解析几何中的最值问题
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2
\ PQ
3 2 1 2 4 cos 2 q q q 3 sin （sin ） （ ）7 2 2
课堂练习
3 )到椭圆 1、求点 P(0， 2
最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。 2、 已知抛物线y2=4x， 以抛物线上两点A(4,4)、 B(1,-2)的连线为底边的 △ABP，其顶点P在抛物 线的弧AB上运动，求： △ABP的最大面积及此时 点P的坐标。
则
|PQ|=
2 3 x2+(y- ) 2
|PQ|2
1 2 3( y ) 7 2
（－1≤y≤1）
1 3， ） 2
所以 PQ 的最大值为 7 1 此时Q的坐标为： （ 3， ） 、 （
2
法二
则
设Q(x,y)是椭圆上的任意点
x 2cos q， y 2sin q . 0 < q < 2 p） （
d=
|2x-y-4|
5
y 2 2y 8 2 5
2 （y 1） 9 2 5
因为P在直线AB的左上方 所以2x-y-4<0 由已知：－2＜y＜4
∴dmax=
9 2 5
此时，y=1, x = 1
4
27 ∴Smax 4
∴点P的坐标为(
1 ，1 4
)
法二： 直线AB：2x-y-4=0 设直线L： 2x-y+m=0与抛物线 y2=4x相切， 将直线L的方程和抛物线方程联立， 消去x得 y2-2y+2m=0 △=4-8m=0 ∴直线L的方程为：2x-y+ 两直线间的距离
小 结：
利用数形结合的思想，借助于几何图 几何法： 形中的一些特点，将图形局部进行转 化，使最值问题得以求解。 选择恰当的变量，根据题意建立目标 函数法： 函数，再探求目标函数的最值方法。 利用圆、椭圆的参数方程，借助于三 参数法： 角函数的有关性质，求出与它们有关 的最值。
思考
求过动直线x+2y=p与定直线2xy=a的交点（其中p∈（0，3a]）的等 轴双曲线系方程x2-y2=λ中，当p取何 值时，λ达到最大值与最小值。
8 6
x2 y 2 1上点的 4
4
A
5 10 15
P
-5 -2
2
B
-4
-6
课堂练习
已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(4,4)、 B(1,-2)的连线为底边的△ABP，其顶点P在抛 物线的弧AB上运动，求：△ABP的最大面积 及此时点P的坐标。 y
8 6
A
4 2
-5
o
P
5 10 15 -2
例2 上点的 最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。 2 分析： x 2 设点 Q(x,y)为椭圆 y 1 上的任意一点，
4
2 3 x 2 ) 到椭圆 y 1 求点 P(0， 2 4
则 又
|PQ|=
2 3 x2+(y- ) 2
x2 = 4- 4y2
1 2 3( y ) 7 2 （－1≤y≤1）
B
x
-4
-6
1 3， ） 2
所以|PQ|2
所以 PQ 的最大值为 7 1 此时Q的坐标为： （ 3， ） 、 （
2
上点的最大 距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。 2 分析： x 2 设点 Q(x,y)为椭圆 y 1 上的任意一点，
4
2 3 x 2 )到椭圆 y 1 求点 P(0， 2 4
3 1 2 e 2
e (4 4 ) 1 2 4
2
y D E C
A
O
B
x
[ 7 , 10 ]
课后练习：
2
1、已知双曲线上 x 1 动点P和定点A 3 1 （2，1），且F为双曲线的右焦点，求|PA|+ 2 |PF|的最小值。
y2
2、已知点Ｆ1（－３，０）、Ｆ2（3， 0），求与直线x-y+9=0有公共点的椭圆 中长轴最短的椭圆方程。
数学是人类最高超的智力 成就，也是人类心灵最独特的 创作，音乐能激发或抚慰情怀， 绘画使人赏心悦目，诗歌能动 人心弦，哲学使人获得智慧， 科学可改善物质生活，但数学 能给予以上一切。——克莱
例1、设实数x、y满足x2+y2-4y=0， （1）求x+y的最值 令 x y t y=-x+t
y-5 （2）求 的取值范围 x-1
D
y C
设双曲线的方程为
x2 y2 （ a>0,b>0) =1 a2 b2
e
c a
A
E
O B x
由定比分点坐标公式得:
h y0 1 c 将C、E 坐标和e = 代入双曲线得：
( 2)c x0 2( 1)
来自百度文库
a e2 h2 2 1 (1) 4 b e2 2 2 2 h2 ( ) ( ) 2 1 (2) 4 1 1 b
（3）求x2+y2 +6y的最值 y x2+(y+3)2-9
o
x
课堂练习
已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(4,4)、 B(1,-2)的连线为底边的△ABP，其顶点P在抛 物线的弧AB上运动，求：△ABP的最大面积 y 及此时点P的坐标。
8 6
A
4
-5
o
P
5 10 15 -2
2
B
x
-4
-6
设点P(x, y) 分析：
d=
1 2
=0
9 2 5
例2、如图，已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|， 点E分向量 AC 所成的比为λ，双曲线过C、D、 E三点，且以A、B为焦点，当λ∈ [ 2 , 3 ] 时， 3 4 求双曲线离心率e的最值。 分析： 建立坐标系
c 记A( c ,0) C ( , h) 2
E( x0 , y0 )
\ PQ
3 2 1 2 4 cos 2 q q q 3 sin （sin ） （ ）7 2 2
