汽轮机叶片的动强度

（一）叶片弯曲振动的微分方程
计算方法： 首先根据叶片结构及实际工作情况作出假定，得出简化的力学模型，
然后列出微分方程式，求通解。 由叶片的边界条件确定积分常数 最后求出叶片自振频率 1、基本假定
叶片根部刚性固定，根部截面处挠度转角为0； 叶片为弹性杆； 叶片只在一个平面内振动； 叶片振动无阻尼； 不考虑离心力对振动影响；
汽流的作用力不均匀分布，叶片每经过一只喷嘴片，汽流作用力就减小一
次，即受到反方向的扰动。
（2）计算 Ⅰ）全周进汽
喷嘴沿圆周向是均匀分布，所以 fh zn，n 一般zn＝40～90。
Ⅱ）部分进汽，部分进汽度e
进汽弧度有 zn个 喷嘴，级平均直径dm，
动叶经过一个节距所需时间 所以
tm
e dm zn
，当量喷嘴数
Al4
(kl )2
2
EI ml 3
f的影响因素：叶片材料（E、ρ），结构（A，I，l）
(kl)0
1.875
(kl)1
4.694 7.855
(kl)2
(kl)3
……
10.996 ……
A0型的最低阶振动自振频率
(kl)2
f A0 2
EI
Al4
0 :1 :2 : 1: 6.27 :17.55
f An
• 上下两隔板结合面处喷嘴错位或有间隙； • 级前后有抽汽口，抽汽口附近喷嘴出口汽流的轴向速度小，
引起扰动； • 高压级采用窄喷嘴时，加强筋对汽流产生扰动； • 采用喷嘴配汽方式
2、低频激振力频率计算
（1）对称激振力，若引起汽流扰动的因素沿圆周对称分布，则 fex kn，
n为动叶转速，k为一个圆周内的激振力次数。
振幅越大，当两者相等将发生共振，振幅及
动应力明显增大，最终可能导致叶片损坏。
说明：
（1）在汽机叶片激振中，激振力往往是矩形的脉冲波，周期为T； （2）叶片自振频率为激振力频率的整数倍时，因为激振力是脉冲形式，即f
自＝kf激，也要激起叶片的共振，k＝3举例见P263图5.6.2 为了保证叶片安全工作，必须研究激振力，叶片振动特性，及叶片在动 应力作用下的承载能力，属叶片动强度范畴。 目前还不能精确地对叶片动应力进行理论计算。
n
f A0
n
1.8752
2
EI ml 3
实例：
例：国产某机第九级等截面叶片，高度l=5.1cm，截面积 A 1.213cm2
截面最小主惯性矩 I 0.0932cm4，叶片材料1Cr13不锈钢，请计算它
的切向第一、二阶自振频率
解：由材料手册查1Cr13
E 2.0581010 N m2
l 5.1102 m
汽轮机叶片的动强度
一、叶片的动强度概念
汽轮机受到因汽流不均匀产生的激振力作用，激振力由结构因素、制 造和安装误差及工况变化等原因引起。因叶片高速旋转，所以激振力 对叶片的作用是周期性的，叶片在振动状态下工作。 叶片的振动分为两大类：
1）自由振动：
Ⅰ）振动的频率称为自振频率，取决于 (1) 叶片本身的形状、尺寸、材料； (2) 叶片的边界条件，如叶根的紧固程度，有无围带、拉筋等； Ⅱ）叶片在自振过程中，受到阻尼作用，振动强衰减并消失，回到原
动频率不同于静频率，因为转动时叶片受到离心力的作用，另外根 部紧固条件也要发生变化，一般指静频率。 （2）叶片频率求取的方法： 试验法：当叶片制造并安装好以后，可采用试验方法测定叶片静频 率的数值，对于长叶片还可测取相应的振型。但是目前测动频率比 较困难。 计算法：当对叶片进行改型或设计新叶片时，由于无实物无法测定。 对于设计叶片用计算方法求取各阶振型的自振频率，预先分析是否 会发生共振，以选择最佳的设计方案。
3、动频率计算公式
从f (kil)2
2
EI ml 3
Kt
得
f
2
刚性(恢复力) 质量
旋转时恢复力包含叶片材料弹性力＋离心力
∴ fd f 2 Bbn2 (动频率)2 (静频率)2 (离心力引起得附加频率)2
Bb －叶片的动频系数
4、动频系数的近似公式
Bb取决于许多因素：振动型式，径高比，叶片振动平面与叶轮平面夹 角，叶片截面积与惯性矩沿叶高变化规律，拉筋，围带结构等。一般
2、单个叶片扭转振动
叶片各个横截面重心的连线，组成了一条轴线，当叶片受到一个绕轴线 来回变化的交变扭矩时，发生扭转振动，常在长叶片中出现。 一阶振型－所有截面发生同方向的来回扭转，顶部转角最大，这时叶片 中不扭转的线称为节线，
