对数函数

答案:(1)-2 (2)
10
考点二 对数函数的图象及应用 【例 2】 (1)(2015 大连月考)已知 lg a+lg b=0(a>0 且 a≠1,b>0 且
b≠1),则函数 f(x)=a 与 g(x)=-logbx 的图象可能是(
x
)
(2)设方程 10 =|lg(-x)|的两个根分别为 x1,x2,则( (A)x1x2<0 (B)x1x2=0 (C)x1x2>1 (D)0<x1x2<1
(提示:图中直线 y=1 与各图象交点的横坐标即为它们各自底数 的值,即 0<a<b<1<c<d) 3.指数函数与对数函数的关系 x 指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)
互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.
基础自测
2 1.lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2) 等于( B
y=logax
(a>0,a≠1)叫做对数函数 0<a<1
图象
定义域 值域 性质 过定点
(0,+∞)
R
(1,0)
,即 x= 1 时,y= 0 在(0,+∞)上是 减 函数 在(0,+∞)上是 增 函数
质疑探究:如图是对数函数①y=logax;②y=logbx;③y=logcx;④ y=logdx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系是什么.
a , 3
.
a 因此,函数 y= log 1 (3x-a)的定义域为( ,+≦), 3 2
所以
a 2 = , 3 3
所以 a=2.
答案:2
考点突破
考点一 对数的基本运算
【例 1】 (1) (A)1
剖典例
找规律

3 2

2 log

3 2

5
等于(
1 (D) 5
)
1 (B) 2
1 (C) 4
(2)
1 x 的定义域为(-1,1),而函数 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域亦为(-1,1), 1 x
故③正确.当 a>1 时④中不等式成立,而 0<a<1 时不成立.④错误.故选 B.
2 5.函数 y= log 1 (3x-a)的定义域是( ,+∞),则 a= 3 2
解析:由 3x-a>0 得 x>
y 轴对称,故①正确.因函数 y=x+ 以函数 y=|x|+
1 在(0,1)上单调递减,在(1,+≦)上单调递增,所 x
1 在(-≦,-1)和(0,1)上单调递减,在(-1,0)和(1,+≦)上单调递增, x
从而函数 f(x)在区间(-1,0)和(1,+≦)上是增函数,在区间(-≦,-1)和(0,1)上是
1 2
x
此时 10 x < 10 x ,即 lg(-x1)<-lg(-x2),
1 2
由此得 lg(x1x2)<0, 所以 0<x1x2<1, 故选 D.
反思归纳
在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函
数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不
符合要求的选项.在研究方程的根时,可把方程的根看作两个函数
8 解之得 1<a< . 3
若 0<a<1 时,f(x)在 x∈[1,2]上是增函数, 由 f(x)>1 恒成立,则 f(x)min=loga(8-a)>1, 且 8-2a>0,所以 a>4,且 a<4,故不存在.
①其图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是 lg 2; ④f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数. 其中所有正确结论的序号是 .
解析:(1)作出 y=|logax|(0<a<1)的大致图象如图, 令|logax|=1,得 x=a 或 x= 又 1-a-(
图象交点的横坐标,通过研究两个函数图象得出方程根的关系.
【即时训练】 (1)函数f(x)=ln|x-1|的图象大致是(
)
(2)已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所 示,则 a、b 满足的关系是( (A)0<a <b<1 -1 (B)0<b <a <1 (C)0<b-1<a<1 -1 -1 (D)0<a <b <1
b
3 答案:(1)D (2)2
2a (3) ab
反思归纳
对数运算的依据是对数恒等式、对数的运
算性质、对数的换底公式,要善于根据题目的特点选用合
适的计算公式.
【即时训练】 (1)
1 2 +log = log 5 4log 5 4 2 2 2 5
a b
. .
1 1 (2)(2014 保定模拟)设 2 =5 =m,且 + =2,则 m= a b
【即时训练】 (1)(2014 石家庄模拟)若 x∈(e-1,1),a=ln x,
1 b= 2
ln x
,c=e
ln x
,则 a,b,c 的大小关系为(
)
(A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>b>c (D)b>a>c (2)(2014 中山模拟)已知函数 f(x)=loga(8-ax)(a>0,a≠1),若 f(x)>1 在区间[1,2]上恒成立,则实数 a 的取值范围为 .
1 1 a -1)=1-aa a 1 , a
1 a a 1 = <0, a
故 1-a<
1 -1, a
1 2 所以 n-m 的最小值为 1-a= ,a= .故选 C. 3 3
(2)因为函数 f(-x)=lg
x 1 =lg x
2
2
x
1 =f(x),所以函数为偶函数,即图象关于 x
x
编写意图 对数函数是一种十分重要的基本初等函数,其图象与性 质也是高考重点考查的内容,将指数函数、对数函数及幂函数综合
起来一起命题,一直是高考的一大亮点,颇受命题者的青睐.本节重
点突出对数函数概念的理解、对数函数图象与性质的简单应用、对 数函数图象与性质的综合应用(如比较对数值的大小、解简单的对
数不等式、确定参数的取值或取值范围)、分类讨论思想、转化与
化归思想及数形结合思想的应用.多维审题栏目突破了与不等式有 关的综合问题的求解方法,充分体现了方程思想的灵活应用.
夯基固本
考点突破 多维审题
夯基固本
知识梳理
1.对数 见数函数的概念、图象与性质
概念 底数 函数 a>1
4.给出下列命题: 2 ①logax =2logax ②函数 y=log2(x+1)是对数函数 ③函数 y=ln
1 x 与 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同 1 x
④若 logam<logan,则 m<n. 其中正确的命题有( B ) (A)①③ (B)③ (C)②③ (D)④
解析:由 logax2=2loga|x|知①错误,②中函数不符合对数函数定义,故错误.函数 y=ln
3 1 lg 3 lg 3 2lg 2 1 3 2 = =- . 2 lg 3 1 lg 3 2lg 2 1
(3)≧14 =5, ≨log145=b, 又 log147=a,
14 2 log14 log14 28 2a 7 ≨log3528= = = . log14 35 log14 5 log14 7 a b
x
)
解析:(1)因为 lg a+lg b=0,所以 lg ab=0,所以 ab=1,
1 即 b= , a
故 g(x)=-logbx=- log 1 x=logax,
a
则 f(x)与 g(x)互为反函数,其图象关于直线 y=x 对称,结合图象 知 B 正确.故选 B.
(2)作出 y=10 ,与 y=|lg(-x)|的大致图象,如图. 显然 x1<0,x2<0.不妨设 x1<x2, 则 x1<-1<x2<0, 所以 10 x =lg(-x1), 10 x =-lg(-x2),
1 x2 1 减函数,故②错,④正确.③因为 =|x|+ ≥2 x x
即最小值为 lg 2,故③正确.
x
1 =2,所以 f(x)≥lg 2, x
答案: (1)C
(2)①③④
反思归纳 优先原则.
应用对数函数性质解决相关问题时一定要注意定义域
(1)利用对数性质比较大小的解题策略 ①能化为同底数的对数值可直接利用其单调性进行判断 . ②既不同底数,又不同真数的对数值,先引入中间量(如-1,0, 1等), 再利用对数函数的性质进行比较. ③底数不同,真数相同的对数值,可利用函数图象或比较其倒数大小 来进行. (2)解简单的对数不等式的解题策略 先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单 调性转化为一般不等式求解.
lg3
2
lg9 1 lg 27 lg8 lg 1000 lg 0.3 lg1.2

