曲梁正应力公式推导论
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A Zd A E ' 'A yy z d A E ' ' a a h h //2 2 yy d y b b /2 /2 z d z 0 自然成立
以（a），（b）式代入（e）式，得
yd A E' y 2d A E' a h /2y 2d yb /2d z M
A
' A y
y ' a h /2
b /2
'
y ah/2
2
M
'
b ah/2
dy
y
E
(
f
)
又 a a h h //2 2y 2 y d y a a h h //2 2 (y y 2)d y [1 /2 y 2 y 2 In ( y )]|a a h h //2 2
l1
(y)d
' '
y
y
(a )
物理关系 因为纵向层之间无正应力，
当应力小于比例极限时，由 胡克定律知：
E ( b )
静力关系
内外应力满足平衡方程：
①
FN
dA0
A
(c
)
②
My
ZdA0
A
(d
)
③
MZ
ydA0
A
(
e
)
以（a），（b）式代入（c）式，得
Ad A E ' 'd A 0 A y y d A 0 a a h h //2 2 y y d y h h /2 /2 d z 0
①
曲梁正应力公式推导
②
中性层位置方程
1、变形几何关系：弯曲变形前、后如图（a）所示，曲梁的截面尺寸 （b）所示。
图（a）中 为中性层的曲率半径。变形前后中性层长度不变：d 'd'
距离中性层为y处变形前的长度：l1= (y)d
距离中性层为y处变形后的长度: l2=(' y)d'
求得线段bb的应变：l2l1(' y)d' (y)d
结论
1 材料力学中曲梁正应力公式
My
abh( y)
2材料力学中曲梁正应力公式与弹性力学中正应力公式
近似一样。
3曲梁的中性层的曲率半径趋于无穷时，其正应力公式 趋Fra Baidu bibliotek直梁的正应力公式。
4公式有一定的使用范围，长宽比小于等于2时，梁内任 意一点的正应力与精确值误差在5%内。其他情况误差较 大超出5%的许用误差。
a a h h / / 2 2 y y d y 0 a a h h / / 2 2 ( 1 y ) d y [ y I n ( y ) ] a a h h / / 2 2 0
所以
h
e
ah/21
h
ah/2 ah/2
即
a
h
h
h/ 2
e 1
以（a），（b）式代入（d）式，得
式
图（1）是令h=10,20 ,30做出的一簇曲线，可知 的增
大a都逐渐趋于0,实际上 为无穷大时，曲梁退化为直 梁，a理应趋于0，说明公式正确。
图（2）是取M=100,h=10，b=4、2，y=2、4做出的
两条曲线.由图可 知 时 1=0.8 2
My/(bh3/12)
1=0.8 2
代a h 入 （h f）2 I得n a a h h //2 2 a h h 2 h a h '' a h
' bah '
M E
(g )
以（a），（b）式M代y入（g）式，得 abh( y)
综上 ：中性层位置方程
a
h
h
h/ 2
e 1
曲梁正应力公式
My
abh( y)
③当 时曲梁正应力公式退化为直梁正应力公
曲梁正应力公式推导论
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曲梁：具有弯曲的纵轴线杆件承受弯曲变形的情况。
假设
①在直梁的弯曲正应力公式推导中，引入了平面假设和 纵向层之间没有正应力的假设。
②假设曲梁在纯弯曲的情况下，变形后截面仍是平面且 纵向层之间没有正应力。曲梁仅受纯弯曲。
④ 与弹性力学结果的比较：
其弹中性力学N中(曲ba22梁正1)2应力4ba公22式(In：ba)2
将俩公式的结果用图形表示：
N 4M a2(b a2 21b a2 2Inb rIna rb r2 2Inb a)
全图
局部图
材料力学中曲梁正应力公式与弹性力学中正应力公式近似 一样。
MATLAB图像输出： 图（1）中取M=10，a=1，b=2; 图（2）中取M=10，a=1，b=10
谢谢观看
图（3）采用材料力学推出的 与精确解 几乎没有误差
图（4）可知：b/a的增大，材料力学的解不能很好符合 精确解，有一定偏差，并且b/a=4时相差很大，此时的 误差为136.42%远超过5%的工程使用范围，公式不适用。
通过MATLAB数值分析可得：b/a在1~3的范围内最大 误差在5%左右，故截面尺寸在该范围能使用该公式。完 全满足精度。b/a在3~8，最大误差在15%左右。
