结构力学课程设计详解

一、 课程设计题目 一）矩阵方程
1. 利用全选主元的高斯约当（Gauss-Joadan ）消去法求解如下方程组，并给出详细的程序注解和说明：
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎬⎫
⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∙⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡1536353424543214019753910862781071567554321x x x x x 2. 利用追赶法求解如下方程组，并给出详细的程序注解和说明。

⎪⎪
⎪
⎭⎪
⎪⎪
⎬⎫
⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∙⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡862031234567891011121354321x x x x x 3. 利用全选主元的高斯约当（Gauss-Joadan ）消去法如下求解大型稀疏矩阵的大型方程
组，并给出详细注解及说明。

⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∙⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡4292728642-0
1
-0
1
00001-0402003-0001050006000102-00034-000200000
6-00060020001-0087654321x x x x x x x x 二） 结构力学
1. 试求解图示平面桁架各杆之轴力图，已知各材料性能及截面面积相同，
27.90,210cm A Gpa E ==。

（注：在有限元分析中，桁架杆的模拟只能选择Ansys 的Link 单元）。

2. 试求解图示平面刚架内力图（轴力图、剪力图和弯矩图），已知各材料性能及截面面
积相同，Gpa E 210=，泊松比0=μ。

3. 试求解图示平面刚架内力图（轴力图、剪力图和弯矩图），已知各杆
432104.5,18.0,30m I m A Mpa E -⨯===。

KN
101
=
二、 工作计划
在老师给我们开完动员会以后，我们小组就进行了对要做那题进
行讨论和分工，我做的是结构力学部分的第三题用位移法解出这道题。

（1）我在分工以后我就专一对结构力学部分第三题进行分析，因为有一个学期的时间没有接触结构力学，我在看完题后我就查找教材和网上的资料，看明白位移法的解题思路和特点。

（2）在明白位移法的解题思路后我就查找关于结构力学位移法经典例题的解题过程和老师所给课件上的解题过程。

从而对解决我所选
择这题有个明了的思路。

（3）我开始老师所给课件的例题和查找的位移法经典例题解题过程解决这道题，在做这道题的过程中也遇到不理解的地方，最后在老师的帮助下我终于解出了这道题的结果，我把我做出的结果和我组用力法和ANSYS分析法所作出的结果进行比较，得出的结果基本相似，因为每种方法所用的条件不同，故答案有所误差，可以认为我们所做的答案是正确的。

课程负责人签名：指导教师签名：
年月日年月日
目录
一：位移法介绍 (1)
二：位移法主要内容 (1)
三：元素刚度矩阵 (1)
四：位移法解题步骤 (3)
五：位移法结构分析 (5)
六：结构力学题解题过程 (5)
七：与其他方法结果对比和分析 (12)
八：体会心得......................................... .14 九：参考文献......................................... .15
结构力学课程设计
一：位移法介绍
位移法是以矩阵运算作为数学工具来处理结构位移计算的。

在结构力学的计算中，通过采用对结点位移作为基本未知量，进而通过矩阵的形式对各基本参数进行组织，编排，求出未知量的方法。

位移法解题思路为：首先对结构进行分析，确定独立的结点角位移和线位移的数量。

然后在每个独立的角位移上加上附加刚臂，每个独立的线位移上加上附加支座链杆，得到位移法的基本体系，再由基本体系与原体系等价根据平衡条件得到位移法典型方程，解位移法方程得到结点位移最后利用叠加原理得到结构的弯矩图。

