2020学年新教材高中数学第三章函数单元质量测评新人教B版必修第一册(2021-2022学年)

第三章函数单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分，考试时间12０分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
１.函数ｆ（x）=错误!未定义书签。

的定义域为()
Ａ．（1，+∞)ﻩB．[1,＋∞）
C.[1,2)ﻩD．[1，2）∪（2,＋∞)
答案Ｄ
解析根据题意有错误!解得x≥1且x≠２。

２.函数y＝ｘ2－４x+１，ｘ∈[2，5］的值域是()
A．［1，６］ﻩ B.[－３,１]
C.[－3,6]
D.[－３,+∞）
答案Ｃ
解析因为ｙ=(x－２)2－３,函数在[2,+∞)上是增函数,又f(2）=-3,f(5)=６,所以x∈［2,５］时的值域是[-3,6]．
３.函数ｆ（ｘ）＝|ｘ-1|的图像是( ）
答案Ｂ
解析因为f（x)=|x－１|=错误!未定义书签。

由分段函数的作图方法可知Ｂ正确.
４.设函数f（x)＝错误!若f(α)=4，则实数α＝( ）
A．－4或－2 B.-４或2
Ｃ.－2或4ﻩD．－2或2
答案B
解析当α>０时，有α2＝4，∴α＝2;
当α≤0时,有-α=4，∴α＝－４。

因此，α=-4或2。

5．下列选项中正确的是( )
A．函数ｆ（x)=-x2＋x－6的单调增区间为错误!未定义书签。

Ｂ.函数f(ｘ）＝-x2在[0，+∞）上是增函数
C.函数f(x)＝＼f(1,x)在(－∞，+∞）上是减函数
D．函数f(ｘ)=－ｘ＋1是增函数
答案A
解析函数f(x）在错误!上是增函数，Ａ正确;函数ｆ(x）＝－x2在[0,＋∞)上是减函数,B错误;函数f(x)=错误!未定义书签。

在（-∞，0）和(０，＋∞）上是减函数，C错误；函数f(x)＝－x＋1在(-∞，+∞)上是减函数,Ｄ错误．故选A.
6.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过20０元,则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予９折优惠;
(3)如果超过500元，其500元内的按第（2)条给予优惠，超过500元的部分给予７折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和4２3元,假设他去一次购买上述同样的商品,则应付款是( )
Ａ．413。

7元 B.51３。

７元
C.548。

7元Ｄ．５４6．６元
答案D
解析因为1６８<200×0.9＝180，所以第一次购物原价为１6８元,因为2０0×０.9=1８0〈4２3〈500×0.9=４50,所以第二次购物原价为470元,两次购物原价的和为168＋4７0＝638元，若合一次付款，应付500×０。

9＋（63８－5０0)×0。

７=54６．6元,故选D。

7.函数ｆ(ｘ）＝错误!未定义书签。

－x+５的零点个数为(）
A．1 B．2
C．3 D.4
答案B
ﻬ解析令f(x）=０，得错误!未定义书签。

=x-5，∵函数y=1
x
与函数ｙ=x－5的图像有两个交
点,∴函数f(x)=错误!未定义书签。

－x+５有两个零点．
8．函数f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f（2－ａ)＋ｆ（４－a)<0,则a的取值范围是( )
A.a〈１Ｂ.a〈3
C．ａ〉1 Ｄ.a〉3
答案B
解析因为函数f（x）是定义在R上的奇函数且单调递减,又由f（2-a）+ｆ(４-ａ)<0，得f(2-a)＜－ｆ(４－a)=f(a－4）,所以2－a〉a-4，即a<3。

