数学人教A版必修3课件：3.3.1 几何概型1

所以任取一点 x0∈[－1,3]，使得 f(x0)≥0 的概率 P＝3－(2－1)＝12.
【答案】
1 2
5．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边长作一个正 方形，求作出的正方形面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率．
解 如图所示，点 M 落在线段 AB 上的任一点上 是等可能的，并且这样的点有无限多个．
图 3-3-2
A.13
B.23
1
1
C.4
D.8
【解析】 从题图中可以得到地板砖总数为 12，其中黑色地板砖有 4 个， 由此可知最后停留在黑wk.baidu.com地板砖上的概率是142＝13.
【答案】 A
3．在半径为 1 的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是( )
1
2
A.π
B.π
2
3
C. π
D.π
【解析】 点落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只
解 (1)在区间[－2,2]上任取两个整数 x，y 组成有序数对 (x，y)，共计 25 个，其中满足 x2＋y2≤4 的在圆上或圆内共计 13 个(如图所示)，∴P＝1235.
(2)在区间[－2,2]上任取两个实数 x，y 组成有序数对(x，y)， 充满的区域是边长为 4 的正方形区域，其中满足 x2＋y2≤4 的是 图中阴影区域(如图所示)，S 阴＝π×22＝4π，∴P＝146π＝π4.
【答案】
2 3
教材整理 2 均匀分布 阅读教材，完成下列问题． 当 X 为区间[a，b]上的任意实数，并且是_等__可__能__的，我们称 X 服从[a，b] 上的均匀分布，X 为[a，b]上的均匀_随__机__数__.
随手练
X 服从[3,40]上的均匀分布，则 X 的值不能等于( )
A．15
B．25
[探究共研型] 探究点 几何概型与古典概型的异同
探究 1 古典概型和几何概型有何异同点？ 【提示】 相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性 都是相等的． 不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何 概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般 都与几何知识有关．
【答案】 B
当堂检测 1．转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是( )
【解析】 D 中红色区域面积是圆面积的一半，其面积比 A、B、C 中要大， 故指针指到的概率最大．
【答案】 D
2．一只蚂蚁在如图 3-3-2 所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬 来爬去，它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是( )
()
【解析】 A 中奖概率为38，B 中奖概率为14，C 中奖概率为13，D 中奖概率 为13，故选 A.
【答案】 A
3．在区间[－1,2]上随机取一个数 x，则|x|≤1 的概率为________．
【解析】 ∵区间[－1,2]的长度为 3，由|x|≤1 得 x∈[－1,1]，而区间[－1,1]
的长度为 2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数 x，|x|≤1 的概率 P＝23.
古典概型与几何概型的不同之处是古典概型的基本事件总数 是有限的，而几何概型的基本事件总数是无限的，解题时要仔细 审题，注意区分.
[再练一题]
4．下列概率模型中，几何概型的个数为( )
①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到 1 的概率；
②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的概率；
概率的计算公式为： P(A)＝试验的构全成部事结件果A的构体成积的体积 2.解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注
意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.
[再练一题] 3．本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点 A 的距离小于13的概率． 解 到 A 点的距离小于13的点，在以 A 为球心，半径为13的球内部，而点又 必须在已知正方体内， 则满足题意的 A 点的区域体积为43π×133×18. 所以 P＝43π×31333×18＝2×π37.
③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于 1 而小于 2 的数的概率；
④向一个边长为 4 cm 的正方形内投一点，求点离中心不超过 1 cm 的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 ①中的概率模型不是几何概型，虽然区间[－10,10]上有无数个数， 但取到“1”只是一个数字，不能构成区间长度；②中的概率模型是几何概型，因 为区间[－10,10]和区间[－1,1]上都有无数个数，且在这两个区间上的每个数被取 到的可能性相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只 有 21 个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为 4 cm 的正方形 和半径为 1 cm 的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可 能性相同．
【精彩点拨】 利用体积之比求概率． 解 依题意，在棱长为 3 的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均
大于 1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为 1 的小正方 体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：
P＝1333＝217.
与体积有关的几何概型问题的解决： 1.如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其
不是红灯亮的时间 (3)P＝ 全部时间 ＝黄灯亮或全绿部灯时亮间的时间＝4755＝35， 或 P＝1－P(红灯亮)＝1－25＝35.
