结构动力学学习总结
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e(
) t
2) 当 时，为临界阻尼系统，微分方程(1-9)的通解为
x(t ) e t (c1 +c2t )
(1-15)
由初始条件 x(t )
t 0
x0 , x(t )
t 0
0 ，可得
(1-16)
x(t ) e t [ x0 + ( 0 x0 )t ]
(1-7)
1.1.2 有阻尼的自由振动 单自由度系统考虑阻尼作用的自由振动方程为
mx(t )+cx(t )+kx(t )=0
(1-8)
或写为
x(t )+2 x(t )+ 2 x(t )=0
(1-9)
其中
c 2m
(1-10)
称为阻尼特性系数。常微分方程(1-9)的特征方程为
s 2 +2 s+ 2 =0
不难发现，式(1-14)和式(1-16)所表示的运动都没有振动的特征。 3) 当 时，为低阻尼临界系统，这时特征方程的根为
s1,2 i
(1-17)
其中 2 2 微分方程(1-9)的通解为
x(t ) e t ( B1 sin t + B2 cos t )
mx(t ) cx(t ) kx(t ) Pcos t
(1-25)
可知上式的通解为
x(t ) e t ( B1 sin t B2 cos t ) A sin( t )
(1-26)
将初始条件代入上式，可得到
x(t ) e t (
0 x0 sin t x0 cos t ) sin cos Ae t (sin cos t sin t ) A sin( t )
(1-30)
对于方程(1-29)，利用动量定理可以将初始时刻的瞬时冲击载荷转化为初始 时刻的速度，方程(1-30)可转化为
mx(t ) cx(t ) kx(t ) 0 P( ) d x(0) 0, x(0) m
种类型：周期力，瞬变力，随机力。 根据牛顿第二定律，可以写出下式
mx(t ) cx(t ) kx(t )=Fe (t )
(1-1)
上式称为单自由系统的动力平衡方程。 根据施加在质量块上的外力 Fe (t ) 的类型不同，可以结构的振动分析分为模
态分析，瞬态动力学分析，简谐响应分析和随机谱分析。 外力的类型 无外力 (Fe 0) 瞬变力（能够使用函数表示） 简谐力 随机力（只能用统计的方式描述） 分析类型 模态分析 瞬态动力学分析 简谐响应分析 随机谱分析 振动类型 自由振动 任意载荷下的强迫振动 简谐载荷下的强迫振动
(1-27)
上式的第 1 项为决定于初始条件的自由振动，第 2 项表示伴生的自由振动。这 2 项皆因有阻尼的存在而逐渐衰减。第 3 项是纯强迫振动，其振幅与周期都不随时 间而变化，是稳定的周期运动。
1.3 任意载荷下的强迫振动
本节讨论单自由度系统在任意一般性载荷作用下的强迫振动问题。 在任意载荷下弹簧-阻尼系统的振动方程为
特征方程的根为
s1,2 2 2
(1-11)
(1-12)
1) 当 时，为超临界阻尼系统，微分方程(1-9)的通解为
x(t ) c1es1t c2es2t c1e(
2 2 ) t
c2e(
2 2 ) t
(1-13)
(1-18)
1.2 简谐载荷作用下的强迫振动
本节讨论系统受到简谐变化的干扰力作用下的强迫振动响应问题。 1.2.1 无阻尼强迫振动 在无阻尼的情况下，假定载荷 Fe (t ) 为如下的简谐形式
Fe (t )=Pcos t
(1-19)
因此无阻尼强迫振动方程为
mx(t ) kx(t ) Pcos t
一、单自由度系统的振动
考虑图 1 所示的单自由度系统的力学模型（弹簧-质量系统） ，它由刚体质量 块、弹簧和阻尼器组成，弹簧和阻尼器的质量与刚体质量块相比可以忽略，系统 的位移完全由刚体质量块的位移 x 确定。
图 1 单自由度系统（弹簧-质量系统） 以弹簧-质量系统为例，对单自由度系统进行受力分析。如图 2 所示，此时有 3 种力作用在质量块上：弹性恢复力，阻尼力和外力。
mx(t ) cx(t ) kx(t ) P(t ) x(0) x0 , x(0) v0
根据齐次化原理，可将方程(1-28)分解为
(1-28)
mx(t ) cx(t ) kx(t ) P(t ) x(0) 0, x(0) 0
和
(1-29)
mx(t ) cx(t ) kx(t ) 0 x(0) x0 , x(0) v0
1.1 自由振动
若系统不受外部的干扰作用， 仅由初始条件 （初位移和初速度） 引起的振动， 称为自由振动。 1.1.1 无阻尼的自由振动 当不t )=0
令
(1-2)
2
则方程(1-2)可以改写成为
k m
(1-3)
x(t )+ 2 x(t )=0
x(t ) A1 sin t A 2 cos t P cos t m( 2 )
2
(1-23)
由初始条件 x(t )
t 0
x0 , x(t )
t 0
0 ，可求得 A1
0 P ， , A2 x0 2 m( 2 )
则式(1-23)可写为
专题报告： 结构动力学学习总结
