2016-2017学年广东省深圳市宝安区八年级(下)期末数学试卷

2016-2017学年广东省深圳市宝安区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）（2017春•宝安区期末）下列各数中，能使不等式x﹣1＞0成立的是（）A．1 B．2 C．0 D．﹣2
2．（3分）（2016•江夏区校级模拟）使分式有意义的x的取值范围为（）A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≠﹣1 D．x≠0
3．（3分）（2017春•宝安区期末）下列四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）
A． B．C． D．
4．（3分）（2017•广东模拟）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）
A．10 B．9 C．8 D．6
5．（3分）（2017春•宝安区期末）下列变形是因式分解的是（）
A．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4 B．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x
C．x2﹣3x﹣4=（x﹣4）（x+1）D．x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4
6．（3分）（2017春•宝安区期末）如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）（2017春•宝安区期末）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（3分）（2017春•宝安区期末）下列分式计算正确的是（）
A．=﹣B．=
C．=x﹣1 D．﹣=1
9．（3分）（2017春•宝安区期末）下列命题正确的是（）
A．三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等
B．两条对角线相等的四边形是平行四边形
C．如果a＞b，ac2＞bc2
D．分式的值不能为零
10．（3分）（2017春•宝安区期末）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，且AP=2，∠BAC=60°，有一点F在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，则此时AF的长是（）
A．6 B．6 C．4 D．4
11．（3分）（2017春•宝安区期末）如图，一次函数y=kx+b的图象交y轴于点A （0，2），则不等式kx+b＜2的解集为（）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
12．（3分）（2017春•宝安区期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则BC的长度为（）
A．12 B．C．6 D．2
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）（2018•隆回县一模）因式分解：4m2﹣16=．
14．（3分）（2017春•宝安区期末）如图，在周长为32的平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为．
15．（3分）（2017春•宝安区期末）小颖准备用100元去购买笔记本和钢笔共15件，已知笔记本每本5元，每支钢笔9元，则小颖最多能买支钢笔．16．（3分）（2017春•宝安区期末）如图，将平行四边形ABCD绕点A顺时针旋转，其中B、C、D分别落在点E，F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，若CD=4，BC=2，则平行四边形ABCD的面积为．
三、解答题（共52分）
17．（8分）（2017春•宝安区期末）（1）解不等式，3（x﹣1）﹣5x≤1，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组并写出它的整数解．
18．（6分）（2017春•宝安区期末）先化简，再求值×（1﹣），其中x=2
﹣2．
19．（5分）（2017春•宝安区期末）解方程：=2﹣．
20．（7分）（2017春•宝安区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°．
（1）用尺规作图，在AC边上找一点D，使DB+DC=AC（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下若AC=6，AB=8，求DC的长．
21．（8分）（2017春•宝安区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，连接BE、ED、DF、FB，若∠ADF=∠CBE=90°．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠BAC=30°，∠BEC=45°，请判断AB与CE有什么数量关系，并说明理由．
22．（9分）（2017春•宝安区期末）某商店五月份销售A型电脑的总利润为4320元，销售B型电脑的总利润为3060元，且销售A型电脑数量是销售B型电脑的2倍，已知销售一台B型电脑比销售一台A型电脑多获利50元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使
销售总利润最大？最大利润是多少？
23．（9分）（2017春•宝安区期末）如图1，在平面直角坐标系中．直线y=﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．
2016-2017学年广东省深圳市宝安区八年级（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．
【考点】C3：不等式的解集．
【分析】根据不等式的解集的概念即可求出答案．
【解答】解：不等式的解集为：x＞1，
故选：B．
【点评】本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解的概念，本题属于基础题型．
2．
【考点】62：分式有意义的条件．
【专题】2C ：存在型．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，解得x≠2．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0．
3．
【考点】R5：中心对称图形．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．
4．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的外角和定理作答．
【解答】解：∵多边形外角和=360°，
∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都为360°．
5．
【考点】51：因式分解的意义．
【分析】本题可根据因式分解的概念，将复杂的多项式分解成多个单项式相乘的形式，依据此对各个选项进行判断，即可求出答案．
【解答】解：A：等式左边为单项式相乘，右边为多项式相加，不符合概念，故本项错误；
