教学设计8：1.4.1 曲边梯形面积与定积分

1.4.1曲边梯形面积与定积分
教学目标
1.了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法.
2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.
3.了解定积分的概念.
4.了解定积分的几何意义和性质．
知识链接
1．如何计算下列两图形的面积？
答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．
2．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？
答为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．
教学导引
1．曲边梯形
曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，称为曲边梯形．
2．求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．
3．一般函数定积分的定义
设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，如图，用分点
a＝x0<x1<x2<…<x n－1<x n＝b.
把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δx i＝x i＋1－x i，i＝0,1,2，…，n－1.
记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小
区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0
n －1
f (ξi )Δx i ，
当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a
b f (x )d x ＝lim λ→0∑i ＝0
n －1f(ξi )Δx i ，
其中f (x )叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限，f (x )d x 叫做被积式，此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积．
4．根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，即S ＝⎠⎛a
b f (x )d x .
5．由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：
(1)在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图(1)所示，即⎠⎛a
b f (x )d x ＝S .
(2)在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图(2)所示，即⎠⎛a
b f (x )d x ＝－S .
(3)若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛a
c f (x )
d x －⎠
⎛c
b f (x )d x ，如图(3)
所示，即⎠⎛a
b f (x )d x ＝S A －S B (S A ，S B 表示所在区域的面积)．
6．定积分的性质
(1)⎠⎛a b cf (x )d x ＝c ⎠⎛a
b f (x )d x (k 为常数)；
(2)⎠⎛a b [f (x )＋g(x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a
b g(x )d x ；
(3)⎠⎛a
b f (x )d x ＝⎠⎛a
c f (x )
d x ＋⎠⎛c
b f (x )d x (其中a <
c <b ).
课堂讲义
要点一 求曲边梯形的面积
例1 求抛物线f (x )＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S. 解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡
⎦
⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度Δx ＝1
n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．
ΔS i ＝f ⎝⎛
⎭⎫i －1n ·Δx ＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1
n (i ＝1,2，…，n )．
(3)求和：∑i ＝1n
ΔS i ＝∑i ＝1n
1
n ⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫i －1n 2.
(4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1
n
1
n ·⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫i －1n 2
＝1＋li m n →∞∑i ＝1
n
⎝⎛
⎭⎫i －1n 2·1
n ＝1＋li m n →∞ 1
3⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝1＋13＝4
3
.
所以所求的曲边梯形的面积为4
3
.
规律方法 分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：
①思想：以直代曲；②步骤：化整为零―→以直代曲―→积零为整―→无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．
跟踪演练1 用定积分的定义求由y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积． 解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡
⎦⎤i －1n ，i n
(i ＝1,2，…，n )．其长度为Δx ＝1
n ，把三角形分成一个小三角形和(n －1)个小梯形，其面积
分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．
(2)近似代替：用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξi ＝i －1
n (i ＝1,2，…，n )，
则ΔS i ＝f ⎝⎛
⎭
⎫
i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n ＝3n 2(i －1)(i ＝1,2，…，n )．
(3)作和：∑i ＝1n
ΔS i ＝∑i ＝1
n
3
n 2(i －1)
＝3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1
n . (4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n
3n 2(i －1)
＝li m n →∞ 32·n －1n ＝3
2.
要点二 求变速运动的路程
例2 用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解 (1)分割：将时间区间[0，t]分成n 等份． 把时间[0，t]分成n 个小区间⎣⎡
⎦⎤
i －1n t ，it n (i ＝1,2，…，n )，
每个小区间所表示的时间段Δt ＝it n －i －1n t ＝t
n ，在各小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，
n )．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． 在⎣⎡
⎦⎤
i －1n
t ，it n 上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )，可取ξi 使v(ξi )＝g (i －1)n t 近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt ＝t
n 内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g·i －1n t ·
t n (i ＝1,2，…，n )． (3)求和：s n ＝∑i ＝1n
Δs i
＝∑i ＝1
n
g·i －1n ·t ·t
n
＝gt 2
n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝1
2gt 2⎝
⎛⎭⎫1－1n . (4)取极限：s ＝li m n →∞ 1
2gt 2⎝⎛⎭⎫1－1n ＝12
gt 2. 规律方法 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．
跟踪演练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)． 解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎡
⎦⎤2(i －1)n
，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2
n .则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1
n
Δs i .