一、单自由度系统的振动 ........................................................................................... 3 1.1 自由振动 ......................................................................................................... 4 1.1.1 无阻尼的自由振动 ............................................................................. 4 1.1.2 有阻尼的自由振动 ............................................................................. 4 1.2 简谐载荷作用下的强迫振动 ......................................................................... 5 1.2.1 无阻尼强迫振动 ................................................................................. 6 1.2.2 有阻尼的强迫振动 .............................................................................. 6 1.3 任意载荷下的强迫振动 ................................................................................. 7 二、多自由度系统的振动 ........................................................................................... 9 2.1 多自由度系统的固有频率和主振型 ............................................................. 9 2.2 主振型的正交性 ........................................................................................... 10 2.3 模态分析法 .................................................................................................. 11 2.3.1 无阻尼强迫振动 ............................................................................... 12 2.3.2 有阻尼强迫振动 ............................................................................... 14 三、结构振动的有限元计算 ..................................................................................... 17 3.1 振动的基本方程 ........................................................................................... 17 3.2 虚功原理 ...................................................................................................... 18 3.3 结构振动的有限元分析列式 ...................................................................... 18
或写为
x(t ) 2 x(t ) P cos t m
(1-20)
(1-21)
方程(1-21)的通解可由齐次方程的通解和非齐次方程的特解叠加而得。由 Fe (t ) 的 形式，我们不难找到它的一个特解
x(t ) P cos t m( 2 )
2
(1-22)
则微分方程(1-21)的通解为
·
图 2 弹簧-质量系统受力分析 a) 弹簧恢复力：弹簧的变形产生的弹性力 Fr kx(t ) ，弹簧恢复力与运动方向 相反。 b) 阻尼力：若采用粘性阻尼模型，则阻尼力为 Fd cx(t ) ，阻尼力与运动方向 相反。 c) 外力：外部作用在质量块上的力 Fe (t ) ，一般情况下为时间的函数，主要有 3
x(t )
0 P P sin t x0 cos t cos t cos t 2 2 2 m( ) m( 2 )
(1-24)
在式(1-24)中，前 3 项是振动频率为 的自由振动。其中前 2 项的系数决定于初 始条件， 通常称它们为决定于初始条件的自由振动。 第 3 项则不管初始条件如何， 都将伴随干扰力的作用而产生，故可称为伴生的自由振动。至于第 4 项，则完全 按照干扰力频率进行振动，故称为纯强迫振动。 1.2.2 有阻尼的强迫振动 单自由度系统考虑阻尼作用的运动方程为
(1-4)
方程(1-4)的解的形式为：
x(t )=A1 cos t A2 sin t
(1-5)
将初始条件 x(t )
t 0
x0 , x(t )
t 0
0 代入(1-5)中，可以得到
A1
0 , A x0 2
v0 sin t
(1-6)
则
x(t ) x0 cos t
将初始条件 x(t )
t 0
x0 , x(t )
x(t)
t 0
0 代入(1-13)中，可以得到
2 2 2 e(
2 2
( 2 2 ) x0 0
