡⎦⎤
14，2
解析：B [∵函数f (x )＝x －1的定义域为[1，＋∞)，
∴⎩⎨⎧
x 2
≥14x ≥1
，解得2≤x ≤4.∴f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f ⎝⎛⎭⎫
4x 的定义域为：[2,4]．]
12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<1
2
，则m 的取值范围是( )
A ．m >1
2
B ．m <12
C ．0≤m <1
2
D.1
2
<m ≤1 解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤2m －1≤0，12m ＋1<1
2， 或⎩
⎪⎨⎪
⎧
0<2m －1≤1，(2m －1)2
－2(2m －1)<12， 解得1
2
<m ≤1，故选D.]
13．若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立．∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]
14．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2
200＋mx ＋n (m ，n 是常
数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．
(1)求出y 关于x 的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图像，
得⎩⎨⎧
402
200
＋40m ＋n ＝8.4，60
2
200＋60m ＋n ＝18.6，
解得m ＝1
100
，n ＝0，
所以y＝x2
200＋
x
100(x≥0)．
(2)令x2
200＋x
100≤25.2，得－72≤x≤70.∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70千米/时．
第2节 函数的单调性与最值
学生用书 课时冲关五
[基础训练组]
2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，3
4 B.⎣⎡⎭⎫0，3
4 C.⎝⎛⎦
⎤0，34 D.⎣⎡⎦
⎤0，34 解析：D [当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数； 当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧
a >0－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤3
4
.
综上，a 的取值范围是0≤a ≤3
4
.]
3．(2019·聊城市模拟)函数y ＝ln (x 2－4x ＋3)的单调减区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，2)
D ．(－∞，1)
解析：D [令t ＝x 2－4x ＋3＞0，求得x ＜1，或x ＞3， 故函数的定义域为{x |x ＜1，或x ＞3}，且y ＝ln t .
由二次函数的性质得，t 在区间(－∞，1)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，
又y ＝ln t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，根据复合函数单调性的判断方法，知函数y ＝ln (x 2－4x ＋3)的单调减区间为(－∞，1)．]
4．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(3a －1)x ＋4a ，x <1，
log a x ，x ≥1
是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，1
3 C.⎣⎡⎭⎫
17，13
D.⎣⎡⎭⎫17，1
解析：C [由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
3a －1<0，0<a <1，
(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
a <13
，0<a <1，
a ≥17，
所以17≤a <1
3
.故选C.]
5．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )
x 在区间(1，＋∞)上一定( )
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
解析：D [由题意知a <1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a
x －2a ，当a <0时，显然g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当a >0
时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．]
6．(2019·日照市模拟)已知奇函数f (x )为R 上的减函数，若f (3a 2)＋f (2a －1)≥0，则实数a 的取值范围是 ________.
解析：∵奇函数f (x )为R 上的减函数， ∴不等式f (3a 2)＋f (2a －1)≥0， 等价为f (3a 2)≥－f (2a －1)＝f (1－2a )，
即3a 2≤1－2a ，即3a 2＋2a －1≤0，得(a ＋1)(3a －1)≤0，得－1≤a ≤1
3，
即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，13. 答案：⎣
⎡⎦⎤－1，1
3 7．设函数f (x )＝ax ＋1
x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．
解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1
x ＋2a ，
定义域为(－∞，－2a )∪(－2a ，＋∞)， ∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a 2
－1＞0－2a ≤－2即⎩⎪⎨⎪⎧
2a 2
－1＞0a ≥1
，解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)
8．(2019·沈阳市一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]的最大值为2，则n
m
＝________.
解析：∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1. ∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数， ∴－log 3m 2＝2，或log 3n ＝2.
若－log 3m 2＝2是最大值，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意条件．此时n m ＝3÷1
3＝9.
同理：若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝1
9，
此时－log 3m 2＝4，不满足题意条件． 综合可得 m ＝13，n ＝3，n
m ＝9.
答案：9
9．已知f (x )＝x
x －a
(x ≠a )，
(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；
(2) 且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任取x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2
x 2＋2
＝
2(x 1－x 2)
(x 1＋2)(x 2＋2)
.
∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．
∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2
x 2－a
＝
a (x 2－x 1)
(x 1－a )(x 2－a )
.
