2023北京高三一模数学汇编：空间向量与立体几何

2023北京高三一模数学汇编
空间向量与立体几何
1．（2023·北京房山·统考一模）如图，已知正方体1111ABCD A B C D −，则下列结论中正确的是（ ）
A ．与三条直线111,,A
B C
C
D A 所成的角都相等的直线有且仅有一条 B ．与三条直线111,,AB CC D A 所成的角都相等的平面有且仅有一个 C ．到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等的点恰有两个 D ．到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等的点有无数个
2．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ⊥，2AC =，1BC =，
12AA =，点D 在棱AC 上，点E 在棱1BB 上，给出下列三个结论：
①三棱锥E ABD −的体积的最大值为23
；
②1A D DB +
③点D 到直线1C E ． 其中所有正确结论的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．（2023·北京西城·统考一模）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 上．
给出下列四个结论： ①MN 的最小值为2； ②四面体NMBC 的体积为
43
； ③有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直； ④存在点M ，N ，使MBN △为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____．
4．（2023·北京海淀·统考一模）如图，直三棱柱111ABC A B C 中，1AC BC ==，12AA =，AC BC ⊥，D 是1AA 的中点．
(1)证明：1C D ⊥平面BCD ；
(2)求直线CD 与平面1BC D 所成角的正弦值．
5．（2023·北京西城·统考一模）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，
1AB =，2PA AD CD ===．E 为棱PC 上一点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．再从条件①、条件②这两个
条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题
(1)求证：F 为PD 的中点； (2)求二面角B FC P −−的余弦值． 条件①：//BE AF ；
条件②：BE PC ⊥．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
6．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面是边长为2的菱形，AC 交BD 于点O ，60BAD ∠=︒，PB PD =．点E 是棱P A 的中点，连接OE ，OP ．
(1)求证：//OE 平面PCD ；
(2)若平面P AC 与平面PCD 知，求线段OP 的长．
条件①：平面PBD ⊥平面ABCD ； 条件②：PB AC ⊥．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
7．（2023·北京东城·统考一模）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AD ==，1BD 和1B D 交于点E ，F 为AB 的中点.
(1)求证：EF ∥平面11ADD A ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 （i ）平面CEF 与平面BCE 的夹角的余弦值； （ii ）点A 到平面CEF 的距离. 条件①：1CE B D ⊥；
条件②：直线1B D 与平面11BCC B 所成的角为
4
π. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
8．（2023·北京房山·统考一模）如图，四棱锥P ABCD −的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，
2PD DC AD ===，M 为BC 的中点.
(1)求证：AM ⊥平面PBD ；
(2)求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值； (3)求D 到平面APM 的距离.
9．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AC ，11A C
的中点，AB BC ==12AC AA ==．
(1)求证：AC ⊥平面BDE ；
(2)求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值； (3)求点D 到平面ABE 的距离．
10．（2023·北京石景山·统考一模）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等腰直角三角形，且π
2
PAD ∠=
，点F 为棱PC 上的点，平面ADF 与棱PB 交于点E .
(1)求证：//EF AD ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD 与平面ADFE 所成锐二面角的大小.
条件①：AE =
条件②：平面PAD ⊥平面ABCD ；
⊥.
条件③：PB FD
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
参考答案
1．D
【分析】所成的角都相等的直线有无数条，A 错误，成的角相等的平面有无数个，B 错误，距离相等的点有无数个，C 错误，D 正确，得到答案.
