毕氏定理

畢氏定理
• 劉徽，三國時期魏國人，家住今臨淄一帶。他在 魏景元四年編寫《九章算術注》。他提出了『出 入相補原理』－－把圖形分割若干塊後，各塊面 積和等於原圖面積。他利用『出入相補原理』， 成功地證明了『勾股定理』。 這個證明十分顯淺易懂，因為整個證明只需要一 幅圖〔見圖〕，及加上少許說明，甚至連說明也 不用，即可明瞭。本人亦在此加上少許說明：
畢氏定理
• 圖中較深色的部分為『出』，較淺色的則是 『入』。從圖中可見，深綠色的是一個正方形， 以『股』為邊；深紅色的也是一個正方形，以 『勾』為邊。經過分合之後，得出一個以『弦』 為邊的大正方形。即是： 『股』正方面積 +『勾』正方面積 =『弦』正方 面積，即是， 股2 + 勾2 = 弦2 『勾股定理』由此得證。
• • 藍色正方形面積A'''AC'A' + 紅色的正方形面積AB''A''D • 黑色的正方形面積A'C''A''I(以c為邊長)
畢氏定理的歷史
• 勾股定理︰在直角三角形中，兩直角邊的平方 和 等於斜邊的平方。勾股定理是初等幾何中的一個 基本定理。這個 定理有十分悠久的歷史，幾乎所 有文明古國（希臘 、中國、埃及、巴比倫、印度 等）對此定理都有所 研究，希臘著名數學家畢達 哥拉斯（前580至568- 前501至500）曾對本定理 有所研究，故西方國家均 稱此定理為畢達哥拉斯 定理，據說畢達哥拉斯十分 喜愛這個定理，當他 在公元前550前年左右發現這 個定理時，宰殺了 百頭牛羊以謝神的默示。
畢氏定理
82833 宋遠澤
什麼是畢氏定理??
• 西方國家普遍相信「畢氏定理」是由 古希臘數學家畢達哥拉斯 (Pythagoras, 公 元前 572 至公元前 492 年)發現的，或者是 至少是由他證明的。其實早在公元前 1100 年左右，中國數學家商高已發現「勾三、 股四、弦五」的關係，並用它作計算及測 量，所以此定理又稱「勾股定理」或「商 高定理」。勾指直角三角形中短的直角邊， 股為長的直角邊，弦為斜邊。
古老的學派─畢氏學派 古老的學派 畢氏學派
• 希臘最早的學派 畢達哥拉斯在義大利 南部傳授數學及宣傳他哲學思想，後來和 也的信徒們組成了一個所謂「畢達哥拉斯 學派」，的政治和宗教團體。這學派和另 外愛利亞學派同為古希臘最早的唯心論學 派。
求知男女平等
• 畢達哥拉斯是比同時代中一些開壇授 課的學者進步一點：因為他容許婦女(貴族 婦女)來聽課。他認為婦女也是和男人一在 求知的權利上平等，因此他的學派中有十 多名女學者，這是其它學派所無的現象

畢氏定理與百年大祭
• 「在一個直角三角形中，兩股的平方和 等於斜邊的平方。」 這個定理中國和巴比 倫人早在畢氏之前一千年就在使用，但仍 被稱為「畢氏定理，主要是因為畢氏證明 了定理的普遍性。 據說在證明成功的當 天，畢氏叫學生們宰殺了一百頭牛，舉行 盛大的宴會來慶賀。所以，畢氏定理又有” 百牛大祭”的美稱。
學一定理賺一塊錢
• 傳說他是一個非常優秀的教師，他認為每一個 人都該懂些幾何。有一次也看到一個勤勉窮人， 他想教他學習幾何，因此對他建議：如果你能學 懂一個定理，那麼我就給你一塊錢幣。看在錢的 份上，這個人就和他學幾何了，可是過了一個時 期，這學生對幾何卻產生了非常大的興趣，反而 要求畢達哥拉斯教快一些，並且建議：如果老師 多教一個定理，他就給一個錢幣。沒多久，畢達 哥拉斯就把他以前給那學生的錢全部收回了。
畢氏定?運用??畢氏定?中的a2b2c2a2aaaacab2bbabad?個淡黃色的三角形左淡黃色三角形以a為中心做逆時鐘旋轉90?即為右圖的三角形左淡黃色三角形以a為中心做逆時鐘旋轉90?即為右圖的三角形aic右淡黃色三角形以a為中心順時中旋轉90?即為右圖的三角形abi邊長為a的正方型面積?表示圖中的?正方形?邊長為b的正方形面積?表示圖中的紅正方形???ab為?股c為斜邊的直角三角形?????色正方形面積aaca紅色的正方形面積abad黑色的正方形面積acai以c為邊長畢氏定?的?史?勾股定?在直角三角形中?直角邊的平方和等于斜邊的平方
畢氏定理
• 趙爽，三國時期吳國數學家，為《周髀算經》作注。他在 《周髀算經注》中，注釋了『勾股定理』。他寫了一篇 『勾股圓方圖說』，並附上『弦圖』乙幅〔見圖〕，對 『勾股定理』作出了證明： 以弦為邊作一正方形，其面積名為『弦實』。在那正方 形內作四個直角三角形，塗以朱紅色，其面積名為『朱 實』。中央的小正方形，塗以黃色，其面積稱為『黃實』。 而小正方形的邊長等於股、勾之差。但『弦實』等於四個 『朱實』及『黃實』之和。於是便得出： 弦2 = 4．[0.5(勾．股)] + (股－勾)2 弦2 = 2(勾．股) + 股2 － 2(勾．股) + 勾2 弦2 = 勾2 + 股2
試題
請問x等於多少
結答
• 16+9= • •
=5
A:5
借用網站
• .tw/ne01/tjy/pyt hagorean/index.htm畢氏定理知識網 • http://www.cmi.hku.hk/Teaching/Pytha/ind ex.htm數學設計--數學科 • .tw/mathj/analysis/q ub03/qub0303.htm商高定理 • /Tokyo/Fuji/1335/ pyththm.html資料室
畢氏定理的歷史
• 但畢達 哥拉斯對勾股定理的證明方法已經 失傳。著名的希 臘數學家歐幾里得（前 330-前275）在巨著《幾何 原本》（第Ⅰ卷， 命題47）中給個很好的證明。
畢氏定理
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• 『a2 + b2 = c2』這就是希臘學者畢達哥拉斯(Pythagoras) 最著名的發現：『畢氏定理』(Pythagoras' Theorem，即 『商高定理』、『勾股定理』)。本定理說明了直角三角 形三邊的關係：『斜邊的平方等於另外兩邊的平方之和。』 由於證明『畢氏定理』的方法太多，本人祇舉我國在三國 時期的兩個例子，以茲參考。
畢氏定理應用
• 把三角形邊上的正方形，改成相似的圖 形，也會滿足：兩股上的圖形面積和等於 斜邊上的面積！
畢氏定理運用
• • • • • • 畢氏定理中的 a2 + b2 = c2 a2 = a*a 邊長為a 的正方型面積來表示 圖中的藍正方形 A'''AC'A' b2 = b*b 邊長為b的正方形面積來表示 圖中的紅正方形 AB''A''D 兩個淡黃色的三角形 a、b為兩股，c為斜邊的直角三角形 左淡黃色三角形以A’為中心做逆時鐘旋轉90度 即為右圖的三角形 A’I’C’’ 右淡黃色三角形以A”為中心順時中旋轉90度 即為右圖的三角形 A”B’I =