（二）叶片组的振型
1、叶片组弯曲振动 （1）切向振动
根据叶片顶部是否振动分A型、B型。 A型振动－方向相同，叶片顶部的振幅最 大。组内各叶片在围带联系下，振动频率 相同，A0型最危险。当有拉筋时，节点往 往在拉筋附近。
7.75103 kg m3 A 1.213104 m2
I 0.0932108 m4
1.8752 EI
f A0 2 l 2
3072Hz
A
fA1 6.273072 19266Hz
(三 )对自振频率理论计算值的修正
1、温度修正系数 在叶片自振频率计算时，包括建模，确定积分常数－边界条件时，做 过假定：
zn
zn e
fh
1 T
znn
T tm e
dmn znn
三、叶片与叶片组的振型
所谓振型是指叶片在不同的自振频率下振动所具有的振动形状，可 分为两大类 (1) 弯曲振动：切向弯曲振动，轴向弯曲振动； (2) 扭转振动
（一）单个叶片的振型
1、单个叶片的振型 （1）切向振动
叶片振动容易发生在最大主惯性轴（2－2轴）方向， Ⅰ）叶片在激振力作用下振动，顶端也振动，称A型振动，按自振频率由
激发相当大的振动； （2）讨论弯曲应力时，蒸汽对叶片作用力的方向几乎是这个方向； 切向振动容易发生且比较危险，我们关心低频的A0，B0，A1型
四、单个叶片的自振频率计算
1、一般说明 （1）叶片的自振频率
叶片频率分： 静频率：叶片或叶片组在不转动时所具有的自振频率； 动频率：叶片或叶片组在转动的叶轮上所具有的自振频率；
来的平衡位置，振动振幅随时间变化的过程可用曲线表示。
振幅按指数规律递减，而频率基本不变。叶片在工作时的阻尼主 要来自两方面：材料本身的内摩擦，介质的粘性阻尼。
2）强迫振动
Ⅰ）强迫振动的频率等于激振力频率
Ⅱ）强迫振动的振幅取决于
激振力幅值大小；
激振力频率与叶片自振频率的接近程度，可
用曲线表示。激振力频率与自振频率越接近，
二、激振力产生的原因及其频率计算
叶片的激振力是由级中汽流流场不均匀所致， （1）叶栅尾迹扰动 （2）结构扰动，部分进汽，抽汽口、排汽管，叶栅节距偏差等原因引起
汽流流场不均匀。
激振力分类：
（一）低频激振力 1、产生的原因：主要与结构因素有关
• 若个别喷嘴损坏或加工尺寸有偏差，动叶片旋转到这里受 到一次扰动力；
（1）修正方法
K－根部牢固修正系数，由试验确定，反映叶片连接刚性，切力扭转， 阻尼等因素对自振频率的影响
引入柔度 l / i 叶片惯性半径 i x / A
K与柔度的关系曲线见图 叶根型不同，取值不同：倒T型，叉型，纵树型
振动阶型不同，取值不同，阶次↑（二阶），叶根紧固程度的影响变 小，剪切力及转动惯量的影响增大。
别于单叶片，对于每个叶片，还是作自由振动的弹性梁。
相同之处： （1）振动微分方程相同，为
d 4 y0 dx4
k 4 y0
0
（2）通解相同ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为
y0 c1 sin kx c2 cos kx c3shkx c4chkx
（3）自振频率的公式相同，为
fn
knl 2
2
EI Al4
不同之处： 安装围带或拉筋，则边界条件不同，使本来处于自由状态的叶顶，叶
（2）非对称激振力
如喷嘴配汽有两个不通汽弧段相隔 ，动叶转速n，则每秒转过2πn
弧度。则周期
2
T / 2 n 1 ， f 1 4n，如果二个异常点的分布没有规律，就不 可能2 与叶4片n 自振频率T 合拍，引起共振。
（二）高频激振力
（1）产生原因
由喷嘴尾迹引起。另外汽流和通道壁面的摩擦力，使喷嘴出口沿圆周方向
B型振动－无节点的B0型最危险 叶身振动时，围带基本不动。
B01型：叶片组中心线两侧等距离的叶片振动相 位双双相反，对围带的作用力刚好相反，可抵
消。
B02型：叶片组中心线两侧等距离的叶片振动相 位双双相同，围带不动，组内各叶片的振动频
率也不相同，而是略有大小的一组频率数值— —频带，不容易避开激振力频率。
