向量自回归和误差修正模型
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在输出的最后一行显示被检验方程系统的所有回归量的 LM 2 平方 统计量的联合显著性。系统的 LM 统计量服从自由度为 mn 的 2 分布，
其中 m = k (k + 1)/2，是系统残差交叉乘积的个数；n 为检验回归方程
中通常形式下右边的变量个数。
16
§10.4 脉冲响应函数
一旦已经估计了VAR模型，EViews会提供很多方法利用已估计的VAR来 进行进一步的分析。在实际应用中，VAR的主要用处是脉冲响应分析，方差分 解和 Granger 因果检验。
可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如：
2 4 6 9 12 12 表示：用 2 – 4 阶，6 – 9 阶及第 12 阶滞后变量。 前面例子对话框中的VAR模型。取IP、M1和TB3三个内生变量，这 个模型用了1 – 2 阶滞后变量并且仅仅常数是外生变量。 其余两个菜单（Cointegration 和 Restrictions）仅与VEC模型有关， 将在后面介绍。
向量自回归和误差修正模型
联立方程组的结构性方法是用经济理论来建立变量之间关系的模型。但 是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明。并 且，内生变量既可以出现在等式的左端又可以出现在等式的右端使得估计和 推断更加复杂。
为解决这些问题产生了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的 模型，就是这一章所讲述的向量自回归模型（Vector Auto regression, VAR） 以及向量误差修正模型（Vector Error Correction, VEC）的估计与分析。同时 也给出一些检验几个非稳定变量之间协整关系的工具。
(1995a.p.10)LM统计量的计算公式。在原假设是滞后h期没有序列相关的条件
下，LM统计量渐近的服从自由度为 k2 的 2 统计量 。
（4）Normality Test (正态检验) 计算残差的J-B正态检验，这种检验主要是比较残差的第三、第四阶残差
矩与来自正态分布的那些矩。对于多变量检验，必须选择一k维残差分解因子，
（5）White Heteroskedasticity Test (White异方差检验) 这些检验是针对系统方程的White’s检验的扩展。这个回归检验是通过残 差序列每一个回归量交叉项乘积的回归来实现的，并检验回归的显著性1。5
No Cross Terms 选项仅仅用于原始回归量的水平值及平方项检验。 With Cross Terms 选项包括被检验方程中原始回归变量所有的非多余 的交叉乘积检验，回归方程还包括一个常数项作为回归量。 输出的第一部分显示每一个被检验的回归方程除常数项之外的回归量 的显著性。可以把每一个回归方程的检验作为残差协方差矩阵的每一个元 素独立的不变性检验。在原假设是没有异方差的条件下，非常数回归量不 是联合显著的。
程中IP(-1)的系数是0.087563。 (VAR02包含外生变量)
8
两类回归统计量出现在VAR估计输出的底部：
输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。分别计算每
个方程的结果（使用各自的残差项），并被显示在对应的列中。第二部分是
VAR系统的回归统计量。
9
§10.3 VAR 视图和过程
m3 m4
3
N
0,
6Ik
0
0 24I
k
因为每一个组成部分之间是相互独立的，所以对任意的这些第三、第四阶矩
平方求和可形成一个 2 统计量。EViews为每一个正交分量（标明残差1、
残差2等等）和整体检验都提供检验统计量。对于单个分量，被估计的偏度 (skewness)和峰度(kurtosis)被列出在前两块中，J-B统计量列在第三块。
(10.2)
IPt M1t
a11 a21
a12 a22
IPt 1 M 1t 1
b11 b21
b12 b22
IPt 2 M 1t 2
C1 C2
1 2
4
§10.2 估计VAR模型及估计输出
§10.2.1 建立VAR模型
为 了 详 细 说 明 一 个 向 量 自 回 归 模 型 ， 必 须 创 建 一 个 VAR 对 象 ， 选 择 Quick/Estimate VAR…或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入 VAR。下面的对话框便会出现：
d1zt1
d2 zt2
2t
(10.8)
其中，a i , bi , c i , d i 是参数，扰动项为 vt (1t , 2t ) ，假定是具有下面这样性质
的白噪声向量：
17
(vt ) 0 , t
Var(vt )
(vt vt )
2 1
常数c作为外生变量。如果所列的序列太长，我们可以先建立一个包含这
些序列的组对象，然后直接输入组的名字。
6
4. 在相应的编辑框中输入滞后信息 这一信息将会告诉EViews哪个 滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应成对输入：每一对 数字描述一个滞后区间。例如，滞后对：
14 告诉EViews用系统中所有内生变量的一阶到四阶滞后变量作为等式 右端的变量。
1
§10.1 向量自回归理论