故选B。

9．设函数f(x）是Ｒ上的偶函数,且在(－∞,0)上为减函数．若x１<0，且ｘ1+ｘ2>0,则( )
Ａ．f（ｘ1)〉f(x2)
B.f(x1)=f(x2)
C.f（ｘ1)＜ｆ(x2)
Ｄ．无法比较f(x1)与ｆ（ｘ2）的大小
答案C
解析∵x１<0且x1＋ｘ2〉0，∴－x2〈x1〈0.
又函数ｆ（x)在(-∞,0)上为减函数，
∴ｆ（-x2）〉ｆ(x1).
而函数f(ｘ）又是偶函数,∴f(－x２）＝f(ｘ２)．
∴ｆ（x1）〈f(x2）．
10．已知定义域为R的函数f（x）满足f(a+b)＝f(ａ)·f（b）(a，b∈Ｒ)，且f(x）〉０,若f(１）＝错误!，则f（－2)等于()
Ａ.2 B.４
C.
1
２
D。

错误!
答案Ｂ
解析令a=ｂ=0，得f(0)=１，再令ｂ＝-ａ,则
f(a)f(－ａ）＝f(０）＝1,∴f(－a）＝＼ｆ(１,f(ａ）),又f(２)=f(1)f(1)=[f(１）］2，∴f(2)=错误!未定义书签。

,∴
f(－2)=错误!未定义书签。

＝4。

11．设函数ｆ（x)＝x２－2３x+６0，g（x)=f(x)+|ｆ(x)|，则g（1)+g(2）＋…+g(20）=( )
A.5６ﻩB．１1２
C.0D．38
答案Ｂ
解析由二次函数图像的性质,得当3≤x≤20时,ｆ（ｘ）+|f（x)｜=０,∴g（1)＋g(2)+…+g （20)＝ｇ(1)+g(2）＝１12.
1２.已知函数y＝f(x)和y=ｇ（x）在[-2,2]上的图像如图所示，则下列结论正确的是(）
Ａ.方程f[g(x)]＝0有且仅有6个实根
B.方程g[f(ｘ)]＝０有且仅有５个实根
C．方程ｆ［f(x)］＝0有且仅有4个实根
D．方程ｇ［g(x)]＝0有且仅有5个实根
答案A
解析A中满足ｆ（x）＝0的x值在区间［－２，2]上有三个，把这三个看作g(x)对应的ｙ值,则当ｇ(ｘ)等于这三个值中的每个时，都有两个值与之对应,故方程ｆ[ｇ(ｘ)]＝０有且仅有6个根；B中满足ｇ（x)＝0的x值在区间[－2,2]上有两个，一个在区间(－2,-1）上，一个在区间（0,１)上,把这两个看作ｆ（x)对应的y值，则当f(ｘ)等于这两个值时,在区间(-2,－1)上只有一个ｘ值与之对应,在区间（０，1)上有三个x值与之对应，故方程g［ｆ(x)］＝0有且只有4个根;C中满足f（x）=0的x值在区间[－2,2］上有三个，把这三个再看作f(x)对应的y值,在区间（-２,－1）上只有一个x值与之对应，在区间(1,2)上也只有一个x值与之对应,而f(ｘ)=０所对应的x值有三个,故方程ｆ［f(x)]=0有且仅有5个根；D中同样的方法可知方程g[g(ｘ)]＝0有且仅有４个根．故选A。

第Ⅱ卷（非选择题,共90分)
二、填空题（本大题共4小题,每小题５分,共20分.将答案填在题中的横线上)
１3.若函数ｆ(x)＝4ｘ4＋3x３＋2x2＋ｘ，则ｆ（x)_＿____(填序号).
①是奇函数；
②是偶函数;
③既不是奇函数也不是偶函数;
④既是奇函数又是偶函数．
答案③
解析∵f(-ｘ)＝4x4－3x3+2x2-x,
∴f(-ｘ）≠ｆ（ｘ）且f(－x)≠-f(x)，故f（x)既不是奇函数也不是偶函数.
１４．某批发商批发某种商品的单价P(单位：元/千克）与数量Q(单位:千克)之间的函数关系如图所示,现此零售商仅有现金270０元,他最多可购买这种商品__＿＿_＿_＿千克.
答案90
解析由题意可得批发这种商品所需费用ｙ(元)与数量Ｑ(千克)之间的函数关系式为
y＝错误!
从而易得30×50〈2７００<30×１0０，故该零售商购买这种商品的数量应在50与10０之间,故所购商品的数量最多为错误!未定义书签。

