2015北京海淀东城西城等城区中考二模数学分类--第26题几何阅读题

第26题-----几何阅读题

1.（西城）26．（1）小明遇到下面一道题：

如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90o，∠ACB=30o，BE⊥AC于点E，且=

CDE ACB

∠∠．如果AB=1，求CD边的长．

小明在解题过程中发现，图1中，△CDE与△相似，CD的长度等于，线段CD 与线段的长度相等；

他进一步思考：如果ACBα

∠=（α是锐角），其他条件不变，那么CD的长度可以表示为CD= ；（用含α的式子表示）

（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：

在Rt△OMN中，∠MON=90o，OM＜ON，OQ⊥MN于点Q，直线l经过点M，且l∥ON．请在直线l上找出点P的位置，使得NPQ ONM

∠=∠．

请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）

0(0)

k

=>成立的

y x

=

请回答：

（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为_______；

（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为_______；

（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为_______．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

关于x的不等式24

0 ()

x a a

x

+-<＞0只有一个整数解，求a的取值范围．

3.（东城）26 .阅读材料

如图1，若点P 是⊙O 外的一点，线段PO 交⊙O 于点A,则PA 长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离.

图1 图2 证明：延长PO 交⊙O 于点B ，显然PB>PA .

如图2，在⊙O 上任取一点C （与点A ，B 不重合），连结PC ，OC .

,,,,

PO PC OC PO PA OA OA OC PA PC <+=+=∴<且

∴PA 长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离.

由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差. 请用上述真命题解决下列问题．

(1)如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，以BC 为直径的半圆交AB 于D ，P 是上的一

个动点，连接AP ，则AP 长的最小值是

．

图3

(2)如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△MN A '

，连接C A '

,①求线段A ’M 的长度; ②求线段C A '

长的最小值.

图4

4.（丰台）26．问题背景：

在△ABC中，AB，BC，AC

，求这个三角形的面积．

小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．

C B

A

图1 图2 （1）请你直接写出△ABC的面积________；

思维拓展：

（2）如果△MNP

，

2的正方形网格(每个小正方形

的边长为1)画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．

5.（朝阳）26．阅读下面材料：

小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ， AC =4，BD =6，∠AOB =30°，求四边形ABCD 的面积．

小凯发现，分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E 、F ，设AO 为m ，通过计算△ABD 与△BCD 的面积和使问题得到解决（如图2）．

请回答：（1）△ABD 的面积为 （用含m 的式子表示）． （2）求四边形ABCD 的面积．

参考小凯思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于 点O ，AC =a ，BD =b ，∠AOB =α（0°＜α＜90°），则四边形 ABCD 的面积为 （用含a 、b 、α的式子表示）．

6.（怀柔）26. 阅读下面材料：小强遇到这样一个问题：

试作一个直角△ABC ，使∠C=90°，AB=7，AC+BC=9.

小强是这样思考的：如图1，假定直角△ABC 已作出，

因此可先作出

一个辅助△ABD ，再作BD 的垂直平分线分别交AD 于点C BD 于点E ，连接BC,所得的△ABC 即为所作三角形.

具体做法小强是利用图2中1?1正方形网格，通过尺规作图完成的. （1）请回答：图2中线段AB 等于线段 .

（2）参考小强的方法，解决问题：请在图3的菱形网格中（菱形最小内角为α，

边长为a ），画出一个△ABC ，使∠C=α，AB=6b ，AC+BC=8b.（在图中标明字母，不写作法，保留作图痕迹）.

图1 图2

图3

7.（平谷）

26．如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若AB =6，3AF EF =，求DG 的长．

小米的发现，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H （如图2），经过推理和计算能够使问题得到解决．则DG = .

如图3，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是射线DM 上的一点，连接BE 和AC 相交于点F ，若

BC aAD =，CD bCE =，求

BF

EF

的值（用含,a b 的代数式表示）.

8.（门头沟）26．阅读下面的材料：

小明遇到一个问题：如图1，在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G . 如果

3AF EF =，求CD

CG

的值． 他的做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，那么可以得到△BAF ∽△HEF ． 请回答：

（1）AB 和EH 之间的数量关系是 ，CG 和EH 之间的数量关系是 ，

CD

CG

的值为 ． （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图2，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．如果

2AB

CD

=，23BC BE =，求AF

EF

的值． H

G F E

C

D

A

F

E

C

B A

D

图1 图2

9.（昌平）26.【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tan α=13

，求sin2α的值．

图1

图2

图3

小娟是这样解决的：

如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =α，所以∠ACB =90°，tan α=

BC AC =1

3

． 易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AC =3x ，则AB

．作CD ⊥AB 于D ，求出CD = （用含x 的式子表示），可求得sin2α=CD

OC

= ． 【问题解决】

已知，如图2，点M 、N 、P 为圆O 上的三点，且∠P =β，tan β =

1

2

，求sin2β的值.

图1

图2

10. （石景山）26．阅读下面材料：

小玲遇到这样一个问题：如图1，在等腰三角形ABC 中，AC AB =，?=∠45BAC ，

22=BC ，BC AD ⊥于点D ，求AD 的长．

小玲发现：分别以AB ，AC 为对称轴，分别作出△ABD ，△ACD 的轴对称图形，点D 的对称点分别为E ，F ，延长EB ，FC 交于点G ，得到正方形AEGF ，根据勾股定理和正方形的性质就能求出AD 的长．（如图2）

请回答：BG 的长为，AD 的长为；

参考小玲思考问题的方法，解决问题：

如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，()4,0B ，点P 是△OAB

的外角的角平分线AP 和BP 的交点，求点P 的坐标．

图

3

E

图1 图2

11.（顺义）26． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 各边都平行于坐标轴，且A （-2，

2），C （3，-2）．对矩形ABCD 及其内部的点进行如下操作：把每个点的横坐标乘以a ，纵坐标乘以b ，将得到的点再向右平移k （0k ）个单位，得到矩形''''A B C D 及其内部的点（''''A B C D 分别与ABCD 对应）．E （2，1）经过上述操作后的对应点记为'E ． （1）若a =2，b =-3，k =2，则点D 的坐标为 ，点'D 的坐标为 ； （2）若'A （1，4），'C （6，-4），求点'E 的坐标．