∵a >0，x 2－x 1>0，
∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]．
10．(2019·西安市模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足： ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1.
(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数． (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1. 在R 上任取x 1>x 2， 则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.
又f (x 1)＝f ((x 1－x 2)＋x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以，函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.
由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)，
又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3，解得x <－2或x >1， 故原不等式的解集为{x |x <－2，或x >1}．
[能力提升组]
11．(2019·天津市一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上对于任意两个不相等的实数x 1，x 2恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
<0成立，若实数a 满足f (log 6a )≥f (－1)，则a 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤16，6
B.⎣⎡⎭⎫16，＋∞ C ．(0,6]
D ．(－∞，6]
解析：A [根据题意，函数f (x )在区间[0，＋∞)上有f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<0成立，
则函数f (x )在区间[0，＋∞)上是减函数，
又函数f (x )为偶函数，则f (log 6a )≥f (－1)等价于f (|log 6a |)≥f (1)， 即|log 6a |≤1，解得－1≤log 6a ≤1，所以1
6
≤a ≤6.]
12．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )，f (x )≤k ，
k ，f (x )>k ，取函数f (x )
＝2
－|x |
.当k ＝1
2
时，函数f k (x )的单调递增区间为( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(1，＋∞)
解析：C [由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤1
2
，得x ≤－1或x ≥1.
所以f 1
2
(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2－
x ，x ≥1，
12，－1<x <1，
2x
，x ≤－1.
故f 1
2
(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．]
13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ，a ≤
b ，
b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，
g (x )}的最大值是________．
解析：依题意，h (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，0<x ≤2，
－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x >2时，h (x )＝3－x 是减函
数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.
答案：1
14．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )
a ＋
b >0成立．
(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋1
2<f ⎝⎛⎭
⎫1x －1；
(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝
f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)
·(x 1－x 2)，
由已知得f (x 1)＋f (－x 2)
x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，
∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋12＜1
x －1
，－1≤x ＋1
2≤1，
－1≤1x －1≤1.
∴－3
2
≤x <－1.
所以，不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |－32≤x <－1.
(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1，
即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.
①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．
②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须有g (－1)≥0且g (1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.
第3节 函数的奇偶性与周期性
学生用书 课时冲关六
[基础训练组]
1．(2019·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝2|x | C ．y ＝x －
2
D ．y ＝log 3(－x )
解析：B [选项A ，函数是奇函数，不满足条件；选项B ，函数是偶函数，当x ＜0时，y ＝2|x |＝2－
x ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，满足条件；选项C ，函数是偶函数，当x ＜0时，y ＝x －
2＝1x 2是增函数，不满足条件；选项D ，函数的定
义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.]
2．(2019·赣州市一模)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞)
B ．(－∞，－3)
C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D ．(－1,3)
解析：D [由偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减， f (2)＝0， 得f (x )＝f (|x |)，
因为f (x －1)＞0，则f (|x －1|)＞f (2)，
即|x －1|＜2，解得－1＜x ＜3，即x 的取值范围是(－1,3)．故选D.]
3．(2019·保定市一模)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，x >0－1，x <0，
设g (x )＝f (x )
x
2，则g (x )是( )
A ．奇函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增
B ．奇函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减
C ．偶函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增
D ．偶函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减 解析：B [根据题意，g (x )＝f (x )
x
2＝
⎩⎨⎧
1
x 2
，x >0，－1
x 2
，x <0，
其定义域关于原点对称．
设x ＞0，则－x ＜0，g (－x )＝－
1(－x )2＝－1x 2＝－g (x )；设x ＜0，则－x ＞0，g (－x )＝1(－x )2＝1x
2＝－g (x )，故g (x )为奇函数．又g (x )＝1x
2＝x －
2在区间(0，＋∞)上递减，则g (x )在(－∞，0)上也递减．故选B.]
4．已知f (x )＝lg ⎝⎛⎭
⎫2
1－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )
A ．(－1,0)
B ．(0,1)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：A [∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭
⎫2
1－x ＋a 是奇函数，
∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21＋x ＋a ＋lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x ，由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x 1－x <1，解得－1<x <0，故选A.]