B：等式右边既有相乘，又有相加，不符合概念，故本项错误；
C：等式左边为多项式相加，左边为单项式相乘，符合概念，故本项正确；
D：等式右边既有相乘，又有相减，不符合概念，故本项错误．
故选：C．
【点评】本题考查因式分解的基本概念，将多项式相加的写成单项式相乘的形式，根据概念，对各项进行分析，即可求出答案．
【考点】KX：三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB，根据平行线的性质、角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠BFD=∠ABF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠ABF，
∴∠BFD=∠DBF，
∴DF=DB=BC=3，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
7．
【考点】Q2：平移的性质．
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．
【解答】解：根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC方向平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选：C．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．
【考点】6B：分式的加减法；65：分式的基本性质．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式==﹣1，故A错误；
（B）原式=，故B错误；
（C）原式==x+1，故C错误
故选：D．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
9．
【考点】O1：命题与定理．
【分析】直接利用三角形内心的定义以及不等式的性质、分式有意义的条件、矩形的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、三角形三条角平分线的交点到三角形的三边的距离都相等，故此选项错误；
B、两条对角线相等的平行四边形是平行四边形，故此选项错误；
C、如果a＞b，ac2≥bc2，故此选项错误；
D、分式的值不能为零，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关性质与定理是解题关键．
10．
【考点】KF：角平分线的性质．
【分析】根据角平分线的定义求出∠PAE，根据直角三角形的性质求出PE、AE，根据角平分线的性质、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：作PH⊥AB于H，
∵点P是∠BAC的平分线AD上一点，∠BAC=60°，
∴∠PAE=30°，
∴PE=AP=，AE=3，
∵点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC，PH⊥AB，
∴PH=PE=，又△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，
∴AF=2AE=6，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．
【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．
【专题】31 ：数形结合．
【分析】利用函数图象，写出函数图象在y轴左侧所对应的自变量的范围即可．【解答】解：根据图象得，当x＜0时，kx+b＜2，
所以不等式kx+b＜2的解集为x＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】11 ：计算题；552：三角形．
【分析】延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以
CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，再利用勾股定理求出BD即可解决问题；
【解答】证明：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，
∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，
∴CE2+AE2=AC2，
∴∠E=90°，
∴∠BAD=90°，
∴BD===，
∴BC=2BD=2
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣
b2=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：4m2﹣16，
=4（m2﹣4），
=4（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质结合条件可求得OE为线段BD的垂直平分线，可求得BE=DE，则可求得△ABE的面积．
【解答】解：
∵平行四边形ABCD的周长为32，
∴AB+AD=16，O为BD的中点，
∵OE⊥BD，
∴OE为线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=16，
即△ABE的周长为16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分是解题的关键．
15．
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
【分析】设小颖买了x支钢笔，则买了（15﹣x）本笔记本，根据总价=单价×数量结合总钱数不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取最大的正整数即可得出结论．
【解答】解：设小颖买了x支钢笔，则买了（15﹣x）本笔记本，
根据题意得：9x+5（15﹣x）≤100，
解得：x≤．
则小颖最多能买6支钢笔；
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据总价=单价×数量结合总钱数不超过100元列出关于x的一元一次不等式是解题的关键．
16．
【考点】R2：旋转的性质；L5：平行四边形的性质．
【分析】先利用旋转的性质得∠1=∠2，AB=AE，再证明∠1=∠3，则可判断△BAE ∽△BDA，得到∠AEB=∠DAB，然后证明AD=BD，由勾股定理求得CD边上的高，求得S
，即可求得结论．
△BCD
【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，点E 恰好是对角线BD的中点，
∴∠1=∠2，AB=AE，
∵EF∥AG，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴∠AEB=∠DAB，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABD，
∴∠ABD=∠DAB，
∴DB=DA=BC=2，
过B作BH⊥CD于H，
则CH=DH=2，
∴BH===2，
∴S
=CD•BH=4，
△BCD
=8．
∴平行四边形ABCD的面积=2S
△BCD
故答案为：8．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△BAE∽△BDA，
