高等流体力学 零方程模型

第三节 零方程模型及一方程模型

任一变量φ的时间平均值定义为；

()dt t t

t

t t

⎰∆+∆=

φφ1

对φ变量作平均处理，可得：

()()S u x x x u t j j

j j j +⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛''-∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂φρφφρφρ

对于动量方程，附加项为：

()V div x u x

u p u u ij i j

j i t ij t t ij j i δμδτρ32

-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+

∂∂+-==''- ()

K w v u p t ρρ3

231222='+'+'=

对其他变量附加项：

j

t

j x u ∂∂Γ=''-φ

φρ 紊流粘性系数与紊流扩散系数：t

t

Γ=

μσ

1零方程模型

所谓零方程模型是指不使用微分方程，而是用代数关系式，把涡粘系数与时均值联系起来的模型。它只用湍流的时均连续方程(4.12)和Reynolds 方程（4.13)组成方程组，把方程组中的Reynolds 应力用平均速度场的局部速度梯度米表示。

零方程模型方案有多种，最著名的是Prandtl 提出的混合长度模型（mixing length model ）。Prandtl 假定湍动粘度t μ正比于时均速度i u 的梯度和混合长度m l 的

()()

φφφφρρφS grad V div t

=Γ-+∂∂

()()φφφφρρφS x x u x t j

j j j +∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂

)(

乘积。

例如，在二维问题中，有：

y

u

l m

i ∂∂=2

μ （4.18） 湍流切应力表示成为：

y

u

y u l v u m

∂∂∂∂=''-2

ρρ (4.19)

其中，混合长度m l 由经验公式或实验确定。

混合长度理论的优点是直观简单，对于如射流、混合层、扰动和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效，但只有在简单流动中才比较容易给定混合长度

m l ，对于复杂流动则很难确定m l ，而且不能用于模拟带有分离回流的流动，因此，

零方程模型在复杂的实际工程中很少使用。

4.3.2一方程模型

零方程模型实质上是一种局部平衡的概念，忽略了对流和扩散的影响。为了弥补混合长度假定的局限性，人们建议在湍流时均控制方程和Reynolds 方程的基础上，再建立一个湍动能k 的输运方程，而将t μ表示成k 的函数，从而使方程组封闭。这里，湍动能k 的输运方程表示为：

l k C x u x u x u x k x x ku t k D j i i j j

i t j k t

j

i i 23

)()(ρμσμμρρ-∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+∂∂

=∂∂+∂∂ (4.20)

上式从左至右，方程中各项依次为瞬态项、对流项、扩散项、产生项、耗散项。

由Kolmogorov-Prandtl 表达式，有：

kl C t μρμ= (4.21)

其中k σ，D C ，μC 为经验常数，多数文献建议：k σ＝1，μC ＝0.09，而D C 的取值在不同的文献中结果不同，从0.08到0.38不等。但这个问题在后面要介绍的双方程模型中不存在。l 为湍流脉动的长度比尺，依据经验公式或实验而定。

以上两式联合构成一方程模型。一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因而比零方程模型更为合理。但是，一方程模型中如何确定长度比尺l 仍是

不易决定的问题，因此很少在实际工程计算中应用。

4.4标准ε-k 两方程模型

标准ε-k 模型是典型的两方程模型，是在 4.3节介绍的一方程模型的基础上，新引入一个关于湍流耗散率ε的方程后形成的。该模型是目前使用最广泛的湍流模型。本节介绍标准ε-k 模型的定义及其相应的控制方程组，下一节介绍改进的ε-k 模型。

4.4.1标准ε-k 两方程模型的定义

标准ε-k 模型（standard ε-k model ）由Launder 和Spalding 于1972年提出。

在模型中，k 为湍动能（turbulent kinetic energy ），其定义为,即：

()

222212w v u u u k i i '

+'+'=''= ε表示湍动耗散率（turbulent dissipation rate ），定义为：

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂'∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂'∂=k i k i x u x u ρμε （4.22）

湍动粘度t μ则表示成k 和ε的函数，即：

ε

ρμμ

2

k C t = （4.23）

其中，μC 为经验常数。

在标准ε-k 模型中，k 和ε是两个基本的未知量，与之相对应的输运方程为：

()()k M b k j k

i j i i S Y G G x k x x ku t k +--++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+

∂∂=∂∂+∂∂ρεσμμρρ (4.24) ()()εεεεεερεεσμμρρεS k C G C G k C x x x ku t b k j i

j

i i +-++⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡∂∂⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+∂∂

=∂∂+∂∂2231)((4.25)

其中，k G 是由于平均速度梯度引起的湍动能k 的产生项，b G 是由于浮力引起的湍动能k 的产生项，M Y 代表可压湍流中脉动扩张的贡献，ε1C 、ε2C 和ε3C 为经验常数，k σ和εσ分别是与湍动能k 和耗散率ε对应当Prandtl 数，k S 和εS 是用