数学模型5方人口问题

题：现有5方人口，分别为5117,4400,1162,161,160，试用GR

和QM 的方法分配100个席位。

解： 一： 最大剩余法（GR ）

设第i 方人数为p i ，已占有n i 个席位（其中n i 为第i 方人数与总人数的比再乘上总席位数，然后通过取整函数取整所得），(i=1,2,3,4,5) 题意得:p 1=5117,n 1=46;p 2=4400,n 2=40;p 3=1162,n 3=10;p 4=161,n 4=1;

p

5

=160,n 5=1.

现在5方人已经分得100个席位中的98个，还有2个未分配。

据Q 值法公式Q i

=)

1(2

+n n p i

i i .

第99席: Q 1=47

4651172⨯ =12110.8，Q 2=41

4044002

⨯= 11804.8，Q 3=

11

101162

2

⨯=12274.9，Q 4=2

11612

⨯=12960.5，Q 5=2

11602

⨯=12800.

因为Q 4最大, 所以将第99席分给第4方.

第100席: 第4方增加一席之后Q 4=3

21612

⨯=4320, Q 1,Q 2,Q 3,Q 5

同上,这时Q 5最大,所以将第100席分给第5方.

最后席位的分配如下表：

即最后的席位分配为:第1方46个席位,第2方40个席位,第3方10个席位,第4方2个席位,第5方2个席位.

二：份额法（QM ）

份额法即满足定义：第i 方分配第s+1个席位合格是指 =

（s+1）(即不违反份额上线)的前提下，当s 每增加一个席位时，

据公式

= 来分配新增加的一个席位，而且将新增加的一个席

位分给值大的那个.

设第i 方人数为p i ，已占有n i 个席位（其中n i 为第i 方人数与总人数的比再乘上总席位数，然后通过取整函数取整所得），(i=1,2,3,4,5) 题意得:p 1

=5117,n 1

=46;p

2

=4400,n 2=40;

p

3

=1162,n 3=10;

p

4

=161,

n

4

=1;

p

5

=160,n 5=1.

第99席： 因为n 2=40〉99⨯110004400

=（s+1）

P

p

2

,也就是说第99席如果

分给第2方，此时的分配是不合格的.

现在只考虑第1，3，4，5方.因为E 1=2558.5，E 3=581，E 4=80.5，

E

5

=80, 此时E

1

最大，因为n 1=46〉110005117

⨯100=46.51，即分配给第1方是不合格的，故排除.此时E 3最大，n 3=10〉110001162

⨯100=10.56所以

也排除，此时E 4最大，n 4

=1<11000161

⨯100=1.46将第99席分给第4方.

第100席：因为n 2=40=100⨯110004400

=40，

所以将第100个席位分给第2方. 所以最后的分配如下表

n i

〈q

i

P

p

i

E

i

1+n

p i

i

E i

三：五种除数法.

现在有5方人，共分配100个席位.记第i 方人数为p i ，且记 p =(p 1,

p 2

,p 3

,p 4

,p 5

),P = ∑=5

1

i i

p .席位的分配是寻求

n =(n 1,n 2,n 3,n 4,n 5),

其中n i 是第i 方分得的席位，满足 ∑=5

1

i i n =N ，且均为非负整数。

首先计算第i 方的精确的席位份额，记为q i ，显然q i =N

P

p

i

，i=1，2，

3，4，5.若q i 为整数，令n i =q i 即可完成分配，否则，记 []

q i 为q i 的整数部分，先将 []q i 分给第i 方，然后将尚未分配的 r=[]

∑=5

1

i i q 个

席位在作分配.

五种除数法都是据公式 )

(n p

i

i d 来作为不公平指标来分配剩余的

r 个席位，每增加一个席位就分配给 )

(n p

i

i d 值大的，增加第二个席位

时，分配到席位的 )(n p i

i

d 值改变，而其它方 )

(n p

i

i

d 值不变，据此分

配增加的第二个席位，再增加席位方法一样.最后通过利用五种除数法得出各组分配的席位数，如下表：

p

i q

i

GD MF EP HM SD

1 5117 46.5 47 46 46 46 46

2 4400 40 40 40 40 40 40

3 1162 10.5 11 10 10 10 10

4 161 1.

5 1 2 2 2 2

5 160 1.5 1 2 2 2 2

总和 11000 100 100 100 100 100 100