【详解】对选项A ：根据对称性知1AC 与三条直线的夹角相等，则与1AC 平行的直线都满足条件，有无数条，错误；
对选项B ：根据对称性知平面1A BD 与三条直线所成的角相等，则与平面1A BD 平行的平面都满足条件，有无数个，错误；
对选项C ：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，()1,0,0A ，()1,1,0B ，1DB 上一点(),,P a a a ，则()0,1,0AB =，()1,,PA a a a =−，(cos ,AB PA AB PA AB PA
a ⋅=
=
⋅
P 到直线AB
的距离为
21cos ,PA PA AB ⋅−
=
=
，
同理可得P 到直线1CC 和11D A 1DB 上的点到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相
等，故有无数个，错误；
对选项D ：1DB 上的点到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等，故有无数个，正确； 故选：D 2．C
【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将ABC 翻折到与矩形11ACC A 共面时连接1A B 交AC 于点D ，此时1A D DB +取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C 中1BB ⊥平面ABC ，
对于①：因为点E 在棱1BB 上112A B A B ==，所以[]0,2BE ∈，又1
3
E ABD ABD
V BE S
−=⋅，
又AC BC ⊥，2AC =，
1BC =，点D 在棱AC 上，所以[]0,2AD ∈，[]11
0,122
ABD
S
AD BC AD =
⋅=∈，
所以1
2
3
3
E ABD ABD
V BE S
−=⋅≤
，当且仅当D 在C 点、E 在1B 点时取等号，故①正确； 对于②：如图将ABC 翻折到与矩形11ACC A 共面时连接1A B 交AC 于点D ，此时1A D DB +取得最小值，
因为1112A C CC ==，1BC =，所以13BC =
，所以1A B == 即1A D DB +
对于③：如图建立空间直角坐标系，设(),0,0D a ，[]0,2a ∈，()0,1,E c ，[]0,2c ∈，
()10,0,2C ，
所以()1,0,2C D a =−，()10,1,2C E c =−，
则点D 到直线1C E 的距离
221
111C
D C
E d C D C E ⎛⎫⋅ ⎪=
−=
⎪⎝⎭=
当2c =时2d =≥， 当02c ≤<时()
2
024c <−≤，()21142c ≤−，()215142c +≥
−，则
(
)
2
416
01
512c <
≤
+−，
所以当
()
()
2
2
4221
c c −−+取最大值
165，且20a
=时min d = 即当D 在C 点E 在B 点时点D 到直线1C E ，故③正确；
故选：C 3．①②④
【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以M 为顶点，NBC 为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，利用空间坐标即可求解.
【详解】对于①，由于M 在1AD 上运动，N 在11B C 上运动，所以MN 的最小值就是两条直线之间距离11D C ，而112D C =，所以MN 的最小值为2；
对于②，11
1
2
33
M BNC BNC BNC V S
D C S −=⋅⋅=⋅，而1
2222
BNC
S
=⨯⨯=，所以四面体NMBC 的体积为43；
对于③，由题意可知，当M 与1D 重合，N 与1C 重合时， 111D C AD ⊥，又根据正方体性质可知，
111AD A B CD ⊥，所以当M 为1AD 中点，N 与1B 重合时，此时1MN AD ⊥，故与1AD 垂直的MN 不唯一，③错误；
对于④，当MBN △为等边三角形时，BM BN =，则此时1AM B N =.所以只需要BM 与BN 的夹角能等于π
3
即可.