2 2 ) t
( 2 2 ) x0 0 2
2 2
(1-14)
) t
2) 当 时，为临界阻尼系统，微分方程(1-9)的通解为
x(t ) e t (c1 +c2t )
(1-15)
由初始条件 x(t )
t 0
x0 , x(t )
t 0
0 ，可得
(1-16)
x(t ) e t [ x0 + ( 0 x0 )t ]
(1-7)
1.1.2 有阻尼的自由振动 单自由度系统考虑阻尼作用的自由振动方程为
mx(t )+cx(t )+kx(t )=0
(1-8)
或写为
x(t )+2 x(t )+ 2 x(t )=0
(1-9)
其中
c 2m
(1-10)
称为阻尼特性系数。常微分方程(1-9)的特征方程为
s 2 +2 s+ 2 =0
不难发现，式(1-14)和式(1-16)所表示的运动都没有振动的特征。 3) 当 时，为低阻尼临界系统，这时特征方程的根为
s1,2 i
(1-17)
其中 2 2 微分方程(1-9)的通解为
x(t ) e t ( B1 sin t + B2 cos t )
mx(t ) cx(t ) kx(t ) Pcos t
(1-25)
可知上式的通解为
x(t ) e t ( B1 sin t B2 cos t ) A sin( t )
(1-26)
将初始条件代入上式，可得到
x(t ) e t (
0 x0 sin t x0 cos t ) sin cos Ae t (sin cos t sin t ) A sin( t )
(1-30)
对于方程(1-29)，利用动量定理可以将初始时刻的瞬时冲击载荷转化为初始 时刻的速度，方程(1-30)可转化为
mx(t ) cx(t ) kx(t ) 0 P( ) d x(0) 0, x(0) m
种类型：周期力，瞬变力，随机力。 根据牛顿第二定律，可以写出下式
mx(t ) cx(t ) kx(t )=Fe (t )
(1-1)
上式称为单自由系统的动力平衡方程。 根据施加在质量块上的外力 Fe (t ) 的类型不同，可以结构的振动分析分为模
态分析，瞬态动力学分析，简谐响应分析和随机谱分析。 外力的类型 无外力 (Fe 0) 瞬变力（能够使用函数表示） 简谐力 随机力（只能用统计的方式描述） 分析类型 模态分析 瞬态动力学分析 简谐响应分析 随机谱分析 振动类型 自由振动 任意载荷下的强迫振动 简谐载荷下的强迫振动
(1-27)
上式的第 1 项为决定于初始条件的自由振动，第 2 项表示伴生的自由振动。这 2 项皆因有阻尼的存在而逐渐衰减。第 3 项是纯强迫振动，其振幅与周期都不随时 间而变化，是稳定的周期运动。
1.3 任意载荷下的强迫振动
本节讨论单自由度系统在任意一般性载荷作用下的强迫振动问题。 在任意载荷下弹簧-阻尼系统的振动方程为
特征方程的根为
s1,2 2 2
(1-11)
(1-12)
1) 当 时，为超临界阻尼系统，微分方程(1-9)的通解为
x(t ) c1es1t c2es2t c1e(
2 2 ) t
c2e(
2 2 ) t
(1-13)
(1-18)
1.2 简谐载荷作用下的强迫振动
本节讨论系统受到简谐变化的干扰力作用下的强迫振动响应问题。 1.2.1 无阻尼强迫振动 在无阻尼的情况下，假定载荷 Fe (t ) 为如下的简谐形式
Fe (t )=Pcos t
(1-19)
因此无阻尼强迫振动方程为
mx(t ) kx(t ) Pcos t
一、单自由度系统的振动
考虑图 1 所示的单自由度系统的力学模型（弹簧-质量系统） ，它由刚体质量 块、弹簧和阻尼器组成，弹簧和阻尼器的质量与刚体质量块相比可以忽略，系统 的位移完全由刚体质量块的位移 x 确定。
图 1 单自由度系统（弹簧-质量系统） 以弹簧-质量系统为例，对单自由度系统进行受力分析。如图 2 所示，此时有 3 种力作用在质量块上：弹性恢复力，阻尼力和外力。
mx(t ) cx(t ) kx(t ) P(t ) x(0) x0 , x(0) v0
根据齐次化原理，可将方程(1-28)分解为
(1-28)
mx(t ) cx(t ) kx(t ) P(t ) x(0) 0, x(0) 0
和
(1-29)
mx(t ) cx(t ) kx(t ) 0 x(0) x0 , x(0) v0
1.1 自由振动
若系统不受外部的干扰作用， 仅由初始条件 （初位移和初速度） 引起的振动， 称为自由振动。 1.1.1 无阻尼的自由振动 当不t )=0
令
(1-2)
2
则方程(1-2)可以改写成为
k m
(1-3)
x(t )+ 2 x(t )=0
x(t ) A1 sin t A 2 cos t P cos t m( 2 )
2
(1-23)
由初始条件 x(t )
t 0
x0 , x(t )
t 0
0 ，可求得 A1
0 P ， , A2 x0 2 m( 2 )
则式(1-23)可写为
专题报告： 结构动力学学习总结
