1.3复合函数和初等函数

1.3 复合函数、初等函数
第1页，共22页。
基本初等函数
课前复习
1、常数函数
2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
第2页，共22页。
5、三角函数
6、反三角函数
y sin x y tan x
x x0
而
y
|
x
|
0
x 0 是初等函数，因为 y | x | x2 .
x x 0
分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果分
段函数能用一个解析式表示，那么它就是初等函数
第15页，共22页。
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的Ｂ． y x 2
Ｃ． y x3 2x2 1 Ｄ． y 1 sin x
y u , u lg v , v sinw , w x2
的复合。
第8页，共22页。
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数（基本
初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层 均为简单函数。
例 指出下列各函数的复合过程：
(1) y sin x
(2) y e 1x2
u (x) 称为内层。
例如： y arcsin x2 可看作由 y arcsinu 和 u x2 复合而成。
其中， y arcsinu 为外层， u x2 为内层。
第5页，共22页。
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
如 y f (u) arcsinu , u 2 x2 不能复合。
3. 分段函数
– 分段函数是其定义域内的一个函数.
– 分段函数一般不是初等函数，但如果分段函数可以用 一个解析式表示，那么它就是一个初等函数．
第22页，共22页。
则 f [g( x)] sin x2 ，而 g[ f ( x)] sin2 x 。
第7页，共22页。
5、复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以有
多个。
例 设 y u2 , u ln v, v cos x 2 ,则这三个
函数的复合为
y ln2 v ln2 (cos x 2)
例 函数 y lg(sinx2 ) 可看成函数
(3) y cos2 (3x 9)
1
(4)yesin2x
解：（1）函数 y sin x 是由
y sin u, u x 复合而成的
第9页，共22页。
（2）函数 y e 1x2 是由
y eu , u v , v 1 x2 复合而成的
（3） y cos2 (3x 9) 是由
yyuu22,,uuccoossvv, v 3x 9 复合而成的 1
第17页，共22页。
（ B ）4.下列函数不是初等函数的为
Ａ． y x 2 1 x 1
Ｂ．
y
x x
1 1
x 1 x 1
Ｃ．
y
1 x
x
1
x 1 x 1
Ｄ． y arccos(x2 2)
E. y x 3
第18页，共22页。
5．设函数
f
(x)
tan
x,
g(x)
1 x2
, 则f
[ g ( x)]
(4) y e sin2 x由
y
eu
，u
1 v2
,
v
sin
x复合而成
第10页，共22页。
练习： 给出下列函数的复合过程
(1) y ln(1 x2 )
(2) y 1 x2
(3) y cos3 (3x)
(4) y cos(3x ) 4
(5) y esin3x
注意;在分析一个复合函数的 复合过程时，必须保证每 一个分解过程中的函数为 一个基本初等函数，或是 基本初等函数的四则运算。
第19页，共22页。
9．函数 y a2 x 是由简单函数___________________
____________________________复合而成的；
10．函数 y ln(arccos x 2 ) 是由简单函数_____________
_________________________复合而成的；
(6) y cos (x2)
第11页，共22页。
2.初等函数
定义： 由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限
次的复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称
为初等函数.否则称为非初等函数 .
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x ，y ln x e2x
_______.
6．设 y 3u , u v2 , v tan x ，则复合函数
y f (x) _________；
7．设函数 f (x) 3x 5,则f [ f (x) 2] ________；
8．设 f (x) ln x, g(x) e2x1,则f [g(x)] _______；
y secx
y cos x
y cot x
y csc x
y arcsinx
y arccosx y arctanx
y arccot x
第3页，共22页。
1.复合函数
定义 ：设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函数
u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
复合后的 函数要有 意义
例：将以下各题中的 y表示为 x的函数，并求出函数的定义域；
（1）y u ， u 1 x ；
（2） y ln u ， u 1 x ；
（3）y u 2 ， u cos v
，v x 5
；
第6页，共22页。
4、注意复合次序：
f ( x) sin x, g( x) x2 ，
(ai
,b
为常数
j
,
i
0，1，2，
，n
；j
0，1，2，
，n)
都是初等函数．
第13页，共22页。
非初等函数举例:
符号函数
取整函数
1
y
sgn
x
0
1
x0 x0 x0
y[x] n, 当 nxn1,nZ
第14页，共22页。
思考：分段函数是初等函数吗？
符号函数
1
y
sgn
x
0
1
x0 x 0 不是初等函数； x0
y ln(1 sin x)， 等等。
第12页，共22页。
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
（ D ）2．下列函数为复合函数的是
Ａ． y x 51
Ｂ． y cos x 4
Ｃ．
y
(5) e
x
Ｄ． y x5 1
第16页，共22页。
（ A ）3.设 f (x) sin x2 ，且(x) x2 1 ， 则 f [(x)]
Ａ． y sin(x2 1)2 Ｂ． y sin2 (x2 1) Ｃ． y sin(x2 1) Ｄ． y sin2 x2 1
（3）可以把 y f [(x)] 中的 y f (u) 称为外层，
u (x) 称为内层。
（4）分解方法：由外到内，逐层分解，直至每一层均 为简单函数为止。
第21页，共22页。
2. 初等函数 – 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运 算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初 等函数. – 本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
11．函数 y
sin 2
1 x2
是由简单函数______________
______________________________复合而成的.
第20页，共22页。
课后小结
1. 复合函数
（1）复合函数的特征是函数“套”函数。复合只是一种 形式，不是函数的新类型。
（2）不是任何函数都可以复合成一个函数。复合后的函 数要有意义。
y f (u) 的定义域内，则通过变量 u ，y 也是 x 的函数．我
们称这样的函数 y 为 y f (u) 和 u (x) 的复合函数， 记作 y f [(x)]，其中 u 称为中间变量．
第4页，共22页。
注意：
1、复合函数并不是一种新函数，复合函数的特征是 函数“套”函数。
2、可以把 y f [(x)]中的 y f (u) 称为外层，