5．(2019·安庆市模拟)定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x ＋1)＝f (x －1)，且当－1＜x ＜0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)等于( )
A.1
4 B ．－14
C ．－15
D.15
解析：D [∵f (x ＋1)＝f (x －1)，∴函数f (x )是周期为2的周期函数， 又∵log 232＞log 220＞log 216，∴4＜log 220＜5， ∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝⎛⎭⎫log 254 ＝－f ⎝
⎛⎭⎫－log 25
4. 又∵x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x －1，∴f ⎝⎛⎭⎫－log 25
4 ＝－15，f (log 220)＝1
5
.故选D.]
6．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．
解析：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x
.于是解得f (x )＝2－
x －2x 2，g (x )＝－2－
x ＋2x
2
，
于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－5
4
，故f (1)>g (0)>g (－1)．
答案：f (1)>g (0)>g (－1)
7．(2019·惠州市模拟)已知函数f (x )＝2x
－2－
x ，则不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0的解集是________．
解析：根据题意，有f (－x )＝2－
x －2x ＝－(2x －2－
x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，
又函数f (x )在R 上为增函数，
f (2x ＋1)＋f (1)≥0等价于f (2x ＋1)≥－f (1)， 即f (2x ＋1)≥f (－1)，
所以2x ＋1≥－1，解得x ≥－1，即不等式的解集为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)
8．(2019·泰安市模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图像关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．
解析：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意x ，y ∈R 恒成立．令x ＝y ＝0， 所以f (0)＝0.令x ＋y ＝0，所以y ＝－x ，所以f (0)＝f (x )＋f (－x )． 所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．
因为f (x )在x ∈[－1,0]上为增函数，又f (x )为奇函数，所以f (x )在[0,1]上为增函数．
由f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2)⇒f (x ＋4)＝f (x )，所以周期T ＝4，即f (x )为周期函数． f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (－x ＋2)＝－f (－x )．
又因为f (x )为奇函数，所以f (2－x )＝f (x )，所以函数关于x ＝1对称． 由f (x )在[0,1]上为增函数，又关于x ＝1对称，所以f (x )在[1,2]上为减函数． 由f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝0得f (2)＝－f (0)＝f (0)． 答案： ①②③④
9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.
(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．
结合f (x )的图像知⎩
⎪⎨⎪⎧
a －2>－1，
a －2≤1，
所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．
10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；
(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式． 解：(1)证明：由函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称， 有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)． 又函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )． 即f (x )是周期为4的周期函数．
(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0. x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－x . 故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x . x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.
从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.
[能力提升组]
11．函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)等于( ) A ．13 B ．2 C.2
13
D.132
解析：D [∵f (x )·f (x ＋2)＝13，∴f (x ＋2)＝13
f (x )，
则f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝13
13
f (x )＝f (x )，
故函数f (x )的周期为4， ∴f (99)＝f (3)＝
13f (1)＝132
.] 12．(2019·佛山市一模)已知f (x )＝2x ＋a
2x 为奇函数，g (x )＝bx －log 2(4x ＋1)为偶函数，则f (ab )＝( )
A.174
B.52 C ．－154
D ．－32
解析：D [根据题意，f (x )＝2x ＋a
2x 为奇函数，则有f (－x )＋f (x )＝0，
即(2－
x ＋
a 2
－x )＋⎝⎛⎭⎫2x ＋a 2x ＝0，解得a ＝－1. 因为g (x )＝bx －log 2(4x ＋1)为偶函数，则g (x )＝g (－x )， 即bx －log 2(4x ＋1)＝b (－x )－log 2(4－
x ＋1)，
解得b ＝1，则ab ＝－1，f (ab )＝f (－1)＝2－
1－
12
－1＝－32.] 13．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1
t <2f (1)时，那么t 的取值范围是________．
解析：因为函数f (x )是偶函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫ln 1
t ＝f (－ln t )＝f (ln t )＝f (|ln t |)． 则有f (ln t )＋f ⎝⎛⎭
⎫ln 1
t <2f (1)，即2f (ln t )<2f (1)， 等价于f (|ln t |)<f (1)，因为函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，所以|ln t |<1，解得1
e <t <e.
答案：⎝⎛⎭⎫
1e ，e
14．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；
(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得
f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．
从而可知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．
又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则f (x )的图像如图所示．
设当－4≤x ≤4时，f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4. (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )， 单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )．。