一、单自由度系统的振动 ........................................................................................... 3 1.1 自由振动 ......................................................................................................... 4 1.1.1 无阻尼的自由振动 ............................................................................. 4 1.1.2 有阻尼的自由振动 ............................................................................. 4 1.2 简谐载荷作用下的强迫振动 ......................................................................... 5 1.2.1 无阻尼强迫振动 ................................................................................. 6 1.2.2 有阻尼的强迫振动 .............................................................................. 6 1.3 任意载荷下的强迫振动 ................................................................................. 7 二、多自由度系统的振动 ........................................................................................... 9 2.1 多自由度系统的固有频率和主振型 ............................................................. 9 2.2 主振型的正交性 ........................................................................................... 10 2.3 模态分析法 .................................................................................................. 11 2.3.1 无阻尼强迫振动 ............................................................................... 12 2.3.2 有阻尼强迫振动 ............................................................................... 14 三、结构振动的有限元计算 ..................................................................................... 17 3.1 振动的基本方程 ........................................................................................... 17 3.2 虚功原理 ...................................................................................................... 18 3.3 结构振动的有限元分析列式 ...................................................................... 18
或写为
x(t ) 2 x(t ) P cos t m
(1-20)
(1-21)
方程(1-21)的通解可由齐次方程的通解和非齐次方程的特解叠加而得。由 Fe (t ) 的 形式，我们不难找到它的一个特解
x(t ) P cos t m( 2 )
2
(1-22)
则微分方程(1-21)的通解为
·
图 2 弹簧-质量系统受力分析 a) 弹簧恢复力：弹簧的变形产生的弹性力 Fr kx(t ) ，弹簧恢复力与运动方向 相反。 b) 阻尼力：若采用粘性阻尼模型，则阻尼力为 Fd cx(t ) ，阻尼力与运动方向 相反。 c) 外力：外部作用在质量块上的力 Fe (t ) ，一般情况下为时间的函数，主要有 3
x(t )
0 P P sin t x0 cos t cos t cos t 2 2 2 m( ) m( 2 )
(1-24)
在式(1-24)中，前 3 项是振动频率为 的自由振动。其中前 2 项的系数决定于初 始条件， 通常称它们为决定于初始条件的自由振动。 第 3 项则不管初始条件如何， 都将伴随干扰力的作用而产生，故可称为伴生的自由振动。至于第 4 项，则完全 按照干扰力频率进行振动，故称为纯强迫振动。 1.2.2 有阻尼的强迫振动 单自由度系统考虑阻尼作用的运动方程为
(1-4)
方程(1-4)的解的形式为：
x(t )=A1 cos t A2 sin t
(1-5)
将初始条件 x(t )
t 0
x0 , x(t )
t 0
0 代入(1-5)中，可以得到
A1
0 , A x0 2
v0 sin t
(1-6)
则
x(t ) x0 cos t
将初始条件 x(t )
t 0
x0 , x(t )
x(t)
t 0
0 代入(1-13)中，可以得到
2 2 2 e(
2 2
( 2 2 ) x0 0
2 2 ) t
( 2 2 ) x0 0 2
2 2
(1-14)