向量自回归（VAR）常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机 扰动对变量系统的动态影响。
VAR方法通过把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后 值的函数来构造模型，从而回避了结构化模型的需要。一个VAR(p) 模型的 数学形式是：
yt A1 yt1 Ap yt p Bxt t
yk t1
A2
y2 t2
yk t2
BX
t
2t
ห้องสมุดไป่ตู้
kt
由于仅仅内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不出现同期性
问题，并且OLS能得到一致估计。即使扰动向量 t 有同期相关，但
OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，所以其与GLS是
等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 滞后项而
l Tk 1 log 2 T log ˆ
2
2
两个信息准则由下面两式算出：
(10.4)
AIC 2l T 2n T SC 2l T nlog T T
(10.5)
其中 n = k(d + pk) 是VAR中被估计的参数的总数，k 是内生变量数，T 是
样本长度，这些信息准则可被用于模型的选择，例如决定VAR的滞后长度；
（2）Portmanteau Autocorrelation Test（混合的自相关检验）
计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Q统计量。同时计算 出Q统计量和调整后的Q统计量（即：小样本修正）。在原假设是滞后h期 没有残差序列自相关的条件下，两个统计量都近似的服从自由度为k 2 (h p)
的 2 统计量，其中p为VAR滞后阶数。
1、Lag Structure (滞后结构) AR Roots Table/Graph (AR根的图表)
如果被估计的VAR模型所有根的模小于1并且位于单位圆内，则其是 稳定的。如果模型不稳定，某些结果将不是有效的（如：脉冲响应标准误
差）。共有 kp 个根，其中 k 是内生变量的个数，p 是最大滞后阶数。前
(10.1)
这里 yt 是一个k 维的内生变量，xt 是一个 d 维的外生变量。A1,… ,Ap
和B是待估计的系数矩阵。t 是扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但
不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关。
2
y1t
y1 t1
y1t2
1t
y2t
ykt
A1
y2 t1
信息准则的值越小模型越好。值得注意的是，一些参考文献通过不同的方法
来定义AIC/SC，如在似然函数中忽略常数项或不除以T，请见附录F中关于各
种信息准则的附加讨论。
11
R 方 程
Log(M 1)方
程
Log(G DP)方
程
原假设
实际M1外生于实际利率
实际GDP外生于实际利率 实际M1、实际GDP同时外
使其与其他的每一个残差都是正交的（参考脉冲相应函数对正交的详细讨论）。
设 P 是如下的
因子分解矩阵：
其中 ut 是不符合要求k 的 k残差序列。
vt Put ~ N(0, Ik )
（10.7）
14
定义第三、第四阶矩向量为：
m3 t vt3 T
m4
t
v
4 t
T
则在原假设是服从正态分布的条件下，有：
7
§10.2.2 VAR估计的输出
一 旦 设 定 了 VAR ， 单 击 OK 。 EViews 将 会 在 VAR 窗 口 显 示 估 计 结 果 (VAR01) ：
表中的每一列对应VAR中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，
EViews会给出系数估计值、估计系数的标准误差及 t - 统计量。例如在TB3方
3 3 6
3 3 6
p-值 0.286 0.029 0.010
0.449 0.110 0.007 0.684 0.418
0.625
12
2、Residual Tests(残差检验)
（1）Correlogram (相关图)
显示VAR在指定的滞后数的条件下的被估计的残差交叉相关图（样本 自相关）。交叉相关图能以三种形式显示：有两种表格形式，一种是以变 量来显示（Tabulate by Variable），另一种是以滞后阶数来显示(Tabulate by Lag)。曲线图（Graph）显示交叉相关图的矩阵形式。点线代表滞后的相关 系数加减两倍的渐近标准误差的曲线图（以 1计算T ）。
5
在对话框内添入适当的信息。 1. 选择说明类型 选择无约束向量自回归（ Unrestricted VAR ）或者向量误差修正 （ Vector Error Correction ）。前面例子中的VAR是无约束VAR，会在下面 详细解释VEC 模型。 2. 设置样本区间 3. 设置变量 在相应的编辑栏中输入适当的内生及外生变量。系统通常会自动给出
被调整（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不严格。
3
作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供应量（M1）联 合地由一个双变量的VAR模型决定，并且让常数为唯一的外生变量。内 生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：
