北师大版高中数学选修1-1：模块检测卷.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧 *整理制作
模块检测卷选修 1－1
时间 120 分钟，满分 150 分。

一、选择题 (本大题共10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R， A? U ， B? U，如果命题p： a∈(A∩ B)，则命题 ?p 为 ()
A ． a∈ A B． a∈ ?U B
C．a∈ (A∪ B)D． a∈ (?U A∪ ?U B)
[答案] D
[解析 ]p： a∈ (A∩ B)，?p： a?(A∩B)即 a∈ ?U(A∩ B)，
又 ?U(A∩ B)＝ ?U A∪?U B，所以选 D.
2．“ (m－ 1)(a－ 1)>0 ”是“ log a m>0”的 ()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案 ] B
[解析 ] 由 (m－ 1)( a－ 1)>0
m>1 m<1
log a m>0 等价于
m>1
等价于或
a<1
，由或
a>1 a>1
0<m<1
B.
，所以条件仅具有必要性，故选
0<a<1
3．已知椭圆 C 的两个焦点分别为F1(－ 1,0)、 F2(1,0) ，短轴的两个端点分别为B1、 B2，若△ F1B1B2为等边三角形，则椭圆 C 的方程为 ( )
A ． 4x2＋ 3y2＝ 1 B． 4y2＋ 3x2＝ 1
3x2 2 2 3y2
C. 4＋3y ＝1 D．3x ＋4＝ 1
[答案 ] C
x 2 y 2
a ＝ 2b
2
4 [解析 ] 设椭圆 C 的方程为 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) ．根据题意知 a 2－ b 2＝ 1 ，解得 a ＝
3，
2 1 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2 3x 2 2
b ＝ ＋ ＝ 1，即 4 ＋ 3y ＝ 1.
3 4 1 3 3
4．已知曲线 y ＝
x 2
－ 3lnx 的一条切线的斜率为－ 1
，则切点的横坐标为 (
)
4 2
A ． 3
B ． 2
C ．1
D ． 1
2
[答案 ] B
[解析 ]
∵ y ＝ x 2 x 3
x － 3 1
－3ln x(x>0)，∴ y ′＝ － .再由导数的几何意义，有
2 x ＝－ ，解得 x
4 2 x
2
＝2 或 x ＝－ 3( 舍去 )．
2
5．双曲线
x 2
－ y
＝ 1 的离心率大于 2的充分必要条件是 ( m
1
A ． m>2
B ． m ≥ 1
C ．m>1
D ． m>2
[答案 ]
C
2
1＋ m
c ， e 2 ＝
c
2
[解析 ] ＝ 1 >2 ，得 1＋ m>2，所以
依题意， e ＝ a a
)
m>1，选 C.
6． (2015 湖·南文， 8)设函数 f(x)＝ ln(1 ＋ x)－ ln(1 － x)，则 f(x) 是( )
A ．奇函数，且在 (0,1) 上是增函数
B ．奇函数，且在 (0,1) 上是减函数
C ．偶函数，且在 (0,1) 上是增函数
D ．偶函数，且在 (0,1) 上是减函数
[答案]
A
[解析 ]
求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．函
数 f(x)＝ ln(1 ＋ x)－ ln(1 － x)，函数的定义域为 (－ 1,1)，函数 f(－ x)＝ ln(1 － x)－ ln(1 ＋ x)＝－ [ln(1
＋x)－ln(1 －x)] ＝－ f(x)，所以函数是奇函数． f ′ (x)＝
1
＋ 1
＝ 2
2，已知在 (0,1)上
f ′( x) 1＋ x 1－x 1－ x
＞0，所以 f(x)在 (0,1) 上单调递增，故选
A.
7．(2013 ·南安阳中学高二期末河
)f(x)是定义在 (0，＋∞ )上的非负可导函数， 且满足 xf ′ (x)
＋f(x)≤ 0，对任意正数 a 、 b ，若 a<b ，则必有 (
)
A ． af( b)≤ bf(a)
C ．af(a)≤ f(b)
[答案]
A
B ． bf(a)≤ af(b)
D ． bf(b)≤ f(a)
[解析 ]令F(x)＝xf(x)，(x>0)，则F′ (x)＝xf′ (x)＋f(x)≤0，∴ F(x)在(0，＋∞ )上为减函数，
∵0<a<b，∴ F(a)>F( b)，即 af( a)> bf(b)，与选项不符；
由于 xf ′ (x)＋ f(x) ≤0 且 x>0， f(x)≥ 0，∴ f ′ (x)≤－f x
≤ 0，∴ f(x)在 (0，＋∞ )上为减 x
函数，
∵0<a<b，∴ f(a)>f(b)，
∴bf(a)>af(b)，结合选项知选 A.
