贵阳专版2017中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第六节二次函数的实际应用精讲试题

第六节二次函数的实际应用
,贵阳五年中考命题规律)
,贵阳五年中考真题及模拟)
1．(2016贵阳中考3分)某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y ＝1001x 2
的形状．今在一个坡度为1∶5的斜坡上，沿水平距离间隔50 m 架设两固定电缆的位置离地面高度为20 m 的塔柱(如图)，这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为( C )
A ．12.75 m
B ．13.75 m
C ．14.75 m
D ．17.75 m
2．(2016贵阳考试说明)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为y 元．
(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2 200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2 200元？
解：(1)y ＝(210－10x)(50＋x －40)＝－10x 2＋110x ＋2 100(0<x ≤15且x 为整数)；(2)y ＝－10(x －5.5)2
＋2 402.5.∵a＝－10<0，∴当x ＝5.5时，y 有最大值2 402.5.∵0<x≤15，且x 为整数，当x ＝5时，50＋x ＝55，y ＝2 400(元)，当x ＝6时，50＋x ＝56，y ＝2 400元，∴当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最
大的月利润是2 400元；(3)当y ＝2 200时，－10x 2
＋110x ＋2 100＝2 200，解得x 1＝1，x 2＝10.∴当x ＝1时，50＋x ＝51，当x ＝10时，50＋x ＝60.∴当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2 200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2 200元(或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2 200元)
3．(2016贵阳模拟)工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．
(1)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
(2)若每件工艺品按(1)中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售时，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？
(3)在(2)的情况下，物价部门规定该商场在该工艺品的经营上每天获得的利润不能超过 4 800元，而商场在该商品的经营中，每天所获得的利润不想低于4 704元，应该如何定价该工艺品？
解：(1)设该工艺品标价为x元/件，则进价为(x－45)元，由题意可得：8[85%x－(x－45)]＝12[x－35－(x－45)]，解得x＝200，∴进价为：200－45＝155.答：这种工艺品的进价为155元，标价为200元；(2)设每天所获得的利润为W元，每件降价m元，则W＝(45－m)(100＋4m)＝－4m2＋80m＋4 500＝－4(m－10)2＋4 900，当m＝10时，W得到最大值为4 900，即当每件降价10元时，获利最多，为4 900元；(3)W＝－4m2＋80m＋4 500，当W＝4 800时，4 800＝－4m2＋80m＋4 500，解得：m＝15或m＝5，标价为195元或185元；当W＝4 704时，4 704＝－4m2＋80m＋4 500，解得m＝17或m＝3，标价为183元或197元，由函数图象性质得，商品的售价不小于183元且不大于185元，或者售价不小于195元且不大于197元．
,中考考点清单)
二次函数的实际应用
解二次函数应用题步骤及关键点
续表
,中考重难点突破)
二次函数的实际应用
【例】(2015贵阳考试说明)某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y＝－2x＋100.(利润＝售价－制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？
(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
【解析】(1)根据每月的利润z＝(x－18)y，再把y＝－2x＋100代入即可求出z与x之间的函数关系式．
(2)把z＝440代入z＝－2x2＋136x－1 800，解这个方程即可．
(3)根据厂商每月的制造成本不超过540万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润．
【学生解答】
解：(1)z＝(x－18)y＝(x－18)(－2x＋100)＝－2x2＋136x－1 800；(2)由z＝440，得440＝－2x2＋136x－1 800，解这个方程得x1＝28，x2＝40，所以，销售单价定为28元或40元；(3)∵厂商每月的制造成本不超过540万元，每件制造成本为18元，∴每月的生产量为：小于等于30万件，y＝－2x＋100≤30，解得x≥35，又由限价40元，得35≤x≤40，∵z＝－2x2＋136x－1 800＝－2(x－34)2＋512，∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，∴x＝35时，z最大为510万元．当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．
1．(2016咸宁中考)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？
(3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
解：(1)y ＝300＋30(60－x)＝－30x ＋2 100；(2)设每星期的销售利润为W 元，依题意，得W ＝(x －40)(－
30x ＋2 100)＝－30x 2＋3 300x －84 000＝－30(x －55)2
＋6 750.∵a＝－30＜0，∴x＝55时，W 最大值＝6
750(元)．即每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6 750元；(3)由题意，得－30(x －55)
2
＋6 750＝6 480，解这个方程，得x 1＝52，x 2＝58.∵抛物线W ＝－30(x －55)2
＋6 750的开口向下，∴当52≤x ≤58时，每星期的销售利润不低于6 480元．∴在y ＝－30x ＋2 100中，k ＝－30＜0，y 随x 的增大而减小．∴当x ＝58时，y 最小值＝－30×58＋2 100＝360.即每星期至少要销售该款童装360件．
2．(2016丹东中考)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(kg )，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6 750 kg? (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(kg )最大？最大产量是多少？
解：(1)设函数的表达式为y ＝kx ＋b ，该一次函数过点(12，74)，(28，66)，根据题意，得66＝28k ＋b ，74＝12k ＋b ，
解得b ＝80，k ＝－0.5，
∴该函数的表达式为y ＝－0.5x ＋80；(2)根据题意，得(－0.5x ＋80)(80＋x)＝6 750，解这个方程得，x 1＝10，x 2＝70.∵投入成本最低，∴x 2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实 6
750 kg ；(3)根据题意，得w ＝(－0.5x ＋80)(80＋x)＝－0.5x 2＋40x ＋6 400＝－0.5(x －40)2
＋7 200.∵a＝－0.5<0，则抛物线开口向下，函数有最大值．∴当x ＝40时，w 最大值为7 200 kg .∴当增种果树40棵时，果园的
最大产量是7 200 kg.。