二：位移法主要内容
矩阵位移法主要内容包括两个部分：（1）单元分析，即将结构分解为有限个较小的单元，进行所谓的离散化。

对杆系结构，一般一根杆件或杆件的一段作为一个单元，分析单元的内力与位移的关系，建立单元刚度矩阵。

（2）整体分析，即将各单元又集成原来结构，要求各结构满足原结构的变形协调条件和平衡条件，从而建立整个结构的刚度方程，以求解原来的结构的位移和内力。

在杆系结构中，若单元只受轴力作用，则称为杆元素，如桁架；若单元不仅受轴力，还受剪力和弯矩的作用，则称为梁元素，如梁，刚架等。

三：元素刚度矩阵
一般的平面杆件单元，每一杆端有三个杆端位移，即两个线位移和一个角位移；与此对应有三个杆端力，即两个集中力和一个集中力
矩。

在局部坐标系（或称单元坐标系）轴与单元的的轴线重合，其正方向由单元始端i指向末端j。

杆端位移和杆端力统一以沿坐标正向为正，转角和力矩的正方向按照右手法则的方向，在图示坐标系中即为顺时针方向。

将单元（e）两个杆端的各杆端位移和杆端力分别按顺序组成列向量，可得到局部坐标系中的杆端位移向量和杆端力向量如下：
单元（e）的杆端力和杆端位移之间的关系方程就是该单元的刚度方程，即
其中，为局部坐标系中的单元刚度矩阵。

在矩阵位移法中，单元分析完成后，还要进行结构的整体分析。

整体分析是为了形成结构的整体刚度矩阵，建立整体结构的结点力和结点位移之间的关系，即整体刚度方程；然后根据整体结构各结点处的结点力与结点荷载之间的平衡条件建立位移法基本方程，由该方程解出结点位移。

结构的整体刚度方程可写成{F}=[K] {△}式中，{F} 为结构的整体结点力向量{△}为整体结点位移向量，[K]为整体刚度矩阵。

[K]可直接由各单元刚度矩阵集成得到。

集成的方法是根据各单元的局部和整体结点位移编码之间的关系，先将各单元刚度元素的下标局部编码换成整体编码，再将该元素叠加到整体刚度矩阵中与整体码对应的行和列的位置上，即所谓的“对号入座”。

该集成方法反
映了整体结构的变形协调条件和平衡条件（未考虑结点荷载）。

集成时可采用先处理法将位移边界考虑进去，从而使整体刚度矩阵成为非奇异矩阵。

四：位移法解题步骤
用矩阵位移法分析平面结构的一般步骤为：
（1）划分单元，并对单元和结点位移进行编号，选取整坐标和局部坐标系。

（2）建立局部坐标系中的单元刚度矩阵，并经坐标变换得到整体坐标系中的单元刚度矩阵。

（3）按“对号入座”集成整体刚度矩阵。

（4）计算各单元的固端力，形成局部坐标系中的单元等效结点载荷向量，并变换成整体坐标系中的单元等效结点载荷向量，再集成结构的整体等效结点载荷向量。

（5）如整体刚度矩阵采用后处理法形成，则引入支撑条件，修改结构原始刚度矩阵。

（6）解位移法基本方程，求出结点位移。

（7）计算结构各杆（单元）的杆端力，最后杆端力应等于等效节点载荷引起的杆端力与单元固端力之和。

对于平面钢架用矩阵位移法进行分析并编制相应程序计算，可按下面的程序框图进行编程。

除了上述利用位移法基本体系在附加约束处的平衡条件来建立位移法的典型方程的方法，还可以直接由原结构的结点和截面平衡来建立位移法的方程。

具体步骤为：
（1）结点位移分析 对结构进行分析，确定独立的角位移和线位移的数量，即确定位移法的基本未知量。

（2）确定基本体系 在每个独立的角位移上加上附加刚臂，每个独立的线位移上加上附加支座链杆得到位移法基本体系。

（3）列位移法方程 根据基本体系与原体系等价，由平衡条件列出位移法方程。

（4）作弯矩图 为计算附加约束上的反力，分别作出位移法基本结、构在荷载单位位移作用下的弯矩图。

（5）计算反力与反力系数 根据平衡条件，求出单位位移作用下附加约束上的力，系数，及单位位移作用下附加约束上的反力（自由项）。

（6）求结点位移 解位移法方程得到结点位移。

（7）作最终弯矩图 利用基本结构的荷载弯矩图和单位位移弯矩图，根据叠加原理求出杆端弯矩，然后用简支梁法作每个杆段弯矩图。

（8）作剪力图和轴力图 由杆件平衡利用杆端弯矩可计算出杆端剪 力并作图，再根据结点平衡计算出各杆的轴力并作图。

五：位移法结构分析
位移法结构分析的步骤为：
（1）选定结构总体坐标系，进行结点及元素编号；
（2）按照编号顺序列出结点位移向量列阵及结点力向量列阵； （3）建立元素在总体坐标下的刚度矩阵； （4）用集合方法建立总体刚度矩阵； （5）利用给定位移边界条件，求得结点位移； （6）求得结构的支反力，结点力，内力等。

