高一数学向量数乘及几何意义
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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
问题提出
1.如何求作两个非零向量的和向量、差
向量？
a
a
a
b
a+b b
b
a- b
2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相 等的几个向量相加是否也能转化为数乘 运算呢？这需要从理论上进行探究.
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
λ (μ a)=(λ μ ) a ； (λ ＋μ ) a =λ a ＋μ a； λ (a＋ b)=λ a＋λ b.
思考3：对于向量a（a≠0）和b，若 存在实数λ ，使b=λ a，则向量a与b 的方向有什么关系？
思考4：若向量a（a≠0）与b共线，则 一定存在实数λ，使b=λ a成立吗？
思考5：综上可得向量共线定理：向量a （a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一 个实数λ ，使b=λ a. 若a＝0，上述定 理成立吗？
作业： P90练习：3，4，5，6.
地暖是地板辐射采暖的简称，英文为Radiant Floor Heating，是以整个地面为散热器，通过地板辐射层中的热媒，均匀加热整个地面，利用地面
自身的蓄热和热量向上辐射的规律由下至上进行传导，来达到取暖的目的。
水地暖是指把水加热到一定温度，输送到地板下的水管散热网络，通过地板发热而实现采暖目的的一种取暖方式。
思考6：若存在实数λ
，使
uuur AB
=
l
BuuCur，
则A、B、C三点的位置关系如何？
uuur uuur AB = l BC ?
A、B、C 共线
思考7：如图，若P为AB的中点，则 OuuPur与 OuuAur 、OuuBur 的关系如何？
O
uuur OP
=
1
uuur (OA
+
uuur OB )
2
上分为地板型地暖和地板砖型地暖；从功能上分为普通地暖和远红外地暖。
道：“这些家仆们是哪里来的？”“是京城壹户人家，得知宝光寺遭难，怕顾不上今年的施粥，就自行做好带来，帮了寺里的大忙了。”“做好 了自行带来的？”“是的，王爷。”闻听此言，王爷更是懊悔不已。这些日子太忙，居然忘记了宝光寺的事情，太惭愧了！忙问：“真是有心人， 本王自愧不如。请问这是哪户人家？本王要好好感谢壹番才是。”“王爷真是客气了，您是做大事的贵人。不过，老纳也是要说感谢，可是那户 人家死活不肯留名，老纳也不好强求，勉为其难不是出家人的本分。不过，那家的丫鬟也来了，现在还在后院歇息。王爷要是……”王爷壹听喜 出望外，立即派秦顺儿去打探。秦顺儿回复得跟主持壹样，对方死活不肯留下府名。王府的人出马都被拒绝，他的脸上壹阵红壹阵白的，很是觉 得面子上挂不住，秦顺儿这奴才干什么吃的，这么点儿小事儿还办不利落？这让爷的脸往哪儿搁？正待责问之际，忽见壹个丫鬟打扮的女子从眼 前走过，这人怎么这么眼熟呢？好像在哪儿见过似的？噢，想起来了，这个人不就是，不就是……情急之下，话到嘴边，可就是说不出来个子丑 寅卯！第壹卷 第十壹章 缘分唉，这不就是上次在寺院救火的时候见过的那个年家的丫头！王爷不知道她叫什么，又急着想拦住她，急得直哎哎。 秦顺儿也看到了，自是明白主子的意思，赶快冲上前去。因为他也不知道怎么称呼这个丫环，又着急完成爷的吩咐，只好壹边口中称呼着：“姑 娘，这边请，我家爷有话相问。”壹边不由分说，将含烟强行领到了王爷的面前。含烟本就因被壹个小太监强拉硬拽心里很是不满，待走上前来， 才发现这位爷竟是前些日子遇见的那个王爷，气儿就更不打壹处来。虽然她知道这位自命不凡的人物就是那个“本王”，但是能把丫鬟气成那个 样子，这“本王”在含烟的眼中，绝对是没有多少好感，虽然不像丫鬟那样，气得牙根痒痒。当然了，如果含烟知道这“本王”就是当今圣上的 皇四子，和硕雍亲王的话，肯定不至于这么壹脸爱搭不理了。倒不是因为含烟势利，而是不想给丫鬟找麻烦而已。“请问这位王爷大人，这么急 急火火地找来小女子有何贵干？”“本王只是想问壹下，今天这个施粥，是你们府上置备的？”“回大人，确实如此。”“为什么？”“什么为 什么？”“本王是想知道，你们府上怎么想起来施粥的事情。”“这当然是我们丫鬟菩萨心肠，大慈大悲，看不得谁家有难，也见不得旁人受 苦。”这些话，哪里是含烟壹个小丫环能说得出来的，完全是因为她天天跟冰凝在壹起，耳濡目染的结果。结果却是这番话说下来，简直让王爷 听呆了：果然是大户人家，连丫环说出来的话都这么头头是道，在情在理，很是佩服。而且他急于知道事情的原
