立体几何空间角与空间距离的求解—高三数学一轮复习

立体几何解答题空间角与距离的求解
【知识梳理】
1、直线与平面所成的角： 公式：||
||||sin n l n l ⋅=θ
步骤：
①建立空间直角坐标系； ②求出直线的方向向量l ； ③求出平面的法向量n ； ④代入公式|
|||sin n l n l ⋅=θ求解即可。

2、平面与平面所成的角： 公式：|
||||cos 2121n n ⋅=θ
步骤：
①建立空间直角坐标系；
②分别求出两个平面的法向量1n 和2n ； ③代入公式||
||||
cos 2121n n n n ⋅=θ求解即可。

3、点到平面的距离： 公式：||
|n n l d ⋅=
步骤：
①建立空间直角坐标系，并在平面上任取一点与已知点连成直线； ②求出该直线的方向向量l 和平面的法向量n ； ③代入公式||
||n n l d ⋅=求解即可。

【题型训练】
例题1．（2021•兴宁区校级二模）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，DC∥AB，∠BAD＝90°，面EAD⊥面ABCD，AB＝AD＝AE＝ED＝DC＝1，M为EB的中点．
（1）求证：DM⊥AE；
（2）求直线DM与平面BCE所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：记AE的中点为F，连接MF、DF．
∵DE＝AD＝AE，∴AE⊥DF．
∵面EAD⊥面ABCD，面EAD∩面ABCD＝AD，AB⊥AD，
∴AB⊥面ADE．
∵M为EB的中点，∴MF∥AB，
∴MF⊥面ADE，AE⊂平面ABE，
∴MF⊥AE，又FM∩DF＝F，
∴AE⊥面DFM，DM⊂平面DFM，
∴AE⊥DM．
（2）∵AB⊥面AEM，又AB∥DC，
∴DC⊥面AED，故可如右图建系．
不妨设DC＝4，则AB＝AD＝AE＝ED＝2，
由等边三角形AED可知，
E（1，0，），B（2，2，0），C（0，4，0），M（，1，），
则有＝（，1，），＝（﹣2，2，0），＝（1，﹣4，），
设面BCE的一个法向量＝（x，y，z），
则，即，令x＝1，则y＝1，z＝，
可得平面BCE的一个法向量＝（1，1，），
则cos＜，＞＝＝，
所以直线DM与平面BCE所成角的正弦值为．
变式训练1．（2021•南岗区校级三模）如图，四棱锥P ﹣ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，BC ⊥AB ，AB ＝2BC ＝4CD ＝4． （1）证明：平面P AC ⊥平面PBD ；
（2）若P A ＝2，求直线BD 与平面PBC 成角正弦值． 【解析】（1）证明：由P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥BD ， 在直角三角形BCD 中，tan ∠CBD ＝＝， 在直角三角形BCD 中，tan ∠CBD ＝＝， 在直角三角形BCA 中，tan ∠BCA ＝
＝2，
所以tan ∠CBD tan ∠BCA ＝1，可得∠CBD +∠BCA ＝90°， 即有BD ⊥AC ，
而P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ， 而BD ⊂平面PBD ，所以平面P AC ⊥平面PBD ；
（2）设D 到平面PBC 的距离为h ，由BC ⊥AB ，AB 为PB 在底面ABCD 上的射影，可得BC ⊥PB ， 则S △PBC ＝BC •PB ＝×2×
＝2
，又S △DBC ＝BC •BD ＝×2×1＝1，
由V D ﹣PBC ＝V P ﹣BCD ，可得hS △PBC ＝P A •S △DBC ，即h ＝＝
，
所以直线BD 与平面PBC 成角正弦值为
＝
＝．
方法二：建立空间直角坐标系如图所示：则B )0,0,0(，D )0,1,2(，P )2,4,0(，C )0,0,2(， 则)0,1,2(=BD ，)2,4,0(--=PB ，)2,4,2(--=PC
设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0PC n PB n
即⎩⎨
⎧=--=--0
2420
24z y x z y ，得)2,1,0(-=n
所以5
1||
||||sin =⋅⋅=BD n BD n θ
变式训练2．（2021•盘州市一模）如图，圆锥的顶点为S，AB是底面圆O的直径，C是圆O上异于A、B 的一点，D是AC的中点，平面SOD∩平面SBC＝l，SO＝OA＝1．
（1）求证：l∥BC；
（2）若l与AB所成的角为60°，求l与平面SBD所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：因为D是AC的中点，O是AB的中点，
所以OD∥BC，
又OD⊂平面SOD，BC⊄平面SOD，
则BC∥平面SOD，
又BC⊂平面SBC，平面SOD∩平面SBC＝l，
所以l∥BC；
（2）由l∥BC且l与AB所成的角为60°，则∠ABC＝60°，
所以△OBC是边长为1的等边三角形，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，
所以，
设平面SBD的法向量为，
则，即，
令x＝5，则，
故，
因为l∥BC，则l的一个方向向量为，
所以＝，
故l与平面SBD所成角的正弦值为．
变式训练3．（2021•岳麓区校级模拟）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝2AB ＝2，E是DD1上的一点且．
（1）求证：平面A1B1D⊥平面AEC；
（2）求直线A1D与平面AEC所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有A1B1⊥平面AA1D1D，
又因为AE⊂平面AA1D1D，所以A1B1⊥AE．
在△ADE与△A1AD中，∠ADE＝∠A1AD，又，所以△ADE∽△A1AD．
所以∠DAE＝∠AA1D，所以，所以AE⊥A1D．
又因为A1D∩A1B1＝A1，所以AE⊥平面A1B1D，因为AE⊂平面AEC，
所以平面A1B1D⊥平面AEC．
（2）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，
故以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
依题意，有，
所以，，，
设平面AEC的法向量为，
则，所以取．
设直线A1D与平面AEC所成角为θ，则．
例题2．（2021•香坊区校级四模）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，，E为P A的中点，D为AC的中点，F为棱PB上靠近B的三等分点．
（1）证明：BD∥平面CEF．
（2）若P A⊥AC，求二面角E﹣CF﹣B的正弦值．
【解析】（1）证明：连接PD且交CE于点T，连接FT．
由题意可知，PD，CE为中线，所以T为重心，，
所以FT∥BD，FT⊂平面CEF，BD⊄平面CEF，
所以BD∥平面CEF．
（2）因为P A⊥AC，AC＝1，，所以P A＝2
又因为AB＝AC，PB＝PC，所以P A2+AB2＝PB2即P A⊥AB
所以AB，AC，AP两两垂直．故以A为原点，，，为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，由图可知，E（0，0，1），C（0，1，0），，B（1，0，0），
所以，，
设平面CEF的法向量为
则有即可令x＝1，y＝z＝2，所以，
设平面CFB的法向量为
则有即可令x＝y＝2，z＝1，所以，
因为
所以，
即二面角E﹣CF﹣B的正弦值为．。