六：结构力学题解题过程
3. 试求解图示平面刚架内力图（轴力图、剪力图和弯矩图），已知各杆43210
4.5,18.0,30m I m A Mpa E -⨯===。

KN
101
=
解：
1
F1
3
4
（1） 结构离散化
将结构划分为4个结点，3个单元，截面积A=0.18m 2，惯性矩I=5.4×10-3m 4。

（2）求结点载荷
首先需求局部坐标系中固定端内力{F 0}e 。

7.8125
10
<a>单元
1
<b>单元3
=
===18.75KN
单元
1
===7.8125KN •m
=
===10KN
单元二
====10KN •m
在局部坐标系下单元载荷列向量
单元1 单元2 单元3
{}0.F 1= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-8125.775.1808125.775.180 {}0.F 2= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000 {}0.F 3
= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1010010100
为求出在整体坐标下的载荷列向量，先求单元得坐标转换矩阵[]T 。

单元1,2 α=00
[]T 1=[]T 2
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1
0cos sin 0000sin cos 000
0001000000cos sin 0000sin cos αααααααα =
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡100000
010000001000000100000010000001
单元3 α=900
[]T 3
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--1
000000cos sin 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos αααααααα
=
⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--10
000100001000
0000100000001000010
求个单元在整体坐标下的等效结点载荷
{}T
T P 10-=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-{}{}{}{}
1020110108125.775.1808125.775.180⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=-=P P F F
{}
2
P []
{}
{}
{}
203022
02000000⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=P P F T T
{}[]
{}{}
{}
302043
0330
1001010010⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=P P F T P T
求刚架的等效结点载荷{}0p
{}0p {}{}{}
=++=3
2
01
0p p p ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧---0000008125.7175.1808125.775.180⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎬
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+000000000000+
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-1001000010010000⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧----=100100008125.1775.18108125.775.180
{}[]
T
p 1001001008125.4775.18108125.775.180
-----=
(3)求单元刚度矩阵表达式
由于单元1、2的尺寸相同，材料弹性模量相同，故[][]21K K =
[]=e K ⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--------l EI l EI l
EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA
l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA 460
260612061200000260460612061200
0002
2
23232
22
323 则
[][]==2
1K K ⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡--------259200155520
129600
155520
01555201244160155520
1244160002160000002160000129600155520
02592001555200155520124416015552012441600
02160000
002160000
[]⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡---------=16200060750
81000
60750
060750303750
60750303750001350000
001350000810006075001620006075006075030375060750303750001350000
00
1350000
3K
（4）、求整体坐标系中的[]e
K
单元1、
[]
[][][][]⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡===25920015552001296001555200
155520124416015552012441600021600000021600012960015552002592001555200155520124416015552012441600
2160000002160000
12212111211111111K K K K K T K T K T 单元2
[][][][][]
1
2332
32
2232222
2222_K K K K K K T K T K T =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡===⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡ 单元3
[]
[][][]⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡
--------=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==162000060750
81000
60750
013500000013500000607500303756075003037581000060750162000060750013500000013500000607500
30375607500303753223243443423333K K K K T K T K T
(5)、求结构刚度矩阵[]K
利用刚度集成法
[]
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
++=344
342
2
332323
24
2
23322
222122112
1121110
000
K K K K K K K K K K K K K
(6)、建立原始平衡方程式
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡++432143213
44
342
233
2323
242
23
322
222122112
1121110
000
P P P P K K K K K K K K K K K K δδδδ (7）、引入约束条件解方程组
由于1为固定支座，4为固定端，则0u 44411=====A u v v .则
建立平衡方程为
⎥⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
⎡-----------129600155520
0129600155520001555201244160155520124416000021600000021600000129600155520
0680400060750129600
155520124416001598832015552000
2160000607500435037500
001296001555200259200
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3332221θθθv u v u ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3332221W Q P W Q P W ⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---=01008125.4775.18108125.7
解得：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3332221θθθv u v u =⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--0214.057615.000256.0001217.002037.0002472.001956.0 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡W Q P Q P 44411=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡----0
162000
0607500000013500000000507500303750
000155520
12441601555200000021600000
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3332221θθθv u v u =⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--742.15357.27765.14072.19427.5 求得弯矩图，剪力图，轴力图，如下图所示
七：与其他方法结果对比和分析
力法结果：
ANSYS 分析结果：
最后得到位移和受力以及弯矩
力：
PRINT F SUMMED NODAL LOADS
***** POST1 SUMMED TOTAL NODAL LOADS LISTING *****
LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 1 TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0
THE FOLLOWING X,Y,Z SOLUTIONS ARE IN THE GLOBAL COORDINATE SYSTEM
NODE FX FY FZ
1 14465. -27522.
17 -20000.
32 5534.8 -19978.
62 10000.
TOTAL VALUES
VALUE -0.85493E-09 -37500. 0.0000
位移：
PRINT U NODAL SOLUTION PER NODE
***** POST1 NODAL DEGREE OF FREEDOM LISTING *****
LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 1
TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0
THE FOLLOWING DEGREE OF FREEDOM RESULTS ARE IN THE GLOBAL COORDINATE
SYSTEM
NODE UX UY UZ USUM
1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.25624E-02 -0.20387E-01 0.0000 0.20547E-01
17 0.32225 -0.10194E-01 0.0000 0.32241
32 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
62 0.25624E-02 -0.57615 0.0000 0.57616
弯矩：
NODE MX MY MZ
1 0.15024E-1
2 -0.72235E-12 15930.
上图是我用位移法和另外两个小组成员，用力法和ANSYS分析方法得出的结果，进行的柱状图的对比。