8．已知三次函数 f(x)＝ 1 x3－ (4m－ 1)x2＋(15m2－ 2m－ 7)x＋2 在R上是增函数，则m 的
3
取值范围是 ( )
A ． m<2 或 m>4 B．－ 4<m<－2
C．2< m<4 D．以上皆不正确
[答案 ] D
[解析 ] f ′ (x)＝ x2－2(4m－ 1)x＋ 15m2－ 2m－7，
由题意得 x2－ 2(4m－1)x＋ 15m2－ 2m－ 7≥ 0 恒成立，∴＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7) ＝64m2－ 32m＋ 4－ 60m2＋ 8m＋ 28
＝4(m2－6m＋ 8)≤ 0，
∴2≤m≤ 4，故选 D.
1
9． (2015 浙·江文， 5)函数 f(x)＝ x－x cos x(－π≤ x≤ π且 x≠ 0)的图像可能为() A．B．
C． D.
[答案 ] D
1 1
[解析 ] 因为 f(－ x)＝ (－ x＋x)cos x＝－ (x－x) ·cos x＝－ f(x)，故函数是奇函数，所以排
1 1
除 A ，B；取 x＝π，则 f( π)＝( π－ )cos ＝π－ ( π－ )<0 ，故选 D.
ππ
x2 y2
10．(2014 江·西文， 9)过双曲线C：a2－b2＝ 1 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、O 两点 (O 为坐标原点 )，则双曲线C的方程为()
x2－ y2＝1 B． x2－ y2＝1
A. 4 12 7 9
C.x2－ y2＝1 D． x2 －y2＝1
8 8 12 4
[答案 ] A
b [解析 ] 如图设双曲线的右焦点F，右顶点 B，设渐近线 OA 方程为 y＝a x，
由题意知，以 F 为圆心， 4 为半径的圆过点O，A，
∴|FA|＝ |FO|＝ r＝ 4.
∵ AB⊥ x 轴， A 为 AB 与渐近线 y＝b
x 的交点，a
∴可求得 A 点坐标为 A(a， b)．
∴在 Rt△ABO 中， |OA |2＝OB2＋ AB2＝ a2＋ b2＝ c＝ |OF|＝ 4，
∴△ OAF 为等边三角形且边长为4， B 为 OF 的中点，从而解得|OB|＝ a＝2， |AB|＝ b＝2 3，
∴双曲线的方程为x2
－ y2 ＝ 1，故选 A.
4 12
二、填空题 (本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，将正确答案填在题中横线上)
11． (2014 深·圳高级中学月考)给出如下四个命题：
①若“ p 或 q”为假命题，则p， q 均为假命题；
②命题“若 x≥ 2 且 y≥ 3，则 x＋ y≥ 5”的否命题为“若x<2 且 y<3，则 x＋ y<5”；
③在△ ABC 中，“ A>45°”是“ sinA> 2”的充要条件；
2
④命题“若x＝ y，则 sinx＝ siny”的逆否命题为真命题．
其中正确命题的个数是________．
[答案] 2
[解析 ]①若“ p或q”为假命题，则p，q 均为假命题，所以①正确．②同时否定条件
和结论得原命题的否命题是：“若 x<2 或 y<3，则 x＋ y<5”，所以②错误．③在△ABC 中，
当 A ＝ 150°时， sinA< 2，所以③错误．④因为命题 “若 x ＝ y ，则 sinx ＝ siny ”是真命题，所
2
以它的逆否命题也是真命题，所以④正确．则正确命题的个数为 2.
12． (2014 福·建安溪一中、养正中学联考 )曲线 y ＝ x(3ln x ＋ 1)在点 (1,1) 处的切线方程为 ________．
[答案 ] 4x － y － 3＝ 0
[解析 ]
y ′ |x ＝ 1＝ (3ln x ＋ 4)|x ＝ 1＝ 4，∴切线方程为 y － 1＝ 4(x －1) ，即 4x － y － 3＝ 0.