IPt a11IPt1 a12M1t1 b11IPt2 b12M1t2 C1 1,t M1t a21IPt1 a22M1t1 b21IPt2 b22M1t2 C2 2,t 其中，aij , bij , ci 是待估计的参数。也可表示成：
生于实际利率 实际利率外生于实际M1
实际GDP外生于实际M1 实际利率、实际GDP同时外
生于实际M1 实际利率外生于实际GDP
实际M1外生于实际GDP 实际利率、实际M1同时外
生于实际GDP
2统计 量 3.78 9.00 16.8 2.65 6.03
17.63 1.49 2.84 4.38
自由度 3 3 6
一旦估计一个VAR模型，EViews会提供关于被估计VAR模型的各种视 图。这一部分仅讨论与VAR模型有关的特定的视图。其它的视图和过程可 参考第21章：系统估计。
§10.3.1 诊断视图
在VAR窗口的View/Lag Structure和View/Residual Tests菜单下将提供一 系列的诊断视图。这些将有利于检验被估计VAR模型的合适性。
§10.4.1 脉冲响应函数的基本思想
一、二变量模型的脉冲响应函数 用时间序列模型来分析影响关系的一种思路，是考虑扰动项的影响是如 何传播到各变量的。以下先根据VAR(2)模型来说明脉冲响应函数的基本思想。
xt a1xt1 a2 xt2 b1zt1 b2 zt2 1t
zt
c1xt1
c2 xt2
面的例子中存在一个根大于1，所以模型是不稳定的(VAR01)。将IP、M1
差分得到的VAR模型是稳定的(VAR03) 。
10
残差的协方差的行列式值由下式得出：
ˆ
det T
1
p
t
ˆt
ˆt
(10.3)
其中 p 是VAR每一方程的参数个数， t 是 k 维残差向量。通过假定服从多
元正态（高斯）分布计算对数似然值：
13
（3）Autocorrelation LM Test (自相关LM检验)
计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。滞后h 阶数的检验统计量是通过关于原始右侧回归量残差 ut 和滞后残差 ut-h 的辅 助回归运算计算得到的，这里 ut-h 缺少的前h个值被赋予0。参考Johansen
其中 m = k (k + 1)/2，是系统残差交叉乘积的个数；n 为检验回归方程
中通常形式下右边的变量个数。
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§10.4 脉冲响应函数
一旦已经估计了VAR模型，EViews会提供很多方法利用已估计的VAR来 进行进一步的分析。在实际应用中，VAR的主要用处是脉冲响应分析，方差分 解和 Granger 因果检验。
可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如：
2 4 6 9 12 12 表示：用 2 – 4 阶，6 – 9 阶及第 12 阶滞后变量。 前面例子对话框中的VAR模型。取IP、M1和TB3三个内生变量，这 个模型用了1 – 2 阶滞后变量并且仅仅常数是外生变量。 其余两个菜单（Cointegration 和 Restrictions）仅与VEC模型有关， 将在后面介绍。
向量自回归和误差修正模型
联立方程组的结构性方法是用经济理论来建立变量之间关系的模型。但 是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明。并 且，内生变量既可以出现在等式的左端又可以出现在等式的右端使得估计和 推断更加复杂。
为解决这些问题产生了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的 模型，就是这一章所讲述的向量自回归模型（Vector Auto regression, VAR） 以及向量误差修正模型（Vector Error Correction, VEC）的估计与分析。同时 也给出一些检验几个非稳定变量之间协整关系的工具。
(1995a.p.10)LM统计量的计算公式。在原假设是滞后h期没有序列相关的条件
下，LM统计量渐近的服从自由度为 k2 的 2 统计量 。
（4）Normality Test (正态检验) 计算残差的J-B正态检验，这种检验主要是比较残差的第三、第四阶残差
矩与来自正态分布的那些矩。对于多变量检验，必须选择一k维残差分解因子，
（5）White Heteroskedasticity Test (White异方差检验) 这些检验是针对系统方程的White’s检验的扩展。这个回归检验是通过残 差序列每一个回归量交叉项乘积的回归来实现的，并检验回归的显著性1。5
No Cross Terms 选项仅仅用于原始回归量的水平值及平方项检验。 With Cross Terms 选项包括被检验方程中原始回归变量所有的非多余 的交叉乘积检验，回归方程还包括一个常数项作为回归量。 输出的第一部分显示每一个被检验的回归方程除常数项之外的回归量 的显著性。可以把每一个回归方程的检验作为残差协方差矩阵的每一个元 素独立的不变性检验。在原假设是没有异方差的条件下，非常数回归量不 是联合显著的。
程中IP(-1)的系数是0.087563。 (VAR02包含外生变量)
8
两类回归统计量出现在VAR估计输出的底部：