由图表我们可以看出，三种方法得出的结果虽然有所不同，因为力法只考虑了弯矩的影响，因为轴力和剪力的影响太小所以忽略了。

在矩阵位移法的计算过程中有些计算结果使用估算值，所以得出的结果是近似值。

所以使用三种方法会有不同的计算结果，但误差不大，在理论误差所能接受的范围之内，可以认为三种所得的结果都正确。

八:心得体会
通过这次结构力学课程设计让我对结构力学这门课有了更清楚的认识和了解。

正如老师所说结构力学是我所学专业设计的基础，在
没有经过结构力学分析的设计是不可靠的。

在这次课程设计中我所主要的工作是用位移法解出所给的结构力学题，在解题过程中遇到很多难题，通过老师的讲解我也逐一把它解决。

通过这个解题过程我对矩阵位移法的解题思路，解题过程及位移法的结构分析有了更清楚地认识，在以前学习过程中对位移法的迷惑之处有了更清楚的认识，我想如果以后再遇见位移法类似的题目，我会有清楚的思路去解决它。

九：参考文献：
1. 《结构力学基础》，黄启青，王生楠，西北工业大学出版社，第一
版，2001年4月；
2. 《结构力学》，于玲玲，杨正光，阮澎銘，中国电力出版社，第
一版，2009年8月；
3. 《结构力学》赵桂平编著
4. 《Visio Fortan常用数值算法集》，何光渝，高水利，科学出版社，
2002年4月；
5. 《Ansys workbench14.0超级学习手册》，黄志新，刘成柱，人民
邮电出版社，2013年3月；
6. 《Ansys15.0有限元分析从入门到精通》，刘浩，机械工业出版社，
2014年4月；
7. 《Ansys非线性有限元分析方法及范例应用》，张洪伟，水利水电
出版社，2013年4月；
8. 参考资料：《结构分析的计算机方法》王勇黄炎生编著
9. 《Fortran常用算法程序集》徐士良编著。