四川省成都七中2021届高三数学上学期入学考试试题文【含答案】

3
，
b
1 3
3
，
c
1 3
3
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（
）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． b c a
7．若 ， 为锐角，且满足 cos 4 ， cos 5 ，则 sin 的值为（ ）
5
13
A． 16 65
33
B．
65
56
C．
65
63
D．
在第一象限交点为 P ，且离心率之积为 1．若 sin F1PF2 2 sin PF1F2 ，则该双曲线的离心率为
________． 三、解答题（共 70 分，22 与 23 题二选一，各 10 分，其余大题均为 12 分）
17．（本题 12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn ，且 a 1 ， an1 2Sn 1 ，数列bn满足 a1 b1 ，点 P bn , bn1 在直线 x y 2 0 上， n N* ． （Ⅰ）求数列 an ， bn 的通项公式；
6
ln xi ln yi
i 1
6
ln xi
i 1
6
ln yi
i 1
6
ln xi 2
i 1
75.3
24.6
18.3
101.4
根据所给统计量，求 y 关于 x 的回归方程．
附：对于样本 vi ,ui i 1, 2,, 6，其回归直线 u b v a 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
n
b i1
vi v ui u
n
2
vi v
n
i 1 n
viui vi2
nvu nv2
，
a
u
b v
，
e
2.7183
．
i 1
i 1
20．（本题 12 分）设函数 f x ax2 4a 1x 4a 3 ex ．
（1）若曲线 y f x在点 1, f 1处的切线与 x 轴平行，求 a ；
又平面 PDC 底面 ABCDPDC ，
∴ PQ 底面 ABCD ，且 PQ 3 ，
由（Ⅰ）知 BD 平面 PDC ，又 PD 平面 PDC ，∴ BD PD ．
∴ VA PBD
VP ABD ，即
1 3
1 2
3 2 h 1 1 1 32
四川省成都七中 2021 届高三数学上学期入学考试试题 文
考试时间：120 分钟 总分：150 分 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题 卷上．）
1．已知集合 A x, y y 2x 1 ， B x, y y x2 ，则 A B （ ）
又 a2 2S1 1 3，所以 a2 3a1 ．
故 an 是首项为 1，公比为 3 的等比数列．所以 an 3n1 ．
由点 P bn , bn1 在直线 x y 2 0 上，所以 bn1 bn 2 ．
则数列bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列．则 bn 1 n 1 2 2n 1．
6-10：BBABA 11-12：AB
13． 10
14． 1
15．1 或 3
5 1
16．
2
17．【答案】（Ⅰ） an 3n1bn 2n 1
（Ⅱ） Tn
3
n 1 3n1
【解析】（1）由 an1 2Sn 1 可得 an 2Sn1 1n 2，两式相减
得 an1 an 2an , an1 3an n 2 ．
倍，则线段 AF 的长度为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．一组数据的平均数是 4.8，方差是 3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上 60，得到一组新数据，则
所得新数据的平均数和方差分别是（ ）
A．55.2，3.6
B．55.2，56.4
C．64.8，63.6
D．64.8，3.6
2
2
1
6．设
a
2 3
3
3．
解得 h
3
．
2
19．【答案】（1） 1 ；（2） y ex0.5 ． 5
【解析】由已知，优等品的质量与尺寸的比 y 0.302, 0.388
x 则随机抽取的 6 件合格产品中，有 3 件为优等品，记为 a ， b ， c ，
有 3 件为非优等品，记为 d ， e ， f ，
现从抽取的 6 件合格产品中再任选 2 件，基本事件为：
i N* ），从左至右第 i 行第 j 个数记为 ai, j （ i ， j N* 且 j i ），则 a21,20 （ ）．
A． 3 2211
B． 3 2212
C． 3 2230
D． 3 2231
11．已知函数
f
x sin x ，其中
0 ，0
，
f
x
f
4
恒成立，且
f
x 在区间
相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．
（22 题与 23 题为选做题，二选一）
22．（本题
10
分）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
t
1 t
（ t 为参数）．
y
t2
1 t2
4
（1）求曲线 C 的普通方程；
（2）以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ， R ，直线
（Ⅱ）设 cn
bn an
，求数列cn的前 n
项和 Tn
．
18．（本题 12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中，平面 PDC 底面 ABCD ，△PDC 是等边三角形，底面
ABCD 为梯形，且 DAB 60 ， AB CD ， DC AD 2AB 2 ．
（Ⅰ）证明： BD PC ； （Ⅱ）求 A 到平面 PBD 的距离．
1 2
B． , 4
C． ,5
）
D． , 6
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上．）
13．在空间直角坐标系 O xyz 中，记点 A1, 2,3在 xOz 平面内的正投影为点 B ，则 OB ________．
x 2
14．已知
x
，
y
满足
y
x
，则 z 2x y 的最大值为________．
0,
4
上恰有两个零点，则
的取值范围是（
）
A． 6,10
B． 6,8
C． 8,10
D． 6,12
12．己知函数
f
x
1
2 ln x2
x
的定义域为
0,
1 e
，若对任意的
x1 ，
x2
0,
1 e
，
f
x1
x1
f x2
x2
m x1 x2
x12 x22
恒成立，则实数 m
的取值范围为（