13． (2014 福·建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考
)已知函数 f(x)＝ x 3－
ax 2 － 3x 在区间 [1，＋∞ )上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ________．
[答案 ]
(－∞， 0]
[解析 ]
∵ f(x)＝ x 3 －ax 2－ 3x ，∴ f ′ (x)＝ 3x 2－ 2ax － 3，
又因为 f(x)＝ x 3－ ax 2－ 3x 在区间 [1，＋ ∞)上是增函数， f ′ (x) ＝3x 2－2ax － 3≥0 在区间 [1，＋ ∞ )上恒成立，
a
≤1，
解得 a ≤0，
∴
3
f ′ 1 ＝ 3× 12－ 2a － 3≥ 0，
故答案为 (－∞，0]．
x 2 y 2
14．已知椭圆 25＋16＝ 1 内有两点 A(1,3) ，B(3,0)，P 为椭圆上一点，则 |PA|＋ |PB|的最大
值为 ________．
[答案 ] 15
[解析 ]
在椭圆中，由 a ＝ 5，b ＝ 4 得 c ＝ 3，故焦点坐标为 (－ 3,0)和 (3,0) ，则点 B 是右
焦点，记另一焦点为
C( － 3,0)，则由椭圆定义得 |PB|＋ |PC|＝ 10，从而 |PA|＋ |PB|＝ 10＋ |PA|
－ |PC|，又 ||PA|－ |PC||≤ |AC|＝ 5，故当点 P ，A ，C 共线时， |PA|＋ |PB|取得最大值，最大值为 15.
n
15．对正整数 n ，设曲线 y ＝x (1－ x)在 x ＝ 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ，则数
a n
列 n ＋ 1 的前 n 项和是 ________．
[答案 ] 2
n ＋
1－
2
[解析 ]
n
n
nn － 1
n
∵ y ＝ x (1－ x)，∴ y ′ ＝ (x )′(1 － x)＋ (1－ x)′ ·x ＝ n ·x (1 － x)－ x .
f ′ (2) ＝－ n ·2n － 1－ 2n ＝ (－n － 2) ·2n －
1.
在点 x ＝2 处点的纵坐标为
y ＝－ 2n .
∴切线方程为 y ＋2n ＝ (－ n － 2) ·2n －
1(x － 2)．
令 x ＝ 0 得， y ＝ (n ＋ 1) ·2n ， ∴ a n ＝ (n ＋ 1) ·2n ，
a n 的前 n 项和为 2 2 n
－ 1 n ＋
1
∴数列
＝ 2
－ 2.
n ＋ 1 2－ 1
三、解答题 (本大题共 6 小题，共 75 分，前 4 题每题 12 分， 20 题 13 分， 21 题 14 分) 16．(1) 设集合 A ＝ { x|－ 2－ a<x<a ，a>0} ．命题 p ：1∈ A ；命题 q ：2∈ A.若 p ∨ q 为真命
题， p ∧ q 为假命题，求 a 的取值范围；
(2)已知 p ： 4x ＋ m<0， q ： x 2－ x － 2>0，且 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围．
[解析 ] (1)若命题 p 为真，则－ 2－ a<1<a ，解得 a>1 ；若命题 q 为真，则－ 2－ a<2< a ，解得 a>2. 因为 p ∨ q 为真， p ∧ q 为假，所以 p ， q 一真一假．当 p 真 q 假时， 1<a ≤ 2；当 p 假 q 真时， a 的值不存在．
所以 a 的取值范围是 (1,2] ．
(2)由 x 2－ x － 2>0 ，得 x>2 或 x<－ 1，令 A ＝ { x|x>2 或 x<－ 1} ；由 4x ＋ m<0，得 x<－
m
4，
令 B ＝ { x|x<－ m
4 } ．
因为 p 是 q 的充分条件，所以
B? A ，于是－ m
≤ －1，得 m ≥ 4，所以实数 m 的取值范
4
围是 [4，＋ ∞)．
4 17．已知双曲线过点
P(－3
2， 4)，它的渐近线方程为
y ＝ ± x.
3
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设 F 1 和 F 2 为该双曲线的左、右焦点，点 P 在此双曲线上，且 |PF 1| |PF · 2|＝ 41，求∠
F 1PF 2 的余弦值．
2
2
(2)
9
[答案 ]
(1)
x － y ＝ 1
9 16
41
[解析 ] (1)
由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－ 3 2的点 P ′
的
纵坐标的绝对值为
4 2.