低温地面热媒在室内形成脚底至头部逐渐递减的温度梯度，从而给人以脚暖头凉的舒适感。地面辐射供暖符合中医“温足顶凉”的健身理论，是
目前最舒适的采暖方式，也是现代生活品质的象征。
； www.hnhtnt.com/ 郑州地暖
jfh95mdg
从热媒介质上分为水地暖和电地暖两大类，从铺装结构上分为湿式地暖和干式地暖两种，干式地暖不需要豆石回填（属于超薄型）；从表面饰材
（1）|λ a|=|λ ||a|；
（2）λ >0时,λ a与a方向相同； λ <0时,λ a与a方向相反； λ =0时,λ a =0.
思DAu为uDu考rB与6C：的DuuM如中uur 图点分，，别设那有点么什M向么为量关△系BuAuDuB？rC与的Bu重uCur心，，
A
uuur BD
=
1
uuur BC
思考1：已知非零向量a，如何求作向
量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋
（－a）？
aHale Waihona Puke Baidu
aa a OA B C
uuur OC
=
a＋a＋a
－a －a －a
P NMO
uuur OP =（－a）＋（－a）＋（－a）
-2
思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋ （－a）＋（－a）分别如何简化其表示 形式？ a＋a＋a记为3a， （－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a.
例2 如图，已知任意两个非零向量a，
b，试作 =aO＋A b， =aO＋B 2b， OC =a＋3b.你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
3b
B
b a
2b
A
b
uuur uuur
Oa
A C = 2A B ? A、B、C 共线
例角 试3线 用相a,如交b图表于，示点平向M，行量且四MuuAu边rAu、uB形uMruuBuA=r B、aC，MuDuA的CuuruDur两、=Mu条buDu，r对
D
C
bM
Aa B
小结作业
1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量， 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义，向量除以非零实数就 是数乘向量.
2.若λ a=0，则可能有λ =0，也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据.
A PB
思考8：向量的加、减、数乘运算统称为 向量的线性运算，对于任意向量a、b， 以及任意实数λ 、x、y，λ (xa±yb）可 转化为什么运算？
λ (xa±yb）=λ xa±λ yb.
理论迁移
例1 计算 （1）（－3）×4a；
（2）3（a＋b）－2（a－b）－a； （3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.
思考3：向量3a和－3a与向量a的大小和 方向有什么关系？
a aa a OA B C
－a －a －a
P NMO
2
思还是考向4：量设吗a？为它非们零分向别量与，向那量么a3有a和什- 么2a 关系？
a
2
- 2a
a
3
思考5： 一般地，我们规定：实数λ与向 量a的积是一个向量，这种运算叫做向量 的数乘.记作λ a，该向量的长度与方向 与向量a有什么关系？
2
M B
C
uuur
uuuur
D
A D = - 3DM
探究二:向量的数乘运算性质
思考1：你认为－2×（5a），2a＋2b， (3 + 2)a可分别转化为什么运算？
-2× (5a)= -10a ；
2a ＋ 2b = 2(a+b)；
(3＋ 2 )a =3a＋ 2 a.