＝9０千克．
15．已知函数f(ｘ)＝4x2－mx+５在区间［－2,+∞)上是增函数，则f（1)的取值范围是__＿_＿＿__.
答案［25，+∞)
解析因为函数f(x)的增区间为错误!，函数在区间［－2,＋∞)上是增函数,
所以＼ｆ（m，8)≤－2，m≤-1６,－m≥16.
f(1）＝４－m＋５≥4＋１6+5＝25。

16．对任意的实数x1,x2,min｛ｘ1，x2｝表示x1，ｘ2中较小的那个数,若f(x)＝2-x２，g(x)=x,则min｛f(x)，g（x)}的最大值是________.
答案1
ﻬ解析不妨设h(x）=ｍiｎ{f（x)，ｇ(x)},
当２-x２〉ｘ，即-2＜x〈１时,h（x)＝x.
当２－x2≤x，即x≥1或ｘ≤－2时,h（x)＝2-x2。

故h（x）＝错误!
其图像如图中实线部分,当ｘ≤-2或x≥1时，为抛物线的一部分,当-２〈x〈1时，为线段.
由图像可知，当x取1时,ｈ(x）取最大值１.
所以min{f(x）,g(x)｝的最大值为1。

三、解答题(本大题共6小题,共７0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分)用单调性的定义证明函数ｆ(x)＝-x3＋１在(－∞,+∞）上是减函数．证明设x1,x2是(-∞,+∞)内的任意两个不相等的实数,且x1＜ｘ2,则x1-x２〈0,f(ｘ2）－f（x１)＝(-x错误!未定义书签。

＋1）－(－x错误!未定义书签。

＋1)＝x错误!－x错误!=(x１-x２）(ｘ
2+错误!x错误!未定义书2
1+x1x２+x错误!）=(ｘ１-x2）错误!。

因为ｘ１－x2〈０,错误!未定义书签。

签。

>0,所以f(ｘ２)－f(x1)＜0,因此函数f(x)在（-∞,＋∞)上是减函数．
18.（本小题满分１2分)已知两函数f(x)＝８x2+１6ｘ-k，ｇ(x)＝２ｘ2+4ｘ＋４，其中k为实数.
（1)对任意x∈［－３,3]，都有f(x)≤ｇ（ｘ)成立,求k的取值范围；
（２）存在x∈[－3,3］,使f（x）≤g(x)成立,求k的取值范围;
（3）对任意ｘ1，ｘ２∈［-3,3]，都有f（x1）≤g(x2)，求k的取值范围.
解(1)设h（x)=ｆ(ｘ)－g（ｘ）＝６ｘ2+12x-4-k,问题转化为x∈[－３,３]时,ｈ（x)≤0恒成立,故h（ｘ）maｘ≤０．由二次函数性质可知h(x)max=ｈ(3）＝８6－k，有８6－k≤0,得k≥8６.
（2)由题意，存在ｘ∈[－３,３]，使f(ｘ)≤g(ｘ)成立,即h（x）=f（x）－g(x）＝６ｘ2+12x －４-k≤0在ｘ∈[－３，3］时有解,故ｈ(ｘ)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min-h(-1)=-10－ｋ
,有-10－k≤0，得ｋ≥-10.
(3)对任意x１，ｘ２∈［-３,3],都有f(x1)≤g（x2）成立，所以f(ｘ)ｍａx≤ｇ(ｘ）mｉn,x∈［－３，3]．由二次函数的性质可得f(x)max=f(3）-120－k,g（x)min＝g(-１)＝２。

