2014年高考辽宁文科科数学试题及答案(word解析版)教学提纲

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年辽宁，文1，5分】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合U ()A B =U ð（ ）
（A ）{|0}x x ≥ （B ）{|1}x x ≤ （C ）{|01}x x ≤≤ （D ）{|01}x x << 【答案】D
【解析】{}10A B x x x =≥≤U 或，∴{}U ()01A B x x =<<U ð，故选D ．
【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法． （2）【2014年辽宁，文2，5分】设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ）
（A ）23i + （B ）23i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】A
【解析】由(2i)(2i)5z --=，得：()()()52i 52i 2i 2i 2i 2i z +-=
==+--+，∴23i z =+，故选A ． 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．
（3）【2014年辽宁，文3，5分】已知132a -=，21
log 3b =，121log 3
c =，则（ ）
（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>
【答案】D
【解析】∵1030221a -<=<=，221
log log 103b =<=，12221log log 3log 213c ==>=，∴c a b >>，故选D ．
【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样
的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．
（4）【2014年辽宁，文4，5分】已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） （A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥
（C ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （D ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B
【解析】A ：若//m α，//n α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；
B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；
C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；
D ．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错，故选B ．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅
速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．
（5）【2014年辽宁，文5，5分】设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0=g a b ，0=g b c ，则0=g a c ；命题q ：
若a b P ，b c P ，则a c P ，则下列命题中真命题是（ ）
（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∨⌝ 【答案】A
【解析】若0=g a b ，0=g b c ，则g g a b =b c ，即()0-=g a c b ，则0g a c =不一定成立，
故命题p 为假命题，若a b P ，b c P ，则a c P ，故命题q 为真命题，则p q ∨，为真命题，p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ∨⌝都为假命题，
故选A ．
【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假是解决本题的关
键．
（6）【2014年辽宁，文6，5分】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，
1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）
（A ）2π （B ）4π （C ）6π （D ）8
π
A
【答案】B
【解析】21
12()124
P A ππ
⋅==⨯，故选B ． 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础． （7）【2014年辽宁，文7，5分】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（A ）84π
-
（B ）82π
-
（C ）8π- （D ）82π-
【答案】C
【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个1
4
圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底
面半径为1，高为2，∴几何体的体积321
221284
V ππ=-⨯⨯⨯⨯=-，故选C ．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的
几何量是解题的关键．
（8）【2014年辽宁，文8，5分】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF
的斜率为（ ）
（A ）43- （B ）1- （C ）34- （D ）1
2
-
【答案】C
【解析】∵点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，∴22
p =，∴()2,0F ，∴直线AF 的斜率为33
224=---，
故选C ．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题． （9）【2014年辽宁，文9，5分】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}
12n a a 为递减数列，则（ ）
（A ）0d > （B ）0d < （C ）10a d > （D ）10a d < 【答案】D
【解析】∵等差数列{}n a 的公差为d ，∴1n n a a d +-=，又数列{}
12n
a a 为递减数列，∴11112212
n n a a a d a a +=<，∴10a d <，
故选D ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属
于中档题．
（10）【2014年辽宁，文10，5分】已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2
()121,(,)
2
x x f x x x π⎧
∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤
的解集为（ ）
（A ）1247[,][,]4334U （B ）3112[,][,]4343--U （C ）1347[,][,]3434U （D ）3113
[,][,]4334
--U
【答案】A
【解析】当10,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，由()12f x =，即1cos 2x π=，则3x ππ=，即13x =，当12x >时，由()12f x =，
得1212x -=，解得34x =，则当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解为13
34
x ≤≤，（如图）
则由()f x 为偶函数，∴当0x <时，不等式()12
f x ≤的解为31
43x -≤≤-，
即不等式()12f x ≤的解为1334
x ≤≤或3143x -≤≤-，则由31143x -≤-≤-或13
134x ≤-≤，
解得1243x ≤≤或4734x ≤≤，即不等式1(1)2f x -≤的解集为1243x ≤≤或47
34
x ≤≤，故选A ．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出0x ≥时，不等式()1
2
f x ≤
的解是解决本题的关键．
（11）【2014年辽宁，文11，5分】将函数3sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函
数（ ）
（A ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （B ）在区间7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增
（C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 （D ）在区间,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增
【答案】B
【解析】把函数3sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移2π个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：
3sin 223y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦．即23sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭．由2222232k x k πππππ-+≤-≤+， 得71212k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ．取0k =，得71212
x ππ≤≤． ∴所得图象对应的函数在区间7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，故选B ．
【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，
是中档题．
（12）【2014年辽宁，文12，5分】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
（A ）[5,3]-- （B ）9
[6,]8
-- （C ）[6,2]-- （D ）[4,3]--
【答案】C
【解析】当0x =时，不等式32430ax x x -++≥对任意a ∈R 恒成立；当01x <≤时，32430ax x x -++≥可化为
23143a x x x ≥--，令()23143
f x x x x
=--，则()()()234491189x x f x x x x x -+'=-++=-
（*），当01x <≤时，()0f x '>，()f x 在(]0,1上单调递增，()()max 16f x f ==-∴6a ≥-；当20x -≤<时，32430
ax x x -++≥可化为23143
a x x x
≤
--，由（*）式可知，当21x -≤≤-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当10x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，()()min 12f x f =-=-，∴2a ≤-；
综上所述，实数a 的取值范围是62a -≤≤-，即实数a 的取值范围是[6,2]--，故选C ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数
范围取交集；若按照参数讨论则取并集．
第II 卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）【2014年辽宁，文13，5分】执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = ． 【答案】20
【解析】由程序框图知：算法的功能是求()()()112123123T i =+++++++++++L L 的值， 当输入3n =时，跳出循环的i 值为4，∴输出1361020T =+++=．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
（14）【2014年辽宁，文14，5分】.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则目标函数34z x y =+的最大
值为 ．
【答案】18
【解析】由约束条件220
240330
x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
作出可行域如图，联立240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，
∴()2,3C ．化目标函数34z x y =+为直线方程的斜截式，得：344
z
y x =-+．
由图可知，当直线344
z
y x =-+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，即z 最大．
∴max 324318z =⨯+⨯=．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
（15）【2014年辽宁，文15，5分】已知椭圆C ：22
194
x y +=，点M 与C 的焦点不重合，
若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．
【答案】12
【解析】如图：MN 的中点为Q ，易得212QF NB =，11
2
QF AN =，∵Q 在椭圆C 上，
∴1226QF QF a +==，∴||||12AN BN +=．
【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，基本知识的考查． （16）【2014年辽宁，文16，5分】对于0c >，当非零实数,a b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大
时，124
a b c
++的最小值为 ．
【答案】1-
【解析】∵2
2
420a ab b c -+-=，∴2
2221342416c b a ab b a b ⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭，由柯西不等式得，
()