思考2：一般地，设λ ，μ 为实数，则 λ (μ a)，(λ ＋μ ) a，λ (a＋b)分别 等于什么？
问题提出
1.如何求作两个非零向量的和向量、差
向量？
a
a
a
b
a+b b
b
a- b
2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相 等的几个向量相加是否也能转化为数乘 运算呢？这需要从理论上进行探究.
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
λ (μ a)=(λ μ ) a ； (λ ＋μ ) a =λ a ＋μ a； λ (a＋ b)=λ a＋λ b.
思考3：对于向量a（a≠0）和b，若 存在实数λ ，使b=λ a，则向量a与b 的方向有什么关系？
思考4：若向量a（a≠0）与b共线，则 一定存在实数λ，使b=λ a成立吗？
思考5：综上可得向量共线定理：向量a （a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一 个实数λ ，使b=λ a. 若a＝0，上述定 理成立吗？
作业： P90练习：3，4，5，6.
地暖是地板辐射采暖的简称，英文为Radiant Floor Heating，是以整个地面为散热器，通过地板辐射层中的热媒，均匀加热整个地面，利用地面
自身的蓄热和热量向上辐射的规律由下至上进行传导，来达到取暖的目的。
水地暖是指把水加热到一定温度，输送到地板下的水管散热网络，通过地板发热而实现采暖目的的一种取暖方式。
思考6：若存在实数λ
，使
uuur AB
=
l
BuuCur，
则A、B、C三点的位置关系如何？
uuur uuur AB = l BC ?
A、B、C 共线
思考7：如图，若P为AB的中点，则 OuuPur与 OuuAur 、OuuBur 的关系如何？
O
uuur OP
=
1
uuur (OA
+
uuur OB )
2
上分为地板型地暖和地板砖型地暖；从功能上分为普通地暖和远红外地暖。
道：“这些家仆们是哪里来的？”“是京城壹户人家，得知宝光寺遭难，怕顾不上今年的施粥，就自行做好带来，帮了寺里的大忙了。”“做好 了自行带来的？”“是的，王爷。”闻听此言，王爷更是懊悔不已。这些日子太忙，居然忘记了宝光寺的事情，太惭愧了！忙问：“真是有心人， 本王自愧不如。请问这是哪户人家？本王要好好感谢壹番才是。”“王爷真是客气了，您是做大事的贵人。不过，老纳也是要说感谢，可是那户 人家死活不肯留名，老纳也不好强求，勉为其难不是出家人的本分。不过，那家的丫鬟也来了，现在还在后院歇息。王爷要是……”王爷壹听喜 出望外，立即派秦顺儿去打探。秦顺儿回复得跟主持壹样，对方死活不肯留下府名。王府的人出马都被拒绝，他的脸上壹阵红壹阵白的，很是觉 得面子上挂不住，秦顺儿这奴才干什么吃的，这么点儿小事儿还办不利落？这让爷的脸往哪儿搁？正待责问之际，忽见壹个丫鬟打扮的女子从眼 前走过，这人怎么这么眼熟呢？好像在哪儿见过似的？噢，想起来了，这个人不就是，不就是……情急之下，话到嘴边，可就是说不出来个子丑 寅卯！第壹卷 第十壹章 缘分唉，这不就是上次在寺院救火的时候见过的那个年家的丫头！王爷不知道她叫什么，又急着想拦住她，急得直哎哎。 秦顺儿也看到了，自是明白主子的意思，赶快冲上前去。因为他也不知道怎么称呼这个丫环，又着急完成爷的吩咐，只好壹边口中称呼着：“姑 娘，这边请，我家爷有话相问。”壹边不由分说，将含烟强行领到了王爷的面前。含烟本就因被壹个小太监强拉硬拽心里很是不满，待走上前来， 才发现这位爷竟是前些日子遇见的那个王爷，气儿就更不打壹处来。虽然她知道这位自命不凡的人物就是那个“本王”，但是能把丫鬟气成那个 样子，这“本王”在含烟的眼中，绝对是没有多少好感，虽然不像丫鬟那样，气得牙根痒痒。当然了，如果含烟知道这“本王”就是当今圣上的 皇四子，和硕雍亲王的话，肯定不至于这么壹脸爱搭不理了。倒不是因为含烟势利，而是不想给丫鬟找麻烦而已。“请问这位王爷大人，这么急 急火火地找来小女子有何贵干？”“本王只是想问壹下，今天这个施粥，是你们府上置备的？”“回大人，确实如此。”“为什么？”“什么为 什么？”“本王是想知道，你们府上怎么想起来施粥的事情。”“这当然是我们丫鬟菩萨心肠，大慈大悲，看不得谁家有难，也见不得旁人受 苦。”这些话，哪里是含烟壹个小丫环能说得出来的，完全是因为她天天跟冰凝在壹起，耳濡目染的结果。结果却是这番话说下来，简直让王爷 听呆了：果然是大户人家，连丫环说出来的话都这么头头是道，在情在理，很是佩服。而且他急于知道事情的原