=
.
.
(3)若 log147=a,14b=5,则用 a,b 表示 log3528=
解析:(1)原式=

3 2

log

3 2

5
=

3 2

log

3 2

1 5
1 = . 5
3 2 3 lg3 2lg3 1 lg3 3lg 2 2 2 (2)原式= lg3 1 lg3 2lg 2 1
第5节
对数函数
最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性 质,知道用换底公式将一般对数 转化成自然对数或常用对数;了 解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念及其单 调性,掌握对数函数图象通过的
特殊点,会画底数为 2,10, 图象.
1 的对数函数的 2
3.体会对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)与对数 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反函数.
-1 -1
x
考点三 对数函数的性质及应用
【例 3】 (1)设函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),
1 值域为[0,1],若 n-m 的最小值为 ,则实数 a 的值为( 3
)
(A)
1 4
(B)
1 2 或 4 3
2 (C) 3
2 3 (D) 或 3 4
x2 1 (2)(2014 衡水模拟)关于函数 f(x)=lg (x≠0),有下列结论: x
)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:原式=2lg 5+lg 2·(1+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 5+lg 2(1+lg 5+lg 2) =2lg 5+2lg 2 =2.
2.若函数 y=f(x)是函数 y=2x 的反函数,则 f(2)的值是 ( C ) (A)4 (B)2 (C)1 (D)0
1 解析:(1)依题意得 a=ln x∈(-1,0),b= 2
ln x
∈(1,2),c=x∈(e-1,1),
因此 b>c>a.故选 B. (2)当 a>1 时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,
由 f(x)>1,x∈[1,2]恒成立,则 f(x)min=loga(8-2a)>1,
-1
)
解析:(1)当 x>1 时,f(x)=ln(x-1), 又 f(x)的图象关于 x=1 对称, 故选 B.
(2)令 g(x)=2 +b-1,这是一个增函数, 而由图象可知函数 y=logag(x)是单调递增的, 所以必有 a>1. 又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵坐标介于-1 和 0 之间, 即-1<f(0)<0,所以-1<logab<0, 故 a <b<1,因此 0<a <b<1.故选 A.
解析:由题意得 f(x)=log2x,所以 f(2)=1.
3.在同一坐标系内,函数 y=x+a 与 y=logax 的图象可能是( C
)
解析:选项 A 图中,由 y=x+a 的图象可知 a>1,由 y=logax 的图象可知 0<a<1,故 矛盾; 选项 B 图中,由 y=x+a 的图象可知 0<a<1,由 y=logax 的图象可知 a>1,故矛盾; 选项 C 图中,由 y=x+a 的图象可知 0<a<1,由 y=logax 的图象可知 0<a<1,故正确; 选项 D 图中,由 y=x+a 的图象可知 a<0,由 y=logax 的图象可知 a>1,故矛盾.应 选 C.
解析:(1)原式=|log25-2|+log25-1=log25-2-log25=-2.
(2) 因为 2a=5b=m,所以 a=log2m,b=log5m,
1 1 1 1 所以 + = + =logm2+logm5=logm10=2, a b log 2 m log 5 m
所以 m2=10,m= 10 .