三、解答题（共52分）
17．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式；CB：解一元一次不等式组．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去括号，得：3x﹣3﹣5x≤1，
移项，得：3x﹣5x≤1+3，
合并同类项，得：﹣2x≤4，
系数化为1，得：x≥﹣2，
将解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式3x﹣（x﹣2）≥6，得：x≥2，
解不等式x+1＞，得：x＜4，
则不等式组的解集为2≤x＜4，
∴不等式组的整数解为2、3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：×（1﹣）
=×（﹣）
=×
=，
当x=2﹣2时，原式==．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．
【考点】B3：解分式方程．
【专题】11 ：计算题；522：分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣1=2x﹣6+2，
移项合并得：x=3，
经检验x=3是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．
【考点】N3：作图—复杂作图．
【专题】13 ：作图题．
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于点D，则点D满足条件；
（2）先利用勾股定理计算出BC，再设CD=x，则BD=AD=AC﹣CD=6﹣x，再利用勾股定理列方程得（6﹣x）2=（2）2+x2，然后解方程即可．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；
（2）∵AC=6，AB=8，
∴BC==2，
设CD=x，则BD=AD=AC﹣CD=6﹣x，
在Rt△BCD中，
∵BD2=BC2+CD2，
∴（6﹣x）2=（2）2+x2，解得x=，
即CD的长为．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质和勾股定理．
21．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）只要证明△BCE≌△DAF，推出BE=DF，∠BEC=∠DFA，推出BE∥DF，由此即可证明；
（2）结论：AB=EC．作BH⊥AC于H．只要证明AB=2BH，EC=2BH即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠BCE=∠DAF，
在△BCE和△DAF中，
，
∴△BCE≌△DAF，
∴BE=DF，∠BEC=∠DFA，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）结论：AB=EC．
理由：作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠BAH=30°，
∴AB=2BH，
在Rt△BEC中，∵∠EBC=90°，∠BEC=45°，BH⊥CE，
∴EH=HC，
∴EC=2BH，
∴AB=EC．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．
【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】（1）设每台A型电脑的利润为x元，则每台B型电脑的利润为（x+50）元，然后根据销售A型电脑数量是销售B型电脑的2倍列出方程，然后求解即可；
（2）设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为y元．根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出a的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：（1）设每台A型电脑的利润为x元，则每台B型电脑的利润为（x+50）元，
根据题意得=×2，
解得x=120．
经检验，x=120是原方程的解，
则x+50=170．
答：每台A型电脑的利润为120元，每台B型电脑的利润为170元；
（2）设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为y元，
据题意得，y=120a+170（100﹣a），
即y=﹣50a+17000，
100﹣a≤2a，
解得a≥33，
∵y=﹣50a+17000，
∴y随a的增大而减小，
∵a为正整数，
∴当a=34时，y取最大值，此时y=﹣50×34+17000=15300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程是解题的关键，利用一次函数的增减
性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
23．
【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）根据AAS或ASA即可证明；
（2）首先求出点D的坐标，再求出直线B′C′的解析式，求出点C′的坐标即可解决问题；
（3）如图3中，作CP∥AB交y轴于P，作PQ∥CD交AB于Q，则四边形PCDQ 是平行四边形，求出直线PC的解析式，可得点P坐标，点C向左平移1个单位，向上平移个单位得到P，推出点D向左平移1个单位，向上平移个单位得到Q，再根据对称性可得Q′、Q″的坐标；
【解答】（1）证明：∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90°，
∴∠OCB+∠DCE=90°，∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠BCO=∠CDE，
∵BC=CD，
∴△BOC≌△CED．
（2）∵△BOC≌△CED，
∴OC=DE=m，BO=CE=3，
∴D（m+3，m），
把D（m+3，m）代入y=﹣x+3得到，m=﹣（m+3）+3，
∴2m=﹣m﹣3+6，
∴m=1，
∴D（4，1），
∵B（0，3），C（1，0），
∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3，
设直线B′C′的解析式为y=﹣3x+b，把D（4，1）代入得到b=13，
∴直线B′C′的解析式为y=﹣3x+13，
∴C′（，0），
∴CC′=，
∴△BCD平移的距离是个单位．
（3）解：如图3中，作CP∥AB交y轴于P，作PQ∥CD交AB于Q，则四边形PCDQ是平行四边形，
易知直线PC的解析式为y=﹣x+，
∴P（0，），
∵点C向左平移1个单位，向上平移个单位得到P，
∴点D向左平移1个单位，向上平移个单位得到Q，
∴Q（3，），
当CD为对角线时，四边形PCQ″D是平行四边形，可得Q″（5，），
当四边形CDP′Q′为平行四边形时，可得Q′（﹣3，），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（3，）或（5，）或（﹣3，）．【点评】本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用平移、对称等性质解决问题，属于中考压轴题．。