山东省胶南市隐珠街道办事处中学八年级数学 《完全平方公式一》教案

北师大版《完全平方公式（一）》

课题

§1.8.1 完全平方公式(一)

●教学目标

(一)基础性目标

1、认知性

了解完全平方公式的几何背景，理解完全平方公式。

2、体验性：经历探索完全平方公式的过程，体会数、形结合的优势。

3、技能性：能运用完全平方公式进行简单计算。

(二)发展性目标

1、技能性：重视学生对算理的理解，有意识地培养学生有条理的思考和表达能力。

2、体验性：经历探索完全平方公式的过程，使学生体会数、形结合的优势，进一步发展符号感和推理

能力。鼓励学生自己探索算法的多样化，体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验，树立自信心，学会在与同学的交流中获益。从数学中找到学习的乐趣,激发学习数学的内驱力。

●教学重点

1、完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.

2、完全平方公式的应用.

●教学难点

1.完全平方公式的推导及其几何解释.

2.完全平方公式结构特点及其应用.

●教学方法自主探究法

●教具准备多媒体课件

●教学过程

一、创设问题情景，引入新课

［师］农科所今年为了试验新品种，将边长为a米的正方形试验田的边长又增加了b 米,形成四块实验田，分别种植了三种作物。请问，农科所今年的实验田面积总共是多少？

图1－25

［师］你能表示今年试验田的面积吗?

［生1］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.

［师］谁还能用不同的方式表示今年试验田的面积?

［生2］也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.

［师］再有没有其他的方法?

［生3］正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．

［生4］a2+(a+b)b+ab

［生5］a2+2(a+b)b-b2

［师］同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，比较它们的结果有何关系？为什么?

［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2

［师］我们这节课就来研究上面这个公式——1.8完全平方公式（一）

二、探究新知:

1、完全平方公式（1）的推导

［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，我们不妨把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释，能不能从代表运算的角度来推导这个公式呢？(一生板演,其他同学思考:他推导的的依据是什么?并检查该生推导过程是否正确)

［生］用多项式乘法法则可得

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)

=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2

所以(a+b)2=a2+2ab+b2

2、探讨公式（1）的特征。

观察这个公式，小组讨论，明确公式特征，加深对公式表象的理解。各小组派一名代表阐述结论。从三个方面讨论:左\右\结合两边

机动对策：

［师］看看它的特征：(a+b)2=a2+2ab+b2中左边有几项?两项的符号有何特点?表示什么?

右边有几项？首尾两项与a、b有什么关系？中间一项呢？各项系数符号是什么?

（1）分析：左面是：两数和的平方，

［师］右面是：积为二次三项式。即首尾两项是它们的平方和，另一项是两数积的2倍，且与乘式中间符号相同。加上它们的积的2倍。

（2）［师］如何用语言叙述上述等式。

两数和的平方等于这两数的平方和再加上它们的积的2倍．

例1：利用完全平方公式计算

（1）(a+3)2

（2）(a+2y)2

（3）(4x+5y)2

（4）（a-b）2

3、完全平方公式（2）的推导：

你能通过几何图形验证你的猜想吗？

让学生自己解决，然后交流。

机动：［师］如果把上式中的+b变成 b，那么公式会变成什么样子？猜想：（a-b）2=a2-2ab+b2

你能否验证呢？

［师］类比第一个等式我们从几何图形的角度通过面积相等得到了它，又从代数运算的角度去验证了它的正确性。

［师］那么，你能从代数运算的角度来推导吗？

可利用多项式乘法法则，则(a －b )2=(a －b )(a －b )=a 2－ab －ba +b 2=a 2－2ab +b 2.

也可利用上面的公式就可以得到(a －b )2=［a +(－b )］2.

［师生共析］

(a －b )2=［a +(－b )］2=a 2+2·a ·(－b )+(－b )2

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

(a +b )2=a 2+2·a ·b + b 2

=a 2－2ab +b 2.

于是，我们得到又一个公式：

(a －b )2=a 2－2ab +b 2

你能利用面积知识，仿照课本以及演示的动画，用白纸折出

2222)(b ab a b a +-=-的示意图吗？

(2)

［师］你能类比公式（1）用语言描述（2）吗？

［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式

(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.

［师］结论：文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．

这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.

4、公式中a 、b 可表示数，字母、单项式、多项式等代数式。

［师］看谁能在最短的时间里编出一句话让大家记住这个公式。

5、口诀：首平方，尾平方，首尾之积2倍加减放中央。

［师］上面的几何解释和代数推导各有什么好处？

［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，帮助我们理解式子的意义，

代数推导完全平方公式使我们体会到落笔有据。

例2利用完全平方公式计算：

（1）(2x －3)2（2）(mn －a )2

（3）(－x +2y )2 (4) (－x －y )2

对于(4)的处理:找两生板演 [ (－x)+(－y )>] [(－x )－y ]两种情况,师帮助学生解决(x+y )

［师］你认为做此练习时应关注哪几步？

利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.

四．应用新知

随堂练习

课本P 411.计算： (1)(21x －2y )2 (2)(2xy +51x )2;

解：(1)(21x －2y )2=(21x )2－2·21x ·2y +(2y )2=41x 2－2xy +4y 2

(2)(2xy +51x )2=(2xy )2+2·2xy ·51x +(51x )2=4x 2y 2+54x 2y +

251x 2

检测：必做题