以（a），（b）式代入（e）式，得
yd A E' y 2d A E' a h /2y 2d yb /2d z M
A
' A y
y ' a h /2
b /2
'
y ah/2
2
M
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b ah/2
dy
y
E
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)
又 a a h h //2 2y 2 y d y a a h h //2 2 (y y 2)d y [1 /2 y 2 y 2 In ( y )]|a a h h //2 2
l1
(y)d
' '
y
y
(a )
物理关系 因为纵向层之间无正应力，
当应力小于比例极限时，由 胡克定律知：
E ( b )
静力关系
内外应力满足平衡方程：
①
FN
dA0
A
(c
)
②
My
ZdA0
A
(d
)
③
MZ
ydA0
A
(
e
)
以（a），（b）式代入（c）式，得
Ad A E ' 'd A 0 A y y d A 0 a a h h //2 2 y y d y h h /2 /2 d z 0
①
曲梁正应力公式推导
②
中性层位置方程
1、变形几何关系：弯曲变形前、后如图（a）所示，曲梁的截面尺寸 （b）所示。
图（a）中 为中性层的曲率半径。变形前后中性层长度不变：d 'd'
距离中性层为y处变形前的长度：l1= (y)d
距离中性层为y处变形后的长度: l2=(' y)d'
求得线段bb的应变：l2l1(' y)d' (y)d
结论
1 材料力学中曲梁正应力公式
My
abh( y)
2材料力学中曲梁正应力公式与弹性力学中正应力公式
近似一样。
3曲梁的中性层的曲率半径趋于无穷时，其正应力公式 趋Fra Baidu bibliotek直梁的正应力公式。
4公式有一定的使用范围，长宽比小于等于2时，梁内任 意一点的正应力与精确值误差在5%内。其他情况误差较 大超出5%的许用误差。
a a h h / / 2 2 y y d y 0 a a h h / / 2 2 ( 1 y ) d y [ y I n ( y ) ] a a h h / / 2 2 0
所以
h
e
ah/21
h
ah/2 ah/2
即
a
h
h
h/ 2
e 1
以（a），（b）式代入（d）式，得
式
图（1）是令h=10,20 ,30做出的一簇曲线，可知 的增
大a都逐渐趋于0,实际上 为无穷大时，曲梁退化为直 梁，a理应趋于0，说明公式正确。
图（2）是取M=100,h=10，b=4、2，y=2、4做出的
两条曲线.由图可 知 时 1=0.8 2
My/(bh3/12)
1=0.8 2
代a h 入 （h f）2 I得n a a h h //2 2 a h h 2 h a h '' a h
' bah '
M E
(g )
以（a），（b）式M代y入（g）式，得 abh( y)
综上 ：中性层位置方程
a
h
h
h/ 2
e 1
曲梁正应力公式
My
abh( y)
③当 时曲梁正应力公式退化为直梁正应力公
曲梁正应力公式推导论
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曲梁：具有弯曲的纵轴线杆件承受弯曲变形的情况。
假设
①在直梁的弯曲正应力公式推导中，引入了平面假设和 纵向层之间没有正应力的假设。
②假设曲梁在纯弯曲的情况下，变形后截面仍是平面且 纵向层之间没有正应力。曲梁仅受纯弯曲。
④ 与弹性力学结果的比较：
其弹中性力学N中(曲ba22梁正1)2应力4ba公22式(In：ba)2
将俩公式的结果用图形表示：
N 4M a2(b a2 21b a2 2Inb rIna rb r2 2Inb a)
全图
局部图
材料力学中曲梁正应力公式与弹性力学中正应力公式近似 一样。
MATLAB图像输出： 图（1）中取M=10，a=1，b=2; 图（2）中取M=10，a=1，b=10
谢谢观看
图（3）采用材料力学推出的 与精确解 几乎没有误差
图（4）可知：b/a的增大，材料力学的解不能很好符合 精确解，有一定偏差，并且b/a=4时相差很大，此时的 误差为136.42%远超过5%的工程使用范围，公式不适用。
通过MATLAB数值分析可得：b/a在1~3的范围内最大 误差在5%左右，故截面尺寸在该范围能使用该公式。完 全满足精度。b/a在3~8，最大误差在15%左右。