以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x
轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如下图，
设1AM B N n ==，则由题意可得2M ⎛
⎝
，()2,2,0B ，
()2,2,2N n −，则可得BM ⎛=− ⎝
，(),0,2BN n =−，则12cos
2n BM BN MBN BM BN ⋅∠===⋅，整理可得
2120n n ⎫−+=⎪⎪⎝⎭，该方程看成关于n
的二次函数，44140⎫
∆=−⨯⨯=>⎪⎪⎝⎭，所以存
在n 使得MBN △为等边三角形. 故答案为：①②④ 4．(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明出1C D CB ⊥，1C D CD ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线CD 与平面1BC D 所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：在直三棱柱111ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，
以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,2C 、()1,0,1D ，
()0,1,0CB =、()1,0,1CD =、()11,0,1C D =−，
所以，10CB C D ⋅=，11010CD C D ⋅=+−=，则1C D CB ⊥，1C D CD ⊥， 又因为CB CD C =，CB 、CD ⊂平面BCD ，因此，1C D ⊥平面BCD . （2）解：设平面1BC D 的法向量为(),,m x y z =，()10,1,2BC =−， 则11200m BC y z m C D x z ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩
，取1z =，可得()1,2,1m =，
所以，cos ,2CD m CD m CD m
⋅=
=
=
⋅ 因此，CD 与平面1BC D . 5．(1)证明见解析
【分析】（1）若选条件①，利用线面平行判定定理和性质定理即可得出四边形ABEF 为平行四边形，又1
2
AB CD =即可得EF 为PCD 的中位线即可得出证明；若选条件②，利用勾股定理可得E 为PC 的中点，
再利用线面平行判定定理和性质定理即可得CD EF ∥，即可得出证明；
（2）建立以A 为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面BCF 的法向量为(2,1,3)m =−，易知AF 是平面
PCD 的一个法向量，根据空间向量夹角与二面角之间的关系即可求得结果. 【详解】（1）选条件①：BE AF ∥
因为//AB CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以//AB 平面PCD
因为平面ABEF ⋂平面PCD EF =， 所以AB EF ∥
又//BE AF ， 所以四边形ABEF 为平行四边形． 所以AB EF ∥且AB EF =．
因为//AB CD 且12
AB CD =，所以//EF CD 且1
2EF CD =．
所以EF 为PCD 的中位线． 所以F 为PD 的中点． 选条件②：BE PC ⊥．
因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．
在Rt PAB 中，
PB 在直角梯形ABCD 中，
由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =PB BC =． 因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点． 因为AB
CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以//AB 平面PCD ．
因为平面ABEF ⋂平面PCD EF =，所以AB EF ∥． 所以CD EF ∥， 所以F 为PD 的中点；
（2）由题可知因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥． 又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A x y z −，
则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．
所以(1,2,0)BC =，(,,)111BF =−，(0,1,1)AF =．
设平面BCF 的法向量为(,,)m x y z =，则·0·
0m BC m BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20,0.x y x y z +=⎧⎨−++=⎩ 令1y =−，则2x =，3z =．于是(2,1,3)m =−．
因为AB ⊥平面PAD ，且//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ，
又AF ⊂平面PAD ，所以AF CD ⊥．
又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．,,CD PD D CD PD ⋂=⊂平面PCD ，
所以AF ⊥平面PCD ，所以AF 是平面PCD 的一个法向量． 7cos ,7m AF
m AF m AF ⋅==
由题设，二面角B FC P −−的平面角为锐角，
所以二面角B FC P −−． 6．(1)证明见解析
【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；
(2)利用空间向量的坐标运算表示出平面P AC 与平面PCD 的夹角的余弦值，即可求解.
【详解】（1）因为底面ABCD 是菱形，所以O 是AC 中点，
因为E 是棱P A 的中点，所以//OE PC ，
又因为PC ⊂平面PCD , OE ⊄平面PCD ,
所以//OE 平面PCD.
（2）选择条件①:
因为PB PD =，O 是BD 的中点，所以PO BD ⊥,
因为平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD 平面ABCD BD =, PO ⊂平面PBD ，
所以PO ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以PO AC ⊥，
又AC BD ⊥，所以,,OB OC OP 两两垂直，
以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz −,
因为菱形的边长为2，60BAD ︒∠=
所以2,BD AC ==
所以(1,0,0),C D −设(0,0,)(0),P t t > 所以(1,3,0),(1,0,)DC DP t ==，
设(,,)n x y z =为平面PCD 的一个法向量，
由,,n DC n DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得0,0,
n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x x tz ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
取,,x y t z ==−=，所以(3,,n t t =−， 因为BO ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为1(1,0,0)=n ,
平面P AC 与平面PCD 的夹角的余弦值为
所以115cos ,5n n <>=
所以22543t t =+，所以23t =，因为0t >，所以0t >，所以t =.