故有1２０－k≤２,得k≥１1８.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x〉0时,f（x）=x2＋３x－1,求f(x)的解析式.
解∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴ｆ(-ｘ）=-ｆ(x）.
∵当ｘ〈0时,－x＞０，
∴f（x)＝－f（－ｘ)=-［（－x）2+3(－x)－1］
＝－x2＋３x＋１。

又奇函数f(ｘ)在x＝0处有意义,∴ｆ(０)=0。

∴f（x）＝错误!未定义书签。

20．(本小题满分12分）已知函数f（x）=ax２+bx＋c(a〉０)，２ａ+3b+6c＝0，证明方程ｆ（x）=０至少有一个根在区间（0,1)上.
证明取区间(0,1）的中点错误!未定义书签。

,
f错误!=错误!a+错误!ｂ＋c=错误!未定义书签。

a＋错误!未定义书签。

b+错误!未定义书签。

＝-错误!未定义书签。

a<０,
下面只需证明区间（0,1）的两个端点处的函数值f（0）,f（1)至少有一个为正．因为f(0）＋f(1)=ｃ＋（a＋b＋c)＝a+b＋2c=a＋b+错误!=错误!a〉0，所以ｆ（0),f(1)至少有一个为正，则f（0）·f错误!＜０或ｆ错误!·f(1）〈０。

由零点的性质可知,函数f（x)至少有一个零点在区间(0,1）上,即方程f(x)＝0至少有一个根在区间（0，１)上.
２1．（本小题满分12分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时,学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x）表示学生掌握和接受概念的能力（f(x)的值越大，表示学生的接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位:min）,可用以下公式:
f（x)＝错误!未定义书签。

(1)讲课开始后５mｉn和讲课开始后20mｉn比较，何时学生的注意力更集中？
(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？
(3）一道数学难题,需要讲解13 ｍin,并且要求学生的注意力至少达到55,那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目?请说明理由.
解(1)f（5)＝53.5，f（20）＝4７〈５3.5，所以讲课开始后５ min学生的注意力更集中．
(2)当0＜x≤10时,ｆ(x)＝-０。

1（x-13）2＋59.９,
所以f(ｘ）mａｘ＝f(1０）=5９,
当１6＜x≤30时,f(x）<f（16）＝59,
所以，讲课开始后１０ｍin注意力最集中,能持续6min。

(3)当0〈x≤10时，令ｆ(x)＝55,则x＝６,
当１6<x≤3０时，令ｆ(x）=55,则ｘ=错误!未定义书签。

,所以学生能达到5５的接受能力的时间为错误!未定义书签。

-6＝错误!未定义书签。

〈13，所以,老师讲不完．
22.（本小题满分12分）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为Ｗ(x)万元.在年产量不足8万件时，Ｗ(x)=错误!未定义书签。

x2＋x(万元);在年产量不小于８万件时，W（ｘ)=6x+错误!未定义书签。

－38（万元).每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．（1）写出年利润L（x)（万元)关于年产量ｘ(万件）的函数解析式．（注：年利润＝年销售收入-固定成本－流动成本）
(２）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少？
解（１)因为每件产品售价为5元,则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得,
当0<x<8时,
L(ｘ)＝5ｘ-错误!－3＝-错误!未定义书签。

x２＋4x-3。

当ｘ≥8时，
L（ｘ)＝5x－错误!－3=３５-错误!。

所以L（x)=错误!
(2)当0<x〈8时，
Ｌ（x)＝-错误!未定义书签。

(x-6）2+9,
此时，当x=6时,L(x)取得最大值L(6)＝９(万元).
当ｘ≥8时,
L(x)=35－错误!≤3５-2错误!未定义书签。

＝35－20＝15(万元).
此时,当且仅当x=错误!未定义书签。

，即x=1０时,L（x)取得最大值15万元．
因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.。