课堂练习
3 )到椭圆 1、求点 P(0， 2
最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。 2、 已知抛物线y2=4x， 以抛物线上两点A(4,4)、 B(1,-2)的连线为底边的 △ABP，其顶点P在抛物 线的弧AB上运动，求： △ABP的最大面积及此时 点P的坐标。
则
|PQ|=
2 3 x2+(y- ) 2
|PQ|2
1 2 3( y ) 7 2
（－1≤y≤1）
1 3， ） 2
所以 PQ 的最大值为 7 1 此时Q的坐标为： （ 3， ） 、 （
2
法二
则
设Q(x,y)是椭圆上的任意点
x 2cos q， y 2sin q . 0 < q < 2 p） （
d=
|2x-y-4|
5
y 2 2y 8 2 5
2 （y 1） 9 2 5
因为P在直线AB的左上方 所以2x-y-4<0 由已知：－2＜y＜4
∴dmax=
9 2 5
此时，y=1, x = 1
4
27 ∴Smax 4
∴点P的坐标为(
1 ，1 4
)
法二： 直线AB：2x-y-4=0 设直线L： 2x-y+m=0与抛物线 y2=4x相切， 将直线L的方程和抛物线方程联立， 消去x得 y2-2y+2m=0 △=4-8m=0 ∴直线L的方程为：2x-y+ 两直线间的距离
小 结：
利用数形结合的思想，借助于几何图 几何法： 形中的一些特点，将图形局部进行转 化，使最值问题得以求解。 选择恰当的变量，根据题意建立目标 函数法： 函数，再探求目标函数的最值方法。 利用圆、椭圆的参数方程，借助于三 参数法： 角函数的有关性质，求出与它们有关 的最值。
思考
求过动直线x+2y=p与定直线2xy=a的交点（其中p∈（0，3a]）的等 轴双曲线系方程x2-y2=λ中，当p取何 值时，λ达到最大值与最小值。
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x2 y 2 1上点的 4
4
A
5 10 15
P
-5 -2
2
B
-4
-6
课堂练习
已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(4,4)、 B(1,-2)的连线为底边的△ABP，其顶点P在抛 物线的弧AB上运动，求：△ABP的最大面积 及此时点P的坐标。 y
8 6
A
4 2
-5
o
P
5 10 15 -2
例2 上点的 最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。 2 分析： x 2 设点 Q(x,y)为椭圆 y 1 上的任意一点，
4
2 3 x 2 ) 到椭圆 y 1 求点 P(0， 2 4
则 又
|PQ|=
2 3 x2+(y- ) 2
x2 = 4- 4y2
1 2 3( y ) 7 2 （－1≤y≤1）
B
x
-4
-6
1 3， ） 2
所以|PQ|2
所以 PQ 的最大值为 7 1 此时Q的坐标为： （ 3， ） 、 （
2
上点的最大 距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。 2 分析： x 2 设点 Q(x,y)为椭圆 y 1 上的任意一点，
4
2 3 x 2 )到椭圆 y 1 求点 P(0， 2 4
3 1 2 e 2
e (4 4 ) 1 2 4
2
y D E C
A
O
B
x
[ 7 , 10 ]
课后练习：
2
1、已知双曲线上 x 1 动点P和定点A 3 1 （2，1），且F为双曲线的右焦点，求|PA|+ 2 |PF|的最小值。
y2
2、已知点Ｆ1（－３，０）、Ｆ2（3， 0），求与直线x-y+9=0有公共点的椭圆 中长轴最短的椭圆方程。
数学是人类最高超的智力 成就，也是人类心灵最独特的 创作，音乐能激发或抚慰情怀， 绘画使人赏心悦目，诗歌能动 人心弦，哲学使人获得智慧， 科学可改善物质生活，但数学 能给予以上一切。——克莱
例1、设实数x、y满足x2+y2-4y=0， （1）求x+y的最值 令 x y t y=-x+t
y-5 （2）求 的取值范围 x-1
D
y C
设双曲线的方程为
x2 y2 （ a>0,b>0) =1 a2 b2
e
c a
A
E
O B x
由定比分点坐标公式得:
h y0 1 c 将C、E 坐标和e = 代入双曲线得：
( 2)c x0 2( 1)
来自百度文库
a e2 h2 2 1 (1) 4 b e2 2 2 2 h2 ( ) ( ) 2 1 (2) 4 1 1 b
（3）求x2+y2 +6y的最值 y x2+(y+3)2-9
o
x
课堂练习
已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(4,4)、 B(1,-2)的连线为底边的△ABP，其顶点P在抛 物线的弧AB上运动，求：△ABP的最大面积 y 及此时点P的坐标。
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A
4
-5
o
P
5 10 15 -2
2
B
x
-4
-6
设点P(x, y) 分析：
d=
1 2
=0
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例2、如图，已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|， 点E分向量 AC 所成的比为λ，双曲线过C、D、 E三点，且以A、B为焦点，当λ∈ [ 2 , 3 ] 时， 3 4 求双曲线离心率e的最值。 分析： 建立坐标系
c 记A( c ,0) C ( , h) 2
E( x0 , y0 )