22222233223223242b b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥-++≥-+⋅=+ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎣⎦
，故当2a b +最大时， 有3
44223
b a b -
=
，∴12a b =，2c b =，∴22124224111142a b c b b b b ⎛⎫++=++=+- ⎪⎝⎭， 当2b =-时，取得最小值为1-．
【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）【2014年辽宁，文17，12分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r ，1cos 3
B =，
3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值．
解：（1）由2BA BC =u u u r u u u r g 得cos 2ac B ⋅=．又1
cos 3
B =，所以6ac =．由余弦定理得22a c +=22cos b ac B +⋅．
又因为3b =，所以22a c +=21
326133+⨯⨯=．解22
613ac a c =⎧⎨+=⎩得23a c =⎧⎨=⎩
或32a c =⎧⎨=⎩．因为a c >，32a c =⎧∴⎨=⎩． （2）在ABC ∆中，2sin 1cos B B =-21221()3=-=．由正弦定理得sin sin b c
B C
=
， 所以22
2sin 3sin 3
c B C b
⨯
==
42=．因为a c >，所以角C 为锐角．
2cos 1sin C C =-24271()99=-=．
cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+17224239=⨯+⨯23
27
=
． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理
是解本题的关键．
（18）【2014年辽宁，文18，12分】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生
60 20 80 北方学生
10 10 20 合计
70 30 100 （1”；
（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取
3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：21212
211222112
)(++++-=n n n n n n n n n χ，
解：（1）由题意，()
2
2
10060102010 4.762 3.84170308020
X ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯，
∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
（2）从这5名学生中随机抽取3人，共有35
10C =种情况，有2名喜欢甜品，有133C =种情况， ∴至多有1人喜欢甜品的概率7
10
．
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题． （19）【2014年辽宁，文19，12分】如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且AB BC =2BD ==，
o 120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点． （1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D ﹣BCG 的体积．
附：椎体的体积公式1
3
V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高．
解：（1）∵2AB BC BD ===．120ABC DBC ∠=∠=︒，∴ABC DBC ∆∆≌，∴AC DC =，
∵G 为AD 的中点，∴CG AD ⊥．同理BG AD ⊥，∵CG BG G =I ，∴AD ⊥平面BGC ， ∵//EF AD ，∴EF ⊥平面BCG ．
（2）在平面ABC 内，作AO CB ⊥，交CB 的延长线于O ，∵ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂
直，∴AO ⊥平面BCD ，∵G 为AD 的中点∴G 到平面BCD 的距离h 是AO 长度的一半．
在AOB ∆中，sin 603AO AB =︒=，1111
sin1203322
D BCG D BCD DCB V V S h BD BC --∆===⋅⋅⋅⋅︒=．
【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．
（20）【2014年辽宁，文20，12分】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个
三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）． （1）求点P 的坐标；
（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：3y x =+交于A 、B 两点，若PAB ∆ 的面积为2，求C 的标准方程．
解：（1）解法一：
设圆半径r ，P 点上下两段线段长分别为2,,4m n r =，由射影定理得：2r mn =，
三角形面积224224224
21111444()168168162222
s m n r m n r m n r r =++=+++≥++=++，
仅当2m n ==时，s 取最大值，这时(2,2)P ．
解法二：
2()P k χ≥
0.100
0.050 0.010 k
2.706
3.841 6.635
y
x
P O
设切点P 的坐标为()00,x y ，且00x >，00y >．则切线的斜率为00x y -
，故切线方程为()0000
x
y y x x y -=--， 即001x x y y +=．此时，切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形的面积0000
1448
2S x y x y =
⋅⋅=
⋅．
再根据220
04x y +=≥
00x y ==P
的坐标为．
（2）设椭圆方程22221x y a b +=，11(,)A x y ，22(,)B x y
．椭圆过点P 得：2222
1a b
+=，
则P
到直线y x =+
的距离d =．由题得：Δ1
22ABP S d AB =⋅⋅=
，解得AB =．
由弦长公式得()()()22
22121212123214243AB k x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-=+-=⎣⎦⎣⎦，即2121216()-43
x x x x +=．
把点P 代入方程得：22221a b +=
，由2
2221
y x x y a b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩
得2210x a +-=，
整理得2102x -=
，12x x ∴+=，212232b x x b
-=⋅，代入上式得2424831683b b b --⋅=，
即4263103
b b -+=，解得23b =，26a =，或26b =，2