输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。分别计算每
个方程的结果（使用各自的残差项），并被显示在对应的列中。第二部分是
VAR系统的回归统计量。
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§10.3 VAR 视图和过程
m3 m4
3
N
0,
6Ik
0
0 24I
k
因为每一个组成部分之间是相互独立的，所以对任意的这些第三、第四阶矩
平方求和可形成一个 2 统计量。EViews为每一个正交分量（标明残差1、
残差2等等）和整体检验都提供检验统计量。对于单个分量，被估计的偏度 (skewness)和峰度(kurtosis)被列出在前两块中，J-B统计量列在第三块。
(10.2)
IPt M1t
a11 a21
a12 a22
IPt 1 M 1t 1
b11 b21
b12 b22
IPt 2 M 1t 2
C1 C2
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§10.2 估计VAR模型及估计输出
§10.2.1 建立VAR模型
为 了 详 细 说 明 一 个 向 量 自 回 归 模 型 ， 必 须 创 建 一 个 VAR 对 象 ， 选 择 Quick/Estimate VAR…或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入 VAR。下面的对话框便会出现：
d1zt1
d2 zt2
2t
(10.8)
其中，a i , bi , c i , d i 是参数，扰动项为 vt (1t , 2t ) ，假定是具有下面这样性质
的白噪声向量：
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(vt ) 0 , t
Var(vt )
(vt vt )
2 1
常数c作为外生变量。如果所列的序列太长，我们可以先建立一个包含这
些序列的组对象，然后直接输入组的名字。
6
4. 在相应的编辑框中输入滞后信息 这一信息将会告诉EViews哪个 滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应成对输入：每一对 数字描述一个滞后区间。例如，滞后对：
14 告诉EViews用系统中所有内生变量的一阶到四阶滞后变量作为等式 右端的变量。
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§10.1 向量自回归理论
向量自回归（VAR）常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机 扰动对变量系统的动态影响。
VAR方法通过把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后 值的函数来构造模型，从而回避了结构化模型的需要。一个VAR(p) 模型的 数学形式是：
yt A1 yt1 Ap yt p Bxt t
yk t1
A2
y2 t2
yk t2
BX
t
2t
ห้องสมุดไป่ตู้
kt
由于仅仅内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不出现同期性
问题，并且OLS能得到一致估计。即使扰动向量 t 有同期相关，但
OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，所以其与GLS是
等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 滞后项而
l Tk 1 log 2 T log ˆ
2
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两个信息准则由下面两式算出：
(10.4)
AIC 2l T 2n T SC 2l T nlog T T
(10.5)
其中 n = k(d + pk) 是VAR中被估计的参数的总数，k 是内生变量数，T 是
样本长度，这些信息准则可被用于模型的选择，例如决定VAR的滞后长度；
（2）Portmanteau Autocorrelation Test（混合的自相关检验）
计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Q统计量。同时计算 出Q统计量和调整后的Q统计量（即：小样本修正）。在原假设是滞后h期 没有残差序列自相关的条件下，两个统计量都近似的服从自由度为k 2 (h p)
的 2 统计量，其中p为VAR滞后阶数。
1、Lag Structure (滞后结构) AR Roots Table/Graph (AR根的图表)
如果被估计的VAR模型所有根的模小于1并且位于单位圆内，则其是 稳定的。如果模型不稳定，某些结果将不是有效的（如：脉冲响应标准误
差）。共有 kp 个根，其中 k 是内生变量的个数，p 是最大滞后阶数。前
(10.1)
这里 yt 是一个k 维的内生变量，xt 是一个 d 维的外生变量。A1,… ,Ap
和B是待估计的系数矩阵。t 是扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但
不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关。