A． ,3
x y 2
15．在△ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，且 cos B b ，若 b 13 ， cos C 2a c
a c 4 ，则 a 的值为________．
16．已知椭圆 :
x2 a2
y2 b2
1 与双曲线 :
x2 m2
y2 n2
1 共焦点， F1 、 F2 分别为左、右焦点，曲线 与
38 48 58 68 78 88
质量 y g
16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
y
质量与尺寸的比
x
0.44 0.39 0.35 0.32 0.30 0.29
2
2
7
9
8
0
（1）现从抽取的 6 件合格产品中再任选 2 件，求选中的 2 件均为优等品的概率；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
若
a
1 2
，则当
x
1 a
,
2
时，
f
x
0 ；当
x 2, 时，
f
x
0．
所以 f x 0 在 x 2 处取得极小值．
若 a 1 ，则当 x 0, 2时， x 2 0 ， ax 1 1 x 1 0 ，所以 f x 0 ．
2
2
所以 2 不是 f x的极小值点．
综上可知，
a
的取值范围是
19．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 y g 与尺寸 x mm之间近似满
足关系式 y c xb （ b ， c 为大于 0 的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间
（0.302，0.388）内时为优等品．现随机抽取 6 件合格产品，测得数据如下：
尺寸 x mm
1，
6
由 a ln c 得 c e ，
所以 y 关于 x 的回归方程为 y ex0.5 ．
20．【答案】（1）
a
的值为
1；（2）
a
的取值范围是
1 2
,
．
【解析】（1）因为 f x ax2 4a 1x 4a 3 ex ，
所以 f x 2ax 4a 1 ex ax2 4a 1x 4a 3 ex x R
（Ⅱ）因为 cn
bn an
2n 1 3n1 ，所以 Tn
1 30
3 31
5 32
2n 1
．
3n1
则
1 3 Tn
1 31
3 32
5 33
2n 1 3n
，
两式相减得：
2 3 Tn
1
2 3
2 32
2 3n1
2n 1 3n
1
2
1 3
1
1 3
n1
1 1
2n 1 3n
2
1 n1 3
2n 1 3n
3
∴ Tn
3
1 2 3n2
2n 1 2 3n1
3
n 1 3n1
18．【答案】（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ） h
3
．
2
【解析】（Ⅰ）由余弦定理得 BD 12 22 2 1 2 cos 60 3 ， ∴ BD2 AB2 AD2 ，∴ ABD 90 ， BD AB ，∵ AB DC ，∴ BD DC ．
65
8．要做一个圆锥形漏斗，其母线为 20，要使其体积最大，则其高为（ ）
20 3
A．
3
B．100
C．20
9．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）
20
D．
3
A．1 2
B． 2 2
C．1
D． 2
10．已知数列 an 满足 an 3 2n1 ， n N* ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第 i 行有 i 个数，
（2）若 f x在 x 2 处取得极小值，求 a 的取值范围．
21．（本题
12
分）如图，设椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 D 在椭圆上，
DF1
F1F2 ，
F1F2 DF1
2
2 ， △DF1F2 的面积为
2
．
2
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线
又平面 PDC 底面 ABCD ，平面 PDC 底面 ABCD DC ， BD 底面 ABCD ，
∴ BD 平面 PDC ， 又 PC 平面 PDC ，∴ BD PC ． （Ⅱ）设 A 到平面 PBD 的距离为 h ． 取 DC 中点 Q ，连结 PQ ，∵△PDC 是等边三角形，∴ PQ DC ．
ax2 2a 1x 2 ex ．
f 1 1 ae ．
由题设知 f 1 0 ，即 1 ae 0 ，解得 a 1．此时 f 1 3e 0 ．
所以 a 的值为 1．
注：没验证 f 1 3e 0 要酌情扣分
（2）由（1）得 f x ax2 2a 1x 2 ex ax 1x 2ex ．
A．
B．1
C．1,1
D．1, 1
1 3i
2．复数 z
的模是（ ）
1 i
A．1
B． 2
C．2
D． 6
3．已知命题
p
: x , 0， 2x
3x
；命题
q
:
x
0,
2
， sin
x
x
，则下列命题为真命题的是（
）
A． p q
B． p q
C． p q
D． p q
4．抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，点 A 在抛物线上，且点 A 到直线 x 3 的距离是线段 AF 长度的 2
a,b， a, c， a, d ， a, e， a, f ， b,c， b, d ， b,e， b, f ， c, d ， c,e， c, f ，
d,e， d, f ， e, f ，
选中的两件均为优等品的事件为 a,b， a, c， b, c，
所求概率为 3 1 ． 15 5
（Ⅱ）对 y c xb 两边取自然对数得 ln y ln c b ln x
令 vi ln xi ， ui ln yi ，则 u b v a ，且 a ln c
由所给统计量及最小二乘估计公式有：
n
b
v1ui nuv
i 1
n
vi2
2
nv
75.3 24.618.3 6 101.4 24.62 6
0.27 0.54
1 2
i 1
a
u
bv
18.3
1 2
24.6
6 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，求线段 AB 的长度 AB ．
23．（本题 10 分）已知函数 f x x 1 x 1 ， M 为不等式 f x 2 的解集．
4
4
（1）求 M ；
（2）证明：当 a ， b M 时， 2 1 ab a b ．
1-5：CBCBD
成都七中 2020-2021 学年度上期 2021 届高三入学考试 数学试卷（理科）答案