(2)近似代替：取ξi ＝2i
n
(i ＝1,2，…，n )，
Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2i n 2＋5·2n ＝－4i 2n 2·2n ＋10
n (i ＝1,2，…，n )．
(3)求和：s n ＝∑i ＝1n
Δs i ＝∑i ＝1
n
⎝⎛⎭⎫－4i 2
n 2·2n ＋10n ＝－8·1
3⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋10. (4)取极限：s ＝li m n →∞s n
＝li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤－8·13⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋10＝22
3. 要点三 利用定积分定义计算定积分 例3 利用定积分定义计算⎠
⎛1
2(1＋x )d x 的值．
解 (1)分割：∵f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间长度为Δx i ＝1n
，
(2)近似替代：在[x i －1，x i ]＝[1＋i －1n ，1＋i
n ]上取
ξi ＝xi －1＝1＋i －1
n (i ＝1,2,3，…，n )，
于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1
n ，
(3)求和：
∑i ＝1n
f (ξ1)Δx i ＝∑i ＝1n
(2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1
n (2n ＋i －1
n 2) ＝2n ·n ＋1
n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋1n 2·n (n －1)2＝52－12n
，
(4)取极限：⎠
⎛1
2(1＋x )d x ＝li m n →∞ (52－12n )＝52.
规律方法 (1)利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分的概念及其几何意义的理解，用定积分的定义求定积分的步骤是：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．(2)在每个小区间[x i －1，x i ]上对ξi 的选取是任意的，为了计算方便，ξi 可都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)．
跟踪演练3 利用定积分的定义，计算⎠⎛1
2(3x ＋2)d x 的值．
解 令f (x )＝3x ＋2.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋i
n ](i ＝
1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1
n .
(2)近似代替、求和
取ξi ＝n ＋i －1
n (i ＝1,2，…，n )，
则S n ＝∑i ＝1
n
f (n ＋i －1
n )·Δx
＝∑i ＝1
n
[3(n ＋i －1)n ＋2]·1
n
＝∑i ＝1
n
[3(i －1)n 2
＋5
n ] ＝5＋3
n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]
＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限
⎠
⎛1
2(3x ＋2)d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞
(132－32n )＝132
. 要点四 定积分几何意义的应用 例4 用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛0
1(3x ＋2)d x ；
(2) ⎠
⎜⎜⎛
π2
3π
2sin x d x ；
(3) ⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ；
(4)⎠⎛a
b (x －a )(b －x )d x (b>a )．
解 (1)如图1阴影部分面积为(2＋5)×12＝7
2，
从而⎠
⎛0
1(3x ＋2)d x ＝7
2.
(2)如图2，由于A 的面积等于B 的面积， 从而
32
2
ππ⎰
sin x d x ＝0.
(3)令f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|－4，作出f (x )在区间[－3,3]上的图象，如图3所示，易知定积分 ⎠⎛－3
3
f (x )d x 表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．
∵阴影部分的面积S 1＝S 3＝1，S 2＝6， ∴⎠⎛－3
3 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ＝1＋1－6＝－4.
(4)令y ＝f (x )＝(x －a )(b －x )，则有(x －
a ＋
b 2)2＋y 2＝(b －a 2)2(y ≥0)，f (x )表示以(a ＋b
2
，0)为圆心，半径为b －a
2的上半圆，而这个上半圆的面积为
S ＝12πr 2＝π2(b －a 2)2＝π(b －a )28， 由定积分的几何意义可知
⎠⎛a
b
(x －a )(b －x )d x ＝π(b －a )28
.
规律方法 (1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： ①准确画出各曲线围成的平面区域；
②把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x 轴下方有没有区域； ③解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； ④根据积分的几何意义写出结果．
(2)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．
跟踪演练4 用定积分的意义求下列各式的值． (1) ⎠⎛－1
3 (3x ＋1)d x ； (2) ⎠
⎜⎛
32
-
32
1－x 2d x .
解 (1)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：
⎠⎛－1
3
(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，
∴⎠
⎛－1
3(3x ＋1)d x ＝12×⎝⎛⎭⎫3＋13×(3×3＋1)－12⎝⎛⎭⎫－13＋1×2＝503－2
3＝16. (2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1，(y ≥0)图象如图，由定积分的几何意义知⎠
⎜
⎛
32
-
32
1－x 2d x
等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×23π×12－2×12sin π3cos π3
＝π3－34
， S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32
， ∴∫
32－321－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34
. 当堂检测
1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A .1n B .2n C .3n D .12n
【答案】B
【解析】区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2
n .
2．定积分⎠⎛a
b f (x )d x 的大小( )
A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关
B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关
C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关
D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 【答案】A
3．求由曲线y ＝1
2x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则
面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 【答案】1.02
【解析】将区间5等分所得的小区间为⎣⎡⎦⎤1，65，⎣⎡⎦⎤65，75，⎣⎡⎦⎤75，85，⎣⎡⎦⎤85，95，⎣⎡⎦⎤9
5，2， 于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×255
25＝1.02. 4．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①⎠⎛01x d x ________⎠⎛0
1x 2 d x ；
②⎠⎛0
24－x 2d x ________⎠⎛0
22d x .
【答案】①> ②<。