2014高考数学(理)二轮专题升级训练：解答题专项训练 三角函数与解三角形(含答案解析)

专题升级训练解答题专项训练(三角函数与解三角形）1。

已知向量m=，n=.记f（x)=m·n.
（1）若f(x)=,求cos的值；
(2）在△ABC中,角A,B，C的对边分别是a,b,c，且满足(2a-c)cos B=b cos C,若f(A）=，试判断△ABC的形状.
2。

在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c,已知a，b,c 成等比数列，且sin A sin C=。

(1）求角B的大小；
（2）若x∈［0,π）,求函数f(x）=sin（x—B)+sin x的值域.
3。

已知锐角△ABC的三个内角为A，B,C,向量p=（cos A-sin A，1+sin A),向量q=(cos A+sin A,2-2sin A）,且p⊥q。

（1）求角A；
(2)设AC=,sin2A+sin2B=sin2C，求△ABC的面积.
4.已知函数f(x)=sinωx（ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减.在△ABC中，a，b,c分别为内角A，B,C所对的边,且满足。

（1)证明:b+c=2a;
（2）如图，点O是△ABC外一点，设∠AOB=θ(0〈θ〈π)，OA=2OB=2，当b=c时,求平面四边形OACB面积的最大值.
5.设函数f(x)=sin+2cos2。

(1)求f（x)的最小正周期；
(2）若函数y=g（x）与y=f（x)的图象关于直线x=1对称,当x∈时，求函数y=g（x)的最小值与相应自变量x的值。

6.已知函数f(x)=（cos x+sin x）(cos x—sin x)。

（1)求函数f(x）的最小正周期；
(2）若0<α<，0〈β〈,且f，f,求sin(α—β)的值。

7。

（2013·江苏，15）已知a=（cosα，sinα）,b=(cosβ,sinβ)，0〈β<α<π.
（1）若|a-b｜=，求证：a⊥b；
(2）设c=（0，1)，若a+b=c,求α，β的值.
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1.解:(1）f(x）=m·n=sincos+cos2
=sincos
=sin.
∵f（x)=，∴sin=1。

∴cos=1-2sin2=-1，
cos=-cos=1.
(2)∵（2a-c）cos B=b cos C，
由正弦定理得（2sin A—sin C)cos B=sin B cos C,
∴2sin A cos B-sin C cos B=sin B cos C。

∴2sin A cos B=sin(B+C）.
∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sin A,且sin A≠0。

∴cos B=.
又∵B∈(0，π）,∴B=.
由f（x）=sin，且f（A）=,
∴sin，A=或A=π（舍去），∴A=,C=,∴△ABC为正三角形。

2。

解:(1）因为a，b，c成等比数列,则b2=ac。

由正弦定理得sin2B=sin A sin C。

又sin A sin C=，所以sin2B=.
因为sin B>0，则sin B=。

因为B∈（0,π)，所以B=。

又b2=ac，则b≤a或b≤c,即b不是△ABC的最大边，故B=。

(2）因为B=，则f（x）=sin+sin x=sin x cos-cos x sin+sin x=sin x-cos x=sin。

因为x∈[0，π），则-≤x—,
所以sin。

故函数f(x)的值域是。

3。

解:(1)∵p⊥q,
∴(cos A+sin A)（cos A-sin A）+(2-2sin A）(1+sin A）=0,
∴sin2A=.
而A为锐角，∴sin A=⇒A=.
(2)由正弦定理得a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形,且C=.
∴BC=AC×tan=3。

∴S△ABC=AC·BC=×3=.
4.（1）证明:由题意知:,解得ω=.
∵,
∴sin B cos A+sin C cos A=2sin A—cos B sin A—cos C sin A，
∴sin B cos A+cos B sin A+sin C cos A+cos C sin A=2sin A，
∴sin（A+B)+sin(A+C)=2sin A,
∴sin C+sin B=2sin A,∴b+c=2a.
(2）解：∵b+c=2a，b=c,∴a=b=c,
∴△ABC为等边三角形。

S OACB=S△OAB+S△ABC
=OA·OB sinθ+AB2
=sinθ+（OA2+OB2—2OA·OB cosθ)
=sinθ—cosθ+
=2sin。

∵θ∈(0,π),∴θ-。

当且仅当θ-,即θ=时取最大值，S OACB的最大值为2+。

5.解：（1）f (x）=sin+2cos2
=sincos—cossin
=sincoscos
=sincos=sin,
∴T==12.
(2）方法一：由题意知：
g（x）=f（2—x）=sin
=sin=—sin。

∵x∈,∴-。

∴g（x）min=—，
此时,即x=。

方法二:可以求x∈关于x=1的对称区间x∈上函数f(x）的最值。

6.解:（1)∵f（x)=（cos x+sin x)（cos x—sin x)=cos2x—sin2x=cos 2x，
∴函数f （x）的最小正周期为T==π.
(2）由(1)得f（x）=cos 2x。

∵f,f，
∴cosα=，cosβ=。

∵0<α<,0〈β〈，
∴sinα=，sinβ=。

∴sin（α-β）=sinαcosβ—cosαsinβ
=.
7.（1）证明:由题意得|a-b|2=2,
即(a—b）2=a2-2a·b+b2=2。

又因为a2=b2=|a｜2=|b|2=1，
所以2-2a·b=2,即a·b=0。

故a⊥b。

(2)解：因为a+b=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0，1）,所以由此得cosα=cos（π-β).由0<β〈π,得0〈π—β〈π，
又0〈α<π，故α=π-β.
代入sinα+sinβ=1，得sinα=sinβ=，而α>β,所以α=,β=。