∵ 4 2>4 ，∴双曲线的焦点在 x 轴上，
2
2
x
y
设方程为 a 2－ b 2＝ 1.
∵双曲线过点 P(－ 3 2， 4)，
18 － 16
∴ 2 2＝1 ① a b
又∵ b a ＝ 4
3 ②，
由①②，得 a 2＝ 9，b 2＝ 16，
2
2
∴所求的双曲线方程为 x
－ y
＝ 1.
9 16
(2)设 |PF 1|＝ d 1， |PF 2|＝ d 2，
则 d 1·d 2＝ 41.又由双曲线的几何性质知 |d 1－ d 2|＝ 2a ＝ 6.
由余弦定理得
d 12＋ d 22－ |F 1F 2 |2
cos ∠ F 1PF 2＝
2d 1d 2
2
2
＝ d 1－ d 2
＋2d 1 d 2－|F 1F 2| ＝ 9
2d 1d 2
41
.
1 2
x
18． (2014 成·都质量检测 )已知函数 f(x)＝－ x
＋ 2x － ae .
2
(1)若 a ＝ 1，求 f(x)在 x ＝1 处的切线方程；
(2)若 f(x)在 R 上是增函数，求实数
a 的取值范围．
1
1
[答案 ] (1)y ＝ (1－ e)x ＋ 2
(2)( －∞，－ e 3]
[解析 ]
(1)当 a ＝ 1 时， f(x)＝－ 1
x 2＋ 2x － e x ，
2
则 f(1) ＝－
1
2× 1
2
＋ 2× 1－ e ＝
3
2－e ，
f ′ (x)＝－ x ＋ 2－ e x ， f ′ (1) ＝－ 1＋ 2－ e ＝ 1－ e ，
故曲线 y ＝ f(x)在 x ＝1 处的切线方程为
y －(
3
2－ e)＝ (1－ e)(x － 1)，即 y ＝ (1－ e)x ＋1
2.
(2)∵ f(x)在 R 上是增函数，∴ f ′ (x)≥ 0 在 R 上恒成立，
∵ f(x)＝－ 1
x 2＋ 2x － ae x ， f ′ (x) ＝－ x ＋ 2－ae x ，
2 于是有不等式－ x ＋ 2－ ae x ≥ 0 在 R 上恒成立，
2－ x
即 a ≤ e x 在 R 上恒成立，
令 g(x)＝
2－ x
x － 3
x
，则 g ′ (x)＝ x ，
e
e
令 g ′ (x)＝ 0，解得 x ＝ 3，列表如下：
x (－∞ ， 3)
3 (3，＋ ∞ )
g ′( x)
－
＋
g(x)
1
减 极小值－ e 3 增
故函数 g(x)在 x ＝ 3 处取得极小值，亦即最小值， 即 g(x)
＝－
1
1
3
3
min
e ，所以 a ≤ － e ，
1
即实数 a 的取值范围是 (－ ∞，－ e 3]．
2
19．(2013 ·淀区高二期中海 )已知函数 f(x) ＝a
x 3 － 2ax 2＋bx ，其中 a 、 b ∈ R ，且曲线 y ＝
3
f(x)在点 (0， f(0)) 处的切线斜率为 3.
(1) 求 b 的值；
(2) 若函数 f(x)在 x＝ 1 处取得极大值，求 a 的值．
[答案 ] (1)3 (2)1
[解析 ] (1)f ′(x)＝ a2x2－ 4ax＋ b，
由题意 f ′(0) ＝ b＝ 3.
(2)∵函数 f(x)在 x＝ 1 处取得极大值，
∴f ′ (1) ＝ a2－ 4a＋ 3＝ 0，解得 a＝ 1 或 a＝ 3.
①当 a＝ 1 时， f ′ (x)＝ x2－ 4x＋3＝ (x－ 1)(x－ 3)，
x、 f ′ (x)、 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞， 1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞ )
f ′ (x) ＋0 －0 ＋
f(x) 极大值极小值
由上表知，函数f(x)在 x＝ 1 处取得极大值，符合题意．
②当 a＝ 3 时， f ′ (x)＝ 9x2－ 12x＋ 3＝ 3(3x－ 1)(x－ 1)，
x、 f ′ (x)、 f(x)的变化情况如下表：
x ( －∞，1
)
1 1
， 1) 1 (1，＋∞ ) 3 3
(
3
f ′ (x) ＋0 －0 ＋
f(x) 极大值极小值
由上表知，函数f(x)在 x＝ 1 处取得极小值，不符合题意．
综上所述，若函数f(x)在 x＝1 处取得极大值， a 的值为 1.