低温地面热媒在室内形成脚底至头部逐渐递减的温度梯度，从而给人以脚暖头凉的舒适感。地面辐射供暖符合中医“温足顶凉”的健身理论，是
目前最舒适的采暖方式，也是现代生活品质的象征。
； www.hnhtnt.com/ 郑州地暖
jfh95mdg
从热媒介质上分为水地暖和电地暖两大类，从铺装结构上分为湿式地暖和干式地暖两种，干式地暖不需要豆石回填（属于超薄型）；从表面饰材
（1）|λ a|=|λ ||a|；
（2）λ >0时,λ a与a方向相同； λ <0时,λ a与a方向相反； λ =0时,λ a =0.
思DAu为uDu考rB与6C：的DuuM如中uur 图点分，，别设那有点么什M向么为量关△系BuAuDuB？rC与的Bu重uCur心，，
A
uuur BD
=
1
uuur BC
思考1：已知非零向量a，如何求作向
量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋
（－a）？
aHale Waihona Puke Baidu
aa a OA B C
uuur OC
=
a＋a＋a
－a －a －a
P NMO
uuur OP =（－a）＋（－a）＋（－a）
-2
思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋ （－a）＋（－a）分别如何简化其表示 形式？ a＋a＋a记为3a， （－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a.
例2 如图，已知任意两个非零向量a，
b，试作 =aO＋A b， =aO＋B 2b， OC =a＋3b.你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
3b
B
b a
2b
A
b
uuur uuur
Oa
A C = 2A B ? A、B、C 共线
例角 试3线 用相a,如交b图表于，示点平向M，行量且四MuuAu边rAu、uB形uMruuBuA=r B、aC，MuDuA的CuuruDur两、=Mu条buDu，r对
D
C
bM
Aa B
小结作业
1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量， 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义，向量除以非零实数就 是数乘向量.
2.若λ a=0，则可能有λ =0，也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据.
A PB
思考8：向量的加、减、数乘运算统称为 向量的线性运算，对于任意向量a、b， 以及任意实数λ 、x、y，λ (xa±yb）可 转化为什么运算？
λ (xa±yb）=λ xa±λ yb.
理论迁移
例1 计算 （1）（－3）×4a；
（2）3（a＋b）－2（a－b）－a； （3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.
思考3：向量3a和－3a与向量a的大小和 方向有什么关系？
a aa a OA B C
－a －a －a
P NMO
2
思还是考向4：量设吗a？为它非们零分向别量与，向那量么a3有a和什- 么2a 关系？
a
2
- 2a
a
3
思考5： 一般地，我们规定：实数λ与向 量a的积是一个向量，这种运算叫做向量 的数乘.记作λ a，该向量的长度与方向 与向量a有什么关系？
2
M B
C
uuur
uuuur
D
A D = - 3DM
探究二:向量的数乘运算性质
思考1：你认为－2×（5a），2a＋2b， (3 + 2)a可分别转化为什么运算？
-2× (5a)= -10a ；
2a ＋ 2b = 2(a+b)；
(3＋ 2 )a =3a＋ 2 a.
思考2：一般地，设λ ，μ 为实数，则 λ (μ a)，(λ ＋μ ) a，λ (a＋b)分别 等于什么？