简单的三角恒等变换第二课时辅助角公式课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
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5.5.2简单的三角恒等变换 （2）
辅助角公式
学习目标：通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如
= + 的三角函数转化成一个角的一个
三角函数的形式，并能解决有关周期、最值等题。
重点：通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如
= + 的三角函数转化为 = ( + )
2
a
2
b
b
其中：
cos =
，
sin =
（tan = )。
2
2
2
2
a
a b
a b
注意点：(1)该函数的最大值为 a2＋b2，最小值为－ a2＋b2；
(2)y＝asin x＋bcos x＝ a2＋b2cos(x－θ).
例1.求 = + 的周期，最大值和最小值
练习1：求 = + 的周期，最大值和最小值。
, =
其中 =
+
+
得到 a2＋b2(cos φsin x＋sin φcos x)；
第三步：逆用公式化简得： asin x＋bcos x=
+ ( + )
知识点
a sin x b cos x a b sin( x )
解：原式=
=
=
（ + ）
（ + ）
( + )
= =
最大值为 ，最小值为-
例2.求 = 3 − 的单调递增区间
解：方法一
原式=2（
- ）
= ( − )
解：
原式= （
=
−
）
（
−
= ( + )
∴ ≤ + ≤ + , ∈
∴ − + ≤ ≤
+ , ∈
单调递减区间为 − + ， + ， ∈
3. ( + ) = −
4. ( − ) = +
新课学习：
利用两角和或差的正弦公式化简下列各式：
（1）
解：
−
−
（2） −
（
或 = ( + )的形式。
难点： 化简形如 = + 的三角函数式。
引课
辅助角法----从开始学习两角差的余弦，我们就一直尝试对展开式进行合并，
尤其是一些特殊的形式，比如sin x＋cos x等，其实从那个时候
起，就开始有了辅助角公式的影子。
辅助角公式是由我国数学家李善兰先生（清朝数学家，1811
）
−
��
= （
− ）
解：原式=
= −
= ( − )
= ( − )
思考：通过上面两道题我们发现 = + 可以化成
= ( + )的形式 。
同学们有没有发现、、之间有什么关系？
= ( − )
= −( − )
∴ + ≤ − ≤
+ , ∈
∴
+ ≤ ≤
+ , ∈
所以单调递增区间为：
+ ，
+ ∈
方法二
原式=2（
- ）
= ( − )
= ( + )
∴ − + ≤ + ≤ , ∈
∴−
+ ≤ ≤ − + , ∈
Байду номын сангаас
所以单调递增区间为：
−
+ ， − + ∈
练习2求 = − 的单调递减区间。
例3.已知 = + −
的周期是，求的值。
解：
= + −
= +
= (
)
+
= ( + )
∴ = =2 ∴ =
年1月—1882年12月）提出的，辅助角公式的提出，对整个三角
函数产生了巨大的影响.
下面我们来研究学习----------辅助角公式
复习回顾：
两角和与差的正弦、余弦公式:
1. ( + ) = +
2. ( − ) = −
答： = 2 + 2
一般地，对于y＝asin x＋bcos x，可以进行合并转化为
=
+ ( + )的形式。
操作步骤如下：
第一步：提常数：
提出 + 得到 =
+
第二步：定角度：确定一个角度满足 =
+
+
+
课堂小结
= + 可以化为 =
其中 =
+ ( + )的形式
有时将 = + 化为 = + ( + )的形式做
题更加方便。
教材229页第12题（1）~（）题
课时规范训练（）
辅助角公式
学习目标：通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如
= + 的三角函数转化成一个角的一个
三角函数的形式，并能解决有关周期、最值等题。
重点：通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如
= + 的三角函数转化为 = ( + )
2
a
2
b
b
其中：
cos =
，
sin =
（tan = )。
2
2
2
2
a
a b
a b
注意点：(1)该函数的最大值为 a2＋b2，最小值为－ a2＋b2；
(2)y＝asin x＋bcos x＝ a2＋b2cos(x－θ).
例1.求 = + 的周期，最大值和最小值
练习1：求 = + 的周期，最大值和最小值。
, =
其中 =
+
+
得到 a2＋b2(cos φsin x＋sin φcos x)；
第三步：逆用公式化简得： asin x＋bcos x=
+ ( + )
知识点
a sin x b cos x a b sin( x )
解：原式=
=
=
（ + ）
（ + ）
( + )
= =
最大值为 ，最小值为-
例2.求 = 3 − 的单调递增区间
解：方法一
原式=2（
- ）
= ( − )
解：
原式= （
=
−
）
（
−
= ( + )
∴ ≤ + ≤ + , ∈
∴ − + ≤ ≤
+ , ∈
单调递减区间为 − + ， + ， ∈
3. ( + ) = −
4. ( − ) = +
新课学习：
利用两角和或差的正弦公式化简下列各式：
（1）
解：
−
−
（2） −
（
或 = ( + )的形式。
难点： 化简形如 = + 的三角函数式。
引课
辅助角法----从开始学习两角差的余弦，我们就一直尝试对展开式进行合并，
尤其是一些特殊的形式，比如sin x＋cos x等，其实从那个时候
起，就开始有了辅助角公式的影子。
辅助角公式是由我国数学家李善兰先生（清朝数学家，1811
）
−
��
= （
− ）
解：原式=
= −
= ( − )
= ( − )
思考：通过上面两道题我们发现 = + 可以化成
= ( + )的形式 。
同学们有没有发现、、之间有什么关系？
= ( − )
= −( − )
∴ + ≤ − ≤
+ , ∈
∴
+ ≤ ≤
+ , ∈
所以单调递增区间为：
+ ，
+ ∈
方法二
原式=2（
- ）
= ( − )
= ( + )
∴ − + ≤ + ≤ , ∈
∴−
+ ≤ ≤ − + , ∈
Байду номын сангаас
所以单调递增区间为：
−
+ ， − + ∈
练习2求 = − 的单调递减区间。
例3.已知 = + −
的周期是，求的值。
解：
= + −
= +
= (
)
+
= ( + )
∴ = =2 ∴ =
年1月—1882年12月）提出的，辅助角公式的提出，对整个三角
函数产生了巨大的影响.
下面我们来研究学习----------辅助角公式
复习回顾：
两角和与差的正弦、余弦公式:
1. ( + ) = +
2. ( − ) = −
答： = 2 + 2
一般地，对于y＝asin x＋bcos x，可以进行合并转化为
=
+ ( + )的形式。
操作步骤如下：
第一步：提常数：
提出 + 得到 =
+
第二步：定角度：确定一个角度满足 =
+
+
+
课堂小结
= + 可以化为 =
其中 =
+ ( + )的形式
有时将 = + 化为 = + ( + )的形式做
题更加方便。
教材229页第12题（1）~（）题
课时规范训练（）