3 2 3 x2 y2
20．若直线 l： y＝3 x－ 3 过双曲线a2 －b2 ＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点 B(0， b) 且与 x 轴不平行的直线与双曲线相交于不同的两点M ，N， MN 的垂直平分线为 m，求直线 m 在 y 轴上截距的取值范围．
3 2 3
得 c＝2，
b
＝
3
，结合 a2＋ b2＝ c2，
[解析 ] (1)由 y＝3 x－3 a 3
解得 a＝3， b＝ 1.
2
故双曲线的方程为x －y2＝1.
3
(2)由 (1) 知 B(0,1)，依题意可设过点 B 的直线方程为y＝ kx＋ 1(k≠ 0)，M(x1， y1)， N(x2，y2)．
马鸣风萧萧
y ＝ kx ＋1
2
2 2
6k
由
x － y 2＝ 1
得 (1－3k )x － 6kx － 6＝ 0，所以 x 1＋ x 2＝ 1－ 3k 2
，
3
＝ 36k 2
＋ 24(1－3k 2)＝ 12(2－ 3k 2)>0? 0< k 2
<2
，且 1－ 3k 2≠ 0? k 2
≠1
.
33
设 MN 的中点为 Q(x ， y
＝ x 1＋ x 2＝
3k 2， y ＝kx ＋ 1＝
1 2
0)，则 x 0
2 1－ 3k 0
1－3k .故直线 m 的方
程为 y － 1
2＝－ 1 (x － 3k
2)，即 y ＝－ 1
4 2.
k
k x ＋
1－3k 1－ 3k
1－ 3k
所以直线 m 在 y 轴上的截距为
4
2
，
1－ 3k
由 0<k 2 2 2
1 得 1－3k 2
< ，且 k
≠
∈ (－ 1,0)∪ (0,1)，
3
3
4
所以 1－ 3k 2∈ (－ ∞ ，－ 4) ∪(4，＋ ∞ )． 即直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围为
(－∞ ，－ 4)∪ (4，＋ ∞ )．
21． (2013 ·州文博中学高二期末福 )设 f(x)＝ lnx ， g(x)＝ f(x)＋f ′ (x)．
(1)求 g(x)的单调区间和最小值；
1
(2)讨论 g(x)与 g(x )的大小关系；
(3)求 a 的取值范围，使得
g(a)－ g(x)< 1
对任意 x>0 成立．
a
1
[答案 ] (1)减区间 (0,1) 增区间 (1，＋∞ ) 最小值 1
(2)0< x<1 时， g(x)> g( x ) x>1 时，
1 1
g(x)<g(x )
x ＝ 1 时， g(x)＝ g( x ) (3)(0 ，e)
1 [解析 ]
(1)由题设知 g(x) ＝lnx ＋ x ，
∴ g ′ (x)＝ x － 1
x 2 ，令 g ′ (x)＝ 0，得 x ＝ 1.
当 x ∈ (0,1)时， g ′ (x)<0，故 (0,1)是 g(x)的单调递减区间．
当 x ∈ (1，＋ ∞ )时， g ′ (x)>0 ，故 (1，＋ ∞ )是 g(x)的单调递增区间，
因此， x ＝ 1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为
g(1)
＝ 1.
1
(2)g( x ) ＝－ ln x ＋ x ，
设 h(x)＝ g(x)－ g(1
)＝ 2ln x － x ＋ 1
，则
x
x h ′ (x)＝－ x － 1 2
x 2 .
当 x＝ 1 时， h(1) ＝ 0，即 g(x)＝ g(1 x)．
当 x∈ (0,1)∪ (1，＋∞ )时， h′(x)<0， h′ (1)＝ 0，因此， h(x)在 (0，＋∞ )内单调递减．
1
当 0<x<1 时， h(x)>h(1)＝ 0，即 g(x)>g(x)，
当 x>1 时， h(x)<h(1) ＝0，即 g(x)<g(1 x)．
(3)由 (1) 知 g( x)的最小值为1，所以 g(a)－g(x)< 1
对任意
x>0 成立 ? g(a)－ 1<
1
，a a
即 lna<1 ，从而得0<a<e，即 a 的取值范围为 (0， e)．
11 / 12
马鸣风萧萧
12 / 12。