类型 2 与面积有关的几何概型
例 2 设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是 4 3 cm， 现用直径等于 2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概 率．
(2)在区间[－2,2]上任取两个实数 x，y 组成有序数对(x，y)，求满足 x2＋y2≤4 的概率．
【精彩点拨】 (1)在区间[－2,2]上任取两个整数 x，y，组成有序数对(x，y) 是有限的，应用古典概型求解；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数 x，y，组成有 序数对(x，y)是无限的，应用几何概型求解．
【解析】 由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为 1 的半圆面积， 即阴影部分面积为π2，又易知直角三角形的面积为 2，所以区域 M 的面积为 2－π2. 故所求概率为2－2 π2＝1－4π.
【答案】 1－π4
类型 3 与体积有关的几何概型
例 3 一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始 终保持与正方体 6 个面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞 行”的概率．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_无__限__多__个__.
(2)每个基本事件出现的可能性_相__等__.
3．几何概型的概率公式 构成事件A的区域长度面积或体积
P(A)＝_试__验__的__全__部__结__果__所__构__成__的__区__域__长__度___面__积__或__体__积___.
3
P(A)＝
4 (2 3
4 (4
33))22＝14.
几何概型的特点是基本事件有无限多个，但应用数形结合的 方法即可巧妙解决，即要构造出随机事件对应的几何图形，利用 图形的几何量度来求随机事件的概率.
[再练一题] 2．如图，一个等腰直角三角形的直角边长为 2，分别以三个顶点为圆心，1 为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域 M(图中白色部分)．若在此 三角形内随机取一点 P，则点 P 落在区域 M 内的概率为________．
解 设上一辆车于时刻 T1 到达，而下一辆车于 时刻 T2 到达，则线段 T1T2 的长度为 15，设 T 是线段 T1T2 上的点，且 T1T＝5， T2T＝10，如图所示．
记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生．
[再练一题] 1．一个路口的红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时 间为 40 秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ (1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．
解 在 75 秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P＝红灯 全亮 部的 时时 间间＝30＋3400＋5＝25. (2)P＝黄灯 全亮 部的 时时 间间＝755＝115.
【精彩点拨】 当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径 1，硬币落下后 与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为 1 的直线，构成 小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点， 所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．
解 设 A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作 小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为 1，则等边三角形的边长 为 4 3－2 3＝2 3，由几何概率公式得：
与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于 2， 则正方形的边长为 2.
∵圆面积为 π，正方形面积为 2，∴P＝2π.
【答案】 B
4．函数 f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，则任取一点 x0∈[－1,3]，使得 f(x0)≥0 的概率为________．
【解析】 依题意得，－ －x102≤＋x02≤x30，≥0， 解得 0≤x0≤2，
∴P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13， 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是13.
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果 构成的区域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段， 然后找到事件 A 发生对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界 点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件 A 的概率.
(3)在几何概型中，若事件 A 的概率 P(A)＝0，则 A 不一定是不可能事件， 如：事件 A 对应数轴上的一个点，则其长度为 0，该点出现的概率为 0，但 A 并 不是不可能事件；同样地，若事件 A 的概率 P(A)＝1，则 A 也不一定是必然事件．
例 4 (1)在区间[－2,2]上任取两个整数 x，y 组成有序数对(x，y)，求满足 x2＋y2≤4 的概率；
3.3.1 几何概型
1．理解几何概型的定义及特点．(重点) 2．掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为 几何概型问题．(难点) 3．与长度、角度有关的几何概型问题．(易混点)
[基础·初探] 教材整理 1 几何概型 阅读教材，完成下列问题． 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与_构__成__该__事__件__区__域__的__长__度__(面__积__或__体__积__)_成__比__例__， 则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
探究 2 P(A)＝0⇔A 是不可能事件，P(A)＝1⇔A 是必然事件是否成立？
【提示】 (1)无论是古典概型还是几何概型，若 A 是不可能事件，则 P(A) ＝0 肯定成立；若 A 是必然事件，则 P(A)＝1 肯定成立．
(2)在古典概型中，若事件 A 的概率 P(A)＝0，则 A 为不可能事件；若事件 A 的概率 P(A)＝1，则 A 为必然事件．
C．35
D．45
【解析】 由于 X∈[3,40]，则 3≤X≤40，则 X≠45.故选 D. 【答案】 D
类型 1 与长度有关的几何概型
例 1 某汽车站每隔 15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的， 求一位乘客到达车站后等车时间超过 10 min 的概率.
【精彩点拨】 乘客在上一辆车发车后的 5 min 之内到达车站，等车时间会 超过 10 min.
随手练 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．( ) (2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．( ) (3)几何概型的基本事件有无数多个．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√
2．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球， 若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是