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y1t
y1 t1
y1t2
1t
y2t
ykt
A1
y2 t1
信息准则的值越小模型越好。值得注意的是，一些参考文献通过不同的方法
来定义AIC/SC，如在似然函数中忽略常数项或不除以T，请见附录F中关于各
种信息准则的附加讨论。
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R 方 程
Log(M 1)方
程
Log(G DP)方
程
原假设
实际M1外生于实际利率
实际GDP外生于实际利率 实际M1、实际GDP同时外
使其与其他的每一个残差都是正交的（参考脉冲相应函数对正交的详细讨论）。
设 P 是如下的
因子分解矩阵：
其中 ut 是不符合要求k 的 k残差序列。
vt Put ~ N(0, Ik )
（10.7）
14
定义第三、第四阶矩向量为：
m3 t vt3 T
m4
t
v
4 t
T
则在原假设是服从正态分布的条件下，有：
7
§10.2.2 VAR估计的输出
一 旦 设 定 了 VAR ， 单 击 OK 。 EViews 将 会 在 VAR 窗 口 显 示 估 计 结 果 (VAR01) ：
表中的每一列对应VAR中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，
EViews会给出系数估计值、估计系数的标准误差及 t - 统计量。例如在TB3方
3 3 6
3 3 6
p-值 0.286 0.029 0.010
0.449 0.110 0.007 0.684 0.418
0.625
12
2、Residual Tests(残差检验)
（1）Correlogram (相关图)
显示VAR在指定的滞后数的条件下的被估计的残差交叉相关图（样本 自相关）。交叉相关图能以三种形式显示：有两种表格形式，一种是以变 量来显示（Tabulate by Variable），另一种是以滞后阶数来显示(Tabulate by Lag)。曲线图（Graph）显示交叉相关图的矩阵形式。点线代表滞后的相关 系数加减两倍的渐近标准误差的曲线图（以 1计算T ）。
5
在对话框内添入适当的信息。 1. 选择说明类型 选择无约束向量自回归（ Unrestricted VAR ）或者向量误差修正 （ Vector Error Correction ）。前面例子中的VAR是无约束VAR，会在下面 详细解释VEC 模型。 2. 设置样本区间 3. 设置变量 在相应的编辑栏中输入适当的内生及外生变量。系统通常会自动给出
被调整（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不严格。
3
作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供应量（M1）联 合地由一个双变量的VAR模型决定，并且让常数为唯一的外生变量。内 生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：
IPt a11IPt1 a12M1t1 b11IPt2 b12M1t2 C1 1,t M1t a21IPt1 a22M1t1 b21IPt2 b22M1t2 C2 2,t 其中，aij , bij , ci 是待估计的参数。也可表示成：
生于实际利率 实际利率外生于实际M1
实际GDP外生于实际M1 实际利率、实际GDP同时外
生于实际M1 实际利率外生于实际GDP
实际M1外生于实际GDP 实际利率、实际M1同时外
生于实际GDP
2统计 量 3.78 9.00 16.8 2.65 6.03
17.63 1.49 2.84 4.38
自由度 3 3 6
一旦估计一个VAR模型，EViews会提供关于被估计VAR模型的各种视 图。这一部分仅讨论与VAR模型有关的特定的视图。其它的视图和过程可 参考第21章：系统估计。
§10.3.1 诊断视图
在VAR窗口的View/Lag Structure和View/Residual Tests菜单下将提供一 系列的诊断视图。这些将有利于检验被估计VAR模型的合适性。
§10.4.1 脉冲响应函数的基本思想
一、二变量模型的脉冲响应函数 用时间序列模型来分析影响关系的一种思路，是考虑扰动项的影响是如 何传播到各变量的。以下先根据VAR(2)模型来说明脉冲响应函数的基本思想。
xt a1xt1 a2 xt2 b1zt1 b2 zt2 1t
zt
c1xt1
c2 xt2
面的例子中存在一个根大于1，所以模型是不稳定的(VAR01)。将IP、M1
差分得到的VAR模型是稳定的(VAR03) 。
10
残差的协方差的行列式值由下式得出：
ˆ
det T
1
p
t
ˆt
ˆt
(10.3)
其中 p 是VAR每一方程的参数个数， t 是 k 维残差向量。通过假定服从多
元正态（高斯）分布计算对数似然值：
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（3）Autocorrelation LM Test (自相关LM检验)
计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。滞后h 阶数的检验统计量是通过关于原始右侧回归量残差 ut 和滞后残差 ut-h 的辅 助回归运算计算得到的，这里 ut-h 缺少的前h个值被赋予0。参考Johansen