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（三）年金及年金的计算：

年金是指在一定期限内每隔相等的时间收到或支出相等的金额。如：零存整取、保费、贷款的偿还。

年金是本金的一种特殊表现：相同的时间、相等的金额。

1、普通年金：每期期末等额收付款项。

——终值：F=A ×（F ／A ，i,n ）,年金终值系数。

——现值：P=A ×（P ／A ，i,n ），年金现值系数。

2、预付年金：每期期初等额收付款项。

——终值：F=A ×{[F ／A ，i,（n+1）]-1}

——现值：P=A ×{[P ／A ，i,（n-1）]+1}

3、递延年金：在第一笔支出后，隔若干期间等额收付的款项。

——现值：P=A ×（P ／A ，i,n ）×（P ／F ，i,m ）

4、永续年金：没有期限的等额收付的款项。n=∞ ——现值：i A P =

练习：（1）某企业5年后需要偿还4万元债务，如果每年年末存款一次，年复利率10%。计算每年年末应存多少钱？

（2）张三现存入银行一笔钱，计划5年后每年末从银行提取现金4000元，连续取8年，年复利率6%，计算现存多少银钱？

（3）张三现存入银行现金50000元，目前利率5%，计算今后10年内每年年末可提取的现金数？

（4）企业准备购买设备用来更新旧设备，新设备的价格比旧的高15000元，但每年节约费用5000元，如果目前的利率10%，计算新设备至少用多少年对企业才有利？

解：（1）n=5年 F=40000 i=10% 求A=？

F=A ×（F ／A ，10%,5）年金终值 40000=A ×6.105 A=6552.01

(2)n=8 A=4000 i=6% m=5 求P? 递延

P=A ×(P/A,6%,8) ×(P/F,6%,5)=4000×6.210×0.747=24840×0.747=18555.48

(3)n=10 i=5% P=50000 求A?

P=A ×(P/A,5%,10) 50000=A ×7.722 A=6475.01

(4)i=10% P=15000 A=5000 求n?

P=A ×(P/A,i,n) 15000=5000×(P/A,i,n) (P/A,i,n)=3

采用内插法计算n

n 系数 i=10% 3 2.487 n x 1 3 0.513 0.683

683

.0513.01=x 75.0=x n=3+0.75=3.75(年) 4 3.170

二、货币时间价值的计算

（一）表现（时点）

终值：末来时间的本息之和（强调若干年后）。

现值：按一定的折现率（贴现率）将末来价值的本息和折合成为现有价值。

（二）计算的方法

两种方式的计算：

单利：本金计算利息，利息不再重复生息。

复利：本金和利息一起产生利息。

1、单利的计算

终值: )1()1()(n i P i P F n ⨯+⨯=+⨯=

现值: n

i F n i F P ⨯+⨯=⨯+=111)( 2、复利的计算

终值: ),,()1()(n

i p F P i P F n ⨯=+⨯= 现值:),,()

1(1)(n i F P F i F P n ⨯=+⨯= 例：5年后终值为100000，复利利率8%，求现值。

68100681.0100000%8111000005=⨯=+⨯=）

（P 例：某公司97年年初对A 项目投资15万元，该项目在99年初完工，99年年末至01年年末每年预期收益分别为25000元、32000元、50000元，如果目前银行利率为10%，求①计算99年年初投资额的终值。②计算99年年初各年预期收益的现值之和。③如果目前单利率为10%，重新计算①②问。

解：

99年年初投资的终值

181500

21.1150000%)101(150000)1(2=⨯=+⨯=+⨯=n i P F 99年初的收益现值

86707%)101(150000%)101(132000%)101(125000)1(1)(321=+⨯++⨯++⨯=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⨯∑=n i F P

（5）内部报酬率（IRR 法）

①含义：反映净现值为零时的预期投资报酬利率盈亏临界点（即保本点）。

②公式和计算程序

▲第一类，每年NCF 相等时，计算方法。

第一步，计算年金现值系数

0=NPV=NCF(P/F,i,n)-V 0

NCF(P/F,i,n)= V 0

(P/F,i,n)= V 0/NCF

年金现值系数=原始投资/每年NCF

第二步，采用“内插法”求预期报酬率，n 已知求i 。

▲ 第二类，每年NCF 不相等时，计算方法。

第一步，采用不同的利率估算不同的NPV ，是试算法。

第二步，当NPV 的计算结果出现“一正一负”停止计算。

第三步，采用内插法计算内部报酬率。

接上题，第4问

（4）通过IRR 内部报酬率法比较

甲方案：

NCF 每年相等，NCF=3200

（P/A,i,n ）= V 0/NCF=10000/3200=3.125

查表 3.125 n=5 i=18%

0.002/0.069=x/1% x=0.0289 R=18.028% 贴现率10%, R=18.0289%＞10%

乙方案：NCF 不等，采用试算法.

①用贴现率试算

∑NCF=（3800×0.909+3560×0.826…7840×0.621）

NPV=860.36

②提高利率R=12%（一般间隔2%）

NPV=（3800×0.893+3560×0.797+3320×0.712+3080×0.636+7840×0.567）-15000 =14998.72-15000=-1.28

★当NPV 计算结果为正值时，说明此时利率偏低，应提高利率试算；当NPV 计算结果为负数时，说明此时利率偏高，应降低利率试算。

③采用内插法，计算利率。

X/2%=860.36/861.64 X=1.997%

R=10%+1.997%=11.997%

IRR 甲＞IRR 乙，选择甲方案。

求（5）通过会计利润率比较决策。

（6）通过静态投资回收期进行决策。

（5）会计利润率为投资利润率（ARR ）

ARR=平均利润/原始投资×100% （相等） 差额 i 系数

18% 3.127 X R 1% 3.125 0.002 19% 3.058 0.069

利率 系数 10% 860.36 X R 1% 0 860.36 12% -1.28 861.64