3a =（舍），所以椭圆方程为：22163x y +=．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应
用，属于难题．
（21）【2014年辽宁，文21，12分】已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---
，2()(1x
g x x ππ
=--．证 明：
（1）存在唯一0(0,)2
x π
∈，使0()0f x =；
（2）存在唯一1(,)2x π
π∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<．
解：（1）2ππ()π(cos )2sin 2(0)π20,()4022f x x x x f f =---∴=--<=->Q ，()f x 在π
(0)2
，上有零点，
()π(1sin )2osx πsin (π2osx)0f x x c x c '=+-=+->Q ，()f x ∴在π
(0)2
，上单调递增．
（2）()(
21x g x x ππ=--Q ，,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，()()cos 211sin x x g x x x ππ-∴=-⋅+-+
cos π2π(π),(0,)1sin π2x x g x x x x -∴-=-+∈+，设cos π2()1sin πx x h x x x --=+
+，π
(0,)2
x ∈，则()g x 与()h x 的零点同．2
2cos sin (1sin )cos 2cos 2π(-cos )2(1sin )
()1sin (1sin )π1sin 1sin ππ(1sin )
x x x x x x x x x h x x x x x x x -++--+'=+-=+-=+++++
()π(1sin )f x x =
+，π(0,)2x ∈．由（1）知，()f x 在π
(0,)2上只有一个零点0x ，且在点0x 左负右正．
()h x ∴在0x 点左侧递减，在0x 点右侧递增，且(0)10h =>，π
()02
h =，
故0()0h x <，存在唯一20(0,)x x ∈，
使得()20h x =，即2(π)0g x -=，12πx x ∴=-，即1210πx x x x +=<+，01πx x ∴+>，
所以()g x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上存在唯一零点1x ，且01πx x +>．
【点评】本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个
题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
（22）【2014年辽宁，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，EP 交圆于E 、C 两
点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦
AB 垂直EP ，垂足为F ．
（1）求证：AB 为圆的直径；
（2）若AC BD =，求证：AB ED =．
解：（1）PD PG PDG PGD PD =∴∠=∠Q Q 为圆的切线，PDA DBA ∴∠=∠
又PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠Q ， 9090BDA PFA AF EP PFA BDA AB ∴∠=∠⊥∴∠=︒∴∠=︒∴Q 为直径．
（2）连接,BC DC 90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒Q 是直径，在Rt BDA Rt ACB ∆∆与中， ,AB BA AC BD ==，Rt BDA Rt ACB ∆≅∆，DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠Q
//DAB CBA DC AB ∴∠=∠∴,90AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠=︒Q ED ∴为直径， 由（1）AB ED =．
【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题． （23）【2014年辽宁，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不
变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ． （1）写出C 的参数方程；
（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，
求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．
解：（1）设11(,)x y 为圆221x y +=上任意一点，按题中要求变换后的点(,)x y ．根据题意得1
1
2x x y y =⎧⎨=⎩，
所以112
x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩．由2211
1x y +=得2
2
14y x +=．故C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）由2244220
x y x y ⎧+=⎨+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩．不妨设1(1,0)P ，2(0,2)P
，则线段中点坐标1
(,1)2． 所求直线的斜率为12
k =，于是所求直线方程为11
1()22y x -=-，即2430x y -+=．
化为极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ-+=，即3
4sin 2cos ρθθ
=-．
【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题． （24）【2014年辽宁，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，
记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． （1）求M ；
（2）当x M N ∈I 时，证明：221
()[()]4
x f x x f x +≤．
解：（1）()2|1|1f x x x =-+-33,[1,)1,(,1)
x x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩．当1x ≥时，()331f x x =-≤，解得4
13x ≤≤；
当1x <时，()11f x x =-≤，解得01x ≤<．所以()1f x ≤的解集为4
{|0}3
M x x =≤≤．
（2）2()16814g x x x =-+≤，解得13{|}44N x x =-≤≤．M N =I 3
{|0}4
x x ≤≤．
当x M N ∈I 时，()1f x x =-． 22()[()]x f x x f x +=22(1)(1)x x x x -+-2x x =-211()42x =--，3{|0}4x x x ∈≤≤．221
()[()]4
x f x x f x ∴+≤．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．。