性力，惯性力，还有离心力，离心力对叶片将产生一个附加弯矩，阻止 振动叶片的弯曲变形，相当于增加叶片的抗弯刚度，使叶片振动频率升 高。 （2）叶片转动由于离心力的作用，有可能使叶根松动，从而使自振频率 下降，若叶轮刚度较低，这项影响可能大于叶片离心力产生的反弯矩， 使叶片的动频率反而比静频率低。 （3）振型不同，离心力影响不同 A0 轴向振动 低阶振动 B0 切向振动 高阶振动：节点多，振幅小，离心力对频率的影响小
根部无弯曲 x 0, dy0 0
dx
绝对的刚性无法做到，一方面叶根与轮缘是金属，弹性体，厚度有限， 受力后发生弹性形变，根部不可能不动，另一方面，根部与轮缘，叶 根和叶根之间的配合，不可能完全紧密贴合，难免有间隙，高温下轮 缘的膨胀大些，所以叶根振动时，相对于轮缘有松动。 叶片振动的影响，一使叶片的抗弯刚度减小，二是叶片的振动并没有 在叶身的底部截面上终止，要延伸到叶根中，相当于叶片振动部分的 长度增加，参加振动的质量变大，这些影响使叶片的自振频率降低。
低到高振型曲线上不动的节点数增加， A0 ，A1，A2型振动
A0在最低的自振频率下振动，一阶振型，顶部振幅最大，自上而下 逐渐减小，只有根部不动。
Ⅱ)B型振动 叶片叶身振动，顶端不振动，称B型振动，B0B1B2 上述振型中，A0型最危险，B0型次之
（2）轴向振动 振动沿最小主惯性轴（1－1）方向的振动称轴向振动。 理论上有A0、A1，但轴向惯性矩大，振动频率高，不易出现有节点的 轴 向振动。
各参数中弹性模量E与温度有关，t↑，E↓，f↓
修正方法有两种：
（1）根据叶片的实际工作温度，查该温度下材料的弹性模量，代入公式计算
（2）引入温度修正系数
Kt
Et E0
E0-常温下弹性模量，Kt可查具体材料得曲线
2、叶根部牢固修正系数
（1） 影响分析
推导公式过程中，边界条件为： 根部无位移 x 0, y0 0
（2）轴向振动
轴向振动要与叶轮的轴向振动来共同分析，同组中两部分叶片各作反 方向振动，围带上出现不振动的节点，每一叶片的振动同时伴有叶片 的扭转振动。
2、叶片组扭转振动
节线扭振和叶片组扭振（节点扭振）
今后我们主要讨论切向振动，因为 （1）切向振动是绕叶片最小主惯性轴的振动，即使很小的激振力也可能
用经验公式
（1）等截面叶片A0型
Bb
0.8
d l
0.85
（2）变截面叶片A0型 Bb 0.69 变截面沿叶高变化，一般取 2
3
dm
l
0
1 3
0.3 sin2
－l 根部
沿叶高变化较大，
1 3
0
五、叶片组自振频率计算
1、一般说明
单个叶片用围带或拉筋联接起来，成为叶片组，亦称叶栅
叶片振动时要受到围带或拉筋的反作用，使得叶片组的自振频率上有
身要受到围带或拉筋的作用，分两方面：（1）围带拉筋弯曲变形－ 反弯矩－相当于提高抗弯刚度，提高自振频率；（2）围带拉筋有质 量－惯性－降低自振频率。 所以叶片组自振频率的计算归结为受到附加反弯矩及质量惯性作用的 自由叶片计算。
A）l↑，i↓，↑，则叶根紧固程度的差异越小，K↑，自振频率的实测 值与计算值越接近。
B）当叶片较长，曲线趋于饱和，K＝0.95，所以根部固定对自振频率的 影响不大。
C）不同振型的根部牢固修正系数不同。
A1型根部牢固修正系数
（四）离心力的影响－叶片动频率
1、动频率：考虑叶片离心力影响后的叶片振动频率。 2、影响动频率的主要因素 （1）当叶片随转子高速旋转时，叶片振动受力的情况发生变化，除了弹
2、弯曲振动的微分方程式
书中P269式5.6.9
2 x2
[ EI x
2 y x2
]
Ax
2 y
2
0
（二）等截面叶片的自振频率计算
EI
4 y x4
A
2
y
2
0
求得频率方程式 cos(kl) 1
m Al
ch(kl)
用图解法求kl，两条曲线的交点有无数多个 f wp (kl)2 2 2
EI
（1） 假定叶片根部刚性固定在叶轮 （2） 不计叶片振动弯曲时剪力对扰度的影响 （3） 没有考虑工作温度的影响 （4） 没有考虑转速的影响 假定必须加以修正。 （1）（2）假定用叶根紧固修正系数修正 （3）用温度修正系数修正 （4）提出动频率的概念
由叶片自振频率计算公式 f (kl)2
2
EI 分析 ml 3