所以线段OP
选择条件②:
因为PB AC ⊥.在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，
因为BD ⊂平面,PBD PB ⊂平面,PBD PB
BD B =,
所以AC ⊥平面PBD ,
因为PO ⊂平面PBD ，所以AC PO ⊥，因为,PO BD AC BD ⊥⊥,
所以,,OB OC OP 两两垂直，
以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz −,
因为菱形的边长为2，60BAD ︒∠=
所以2,BD AC ==
所以(1,0,0),C D −设(0,0,)(0),P t t > 所以(1,3,0),(1,0,)DC DP t ==，
设(,,)n x y z =为平面PCD 的一个法向量，
由,,n DC n DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩
得0,0,n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x x tz ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
取,,x y t z ==−=，所以(3,,n t t =−， 因为BO ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为1(1,0,0)=n ,
平面P AC 与平面PCD
所以115cos ,5n n <>=
所以22543t t =+，所以23t =，因为0t >，所以0t >，所以t =.
所以线段OP
7．(1)证明见解析
(2)（ⅰ）（ⅱ） 1
【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；
（2）若选条件①，利用1CE B D ⊥，通过推理论证得到1CD B C ==向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解；
若选条件②，利用1B D 与平面11BCC B 所成角为4
π，通过推理论证得到1CD B C ==，建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．
【详解】（1）如图，连接1AD ，11B D ，BD .
因为长方体1111ABCD A B C D −中,1BB ∥1DD 且11BB DD =，
所以四边形11BB D D 为平行四边形.
所以E 为1BD 的中点，
在1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点，
所以EF ∥1AD .
因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，
所以EF ∥平面11ADD A .
（2）选条件①：1CE B D ⊥.
(ⅰ)连接1B C .
因为长方体中12AA AD ==
，所以1=B C .
在1CBD △中,因为E 为1B D 的中点，1CE B D ⊥，
所以1CD B C ==
如图建立空间直角坐标系D xyz −，因为长方体中12A A AD ==
,CD =，
则(0,0,0)D ，(2,0,0)A
，(0,C
，B
，F ，
1B
，E .
所以(1,CE =
，(2,CF =，(2,0,0)CB =.
设平面CEF 的法向量为111(,,)m x y z =，
则0,0,m CE m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即111110,20.x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
令11x =
，则1y =11z =，可得(1,2,1)m =.
设平面BCE 的法向量为222(,,)n x y z =，
则0,0,n CE n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即2
2220,20.x z x ⎧+=⎪⎨=⎪
⎩ 令21y =，则20x =
，2z =(0,1,2)n =.
设平面CEF 与平面BCE 的夹角为θ ， 则||6cos |cos ,|.3
||||m
n m n m n θ
⋅
=<>== 所以平面CEF 与平面BCE
(ⅱ)因为(0,AF =，
所以点A 到平面CEF 的距离为||1||
AF m d m ⋅==. 选条件②：1B D 与平面11BCC B 所成角为
4
π. 连接1B C . 因为长方体1111ABCD A B C D −中，CD ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，
所以1CD B C ⊥.
所以1DB C ∠为直线1B D 与平面11BCC B 所成角，即14DB C π∠=
. 所以1DB C 为等腰直角三角形.
因为长方体中12AA AD ==，所以1=B C .
所以1CD B C ==
以下同选条件① .
