北京专版2019年中考数学一轮复习4.4圆试卷部分课件

解析 (1)证明:∵BD是☉O的切线,∴∠OBD=90°. ∵CE⊥OA,∴∠ACE=90°. ∴∠OBA+∠EBD=∠A+∠AEC=90°. ∵OA=OB,∴∠A=∠OBA, ∴∠EBD=∠AEC. 又∵∠AEC=∠BED, ∴∠BED=∠EBD,∴DB=DE. (2)如图,连接OE,则OE⊥AB,AE=BE=6.
3.(2017北京,14,3分)如图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上的点, A︵D = C︵D .若∠CAB=40°,则∠CAD
=
°.
答案 25
解析 连接BC,BD,
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°.
︵
∵ AD
︵
= CD
,
∴∠ABD=∠CBD= 1 ∠ABC=25°,
∵AB⊥CD,∴CD=2CE=4 2 .故选C.
2.(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在☉O上, C︵B = C︵D ,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB= °.
答案 70 解析 ∵ C︵B = C︵D ,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180° -30°-30°-50°=70°.
2
∴∠CAD=∠CBD=25°.
4.(2018北京,22,5分)如图,AB是☉O的直径,过☉O外一点P作☉O的两条切线PC,PD,切点分别 为C,D,连接OP,CD. (1)求证:OP⊥CD; (2)连接AD,BC,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求OP的长.
解析 (1)证明:∵PC,PD是☉O的两条切线, ∴PD=PC,∠OPD=∠OPC, ∴OP⊥CD. (2)设OP与CD交于点Q,连接OD.
解析 (1)证明:连接OC,如图.
∵OA=OC,F为AC的中点, ∴OD⊥AC. ∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE. ∴AC∥DE. (2)求解思路如下: ①在Rt△ODE中,由OA=AE=OD=a,可得△ODE,△OFA为含30°角的直角三角形;
②由∠ACD= 1 ∠AOD=30°,可知CD∥OE;
2
③由AC∥DE,可知四边形ACDE是平行四边形; ④由△ODE,△OFA为含有30°角的直角三角形,可求DE,DF的长,进而可求四边形ACDE的面 积.
思路分析 (1)要证明两条直线平行,在圆中可借助90°角的相关性质(切线的性质、等腰三角 形的三线合一、直径所对的圆周角等);(2)要从边的数量关系得特殊角的数量关系,从而求相 应的线段长. 解题关键 解决本题第(2)问的关键是要从边的数量关系发现特殊角的数量关系,从而发现特 殊的直角三角形.
中考数学 (北京专用)
§4.4 圆
五年中考 2014-2018年北京中考题组
1.(2014北京,7,4分)如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为 ( )
A.2 2 B.4 C.4 2 D.8 答案 C ∵CO=AO,∴∠COE=2∠A=45°.
∵OC=4,∴CE=OC·sin∠COE=4× 2 =2 2 . 2
过点D作DM⊥AB于点M, ∵DE=DB,
∴BM= 1 BE=3,
2
在Rt△BMD中,由勾股定理得,DM=4. 易证∠OBE=∠BDM, 又∠BEO=∠DMB, ∴Rt△OBE∽Rt△BDM,
∴ OB = BE ,
BD DM
∴OB= 15 .
2
6.(2016北京,25,5分)如图,AB为☉O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交 A︵C于点D,过点D 作☉O的切线,交BA的延长线于点E. (1)求证:AC∥DE; (2)连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE面积的思路.
思路分析 (1)要证明等边三角形,可以借助弧等⇒弦等的性质.(2)多次应用勾股定理求线段 的长. 解题关键 解决本题的关键是要熟练应用解直角三角形的相关知识,发现可解的直角三角形.
8.(2014北京,21,5分)如图,AB是☉O的直径,C是 A︵B 的中点,☉O的切线BD交AC的延长线于点D, E是OB的中点,CE的延长线交切线DB于点F,AF交☉O于点H,连接BH. (1)求证:AC=CD; (2)若OB=2,求BH的长.
7.(2015北京,24,5分)如图,AB是☉O的直径,过点B作☉O的切线BM,弦CD∥BM,交AB于点F,且
︵

︵
DA= DC ,连接AC,AD,延长AD交BM于点E.
(1)求证:△ACD是等边三角形;
(2)连接OE,若DE=2,求OE的长.
解析 (1)证明:∵AB是☉O的直径,BM是☉O的切线,
∴AB⊥BM.
∵CD∥BM,∴AB⊥CD.
︵
∴ AD
︵
= AC
.
︵
︵
︵
︵
︵
∵ DA= DC ,∴ AD = AC = DC .
∴AD=AC=DC.
∴△ACD是等边三角形.
(2)连接BD,如图.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°. ∵∠ABD=∠C=60°,∴∠DBE=30°.
在Rt△BDE中,DE=2,可得BE=4,BD=2 3 . 在Rt△ABD中,可得AB=4 3 . ∴OB=2 3 . 在Rt△OBE中,由勾股定理可得OE=2 7 .
∴OP=PQ+QO= 4 3 . 3
思路分析 本题第(1)问可以通过切线的相关定理和等腰三角形“三线合一”来解决.本题第 (2)问需要添加辅助线构造三角形来推导角的度数,借助特殊角的三角函数解决问题.
5.(2017北京,24,5分)如图,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作 ☉O的切线交CE的延长线于点D. (1)求证:DB=DE; (2)若AB=12,BD=5,求☉O的半径.
∵OD=OA, ∴∠ODA=∠OAD=50°, ∵∠CBA=70°, ∴∠ADC=110°,∴∠ODC=60°. 又∵OP⊥CD,∴∠OQD=90°,
∴OQ=OD·sin 60°=2× 3 = 3 ,DQ=OD·cos 60°=1. 2
∵PD是切线,∴∠PDO=90°, ∴∠PDC=30°,
∴PQ=DQ·tan 30°=1× 3 = 3 . 33