8．(1)证明过程见解析
【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为2DC AD ==，M 为BC 的中点，
所以AD AB AB AM
=， 因为四棱锥P ABCD −的底面是矩形，
所以π2
DAB MBA ∠=∠=， 所以Rt Rt DAB ABM ∽，所以DBA AMB ∠=∠，
而π2MBD DBA ∠+∠=，即π2
MBD ANB AM DB ∠+∠=⇒⊥， 因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ，
所以PD AM ⊥，而,,DB
PB B DB PB =⊂平面PBD ，
所以AM ⊥平面PBD ；
（2）因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ，
所以,PD AD PD DC ⊥⊥，
因为因为四棱锥P ABCD −的底面是矩形，
所以AD DC ⊥，建立如下图所示的空间直角坐标系，
()(
)(
))
0,0,0,0,0,2,,2,0D P A M ， 因为PD ⊥平面ABCD ，
所以平面ABCD 的法向量为()0,0,2DP =，
设平面APM 的法向量为(),,n x y z =，
()22PA =−，()
2,2,0MA =−
，
于是有()202,1,220n PA z n n MA y ⎧⎧⊥−=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⊥−=
⎪⎪⎩⎩，
平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值为(DP n DP n
⋅==⋅ （3）由（2）可知平面APM
的法向量为()2,1,2n
=，4cos ,7
DP n 〈〉= 所以D 到平面APM
的距离为
cos ,2DP DP n ⋅〈〉=9．(1)证明见解析；
. 【分析】（1）根据线面垂直的性质得到DE AC ⊥，根据等腰三角形三线合一的性质得到AC BD ⊥，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2
）利用空间向量的方法求线面角即可；
（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.
【详解】（1）在三棱柱中，D ，E 为AC ，11A C 的中点，∴1DE AA ∥，
∵1AA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，
∵AC ⊂平面ABC ，∴DE AC ⊥，
在三角形ABC 中，AB BC =，D 为AC 中点，∴AC BD ⊥，
∵DE BD D ⋂=，,DE BD 平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE .
（2）
如图，以D 为原点，分别以,,DA DB DE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
在直角三角形ABD 中，AB =112
AD AC ==，∴2BD =， ()0,0,0D ，()0,0,2E ，()1,0,0A ，()0,2,0B ，
()0,0,2DE =，()1,2,0AB =−，()1,0,2AE =−，
设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，
2020AB m x y AE m x z ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩
，令2x =，则1y =，1z =，所以()2,1,1m =， 设直线DE 与平面ABE 所成角为θ，
所以sin cos ,2DE m
DE m DE m θ⋅====⨯⋅
（3）设点D 到平面ABE 的距离为d ，所以26DE m
d m ⋅=
=
= 10．(1)证明见解析
(2)
π3 【分析】（1）根据条件可以证明//AD 平面PBC ，再利用线面平行的性质定理即可证明出结论；
（2）选条件①②可以证明出,,AB AD AP 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz −，求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果;选条件①③或②③同样可以证明求解.
【详解】（1）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，
BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ,
所以//AD 平面PBC ，
又因为平面ADF 与PB 交于点E .
AD ⊂平面ADFE ，平面PBC ⋂平面,ADFE EF = 所以//EF AD .
（2）选条件①②
侧面PAD 为等腰直角三角形，且π,2
PAD ∠=
即2PA AD ==，PA AD ⊥
平面PAD ⊥平面ABCD ，
平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD , 则PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形， 所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.
以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，
则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)A P C B D 因为2AE =，所以点E 为PB 的中点，则(1,0,1)E 从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PC AD AE =−==， 设平面ADFE 的法向量为：(,,)n x y z =， 则020n AE x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩
， 令1x =，可得(1,0,1)n =−
设平面PCD 的法向量为：(,,)n a b c =，则
2202220n PD b c n PC a b c ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩
， 令1b =，可得(0,1,1)n = 所以1cos ,2PB n
PB n PB n ⋅== 则两平面所成的锐二面角为
π3
选条件①③
侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π
∠=即2,PA AD PA AD ==⊥
,AD AB PA AB A ⊥⋂=，且两直线在平面内，可得AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥. 又因为,,PB FD AD FD D ⊥⋂=且两直线在平面内， 则PB ⊥平面ADFE ,AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥ 因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点
又因为AE PAB 为等腰直角三角形， 下面同①②
选条件②③
侧面PAD 为等腰直角三角形，且2PAD π∠=
，
即2,PA AD PA AD ==⊥
平面PAD ⊥平面ABCD ，
平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD , 则PA ⊥平面,ABCD ABCD 为正方形，
所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.
又因为,,PB FD AD FD D ⊥⋂=且两直线在平面内，则PB ⊥平面ADFE ，AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥
因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点. 下面同①②。