曲阳县第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

曲阳县第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设a 是函数
x 的零点，若x 0＞a ，则f （x 0）的值满足（ ）
A ．f （x 0）=0
B ．f （x 0）＜0
C ．f （x 0）＞0
D ．f （x 0）的符号不确定
2．
某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π
3． 已知集合{
}
{
2
|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[]1,3
C ．(]3,5
D ．[]3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．
4． 已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x ），且⊥，则实数x 的值是（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣
D ．
5． 函数f （x ）=log 2（x+2）﹣（x ＞0）的零点所在的大致区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，e ） D ．（3，4）
6． 已知a ＞0，实数x ，y 满足：，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ）
A ．2
B ．1
C ．
D ．
7．已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R
8．已知集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则A∩B=B成立的实数a的取值范围是（）
A．{a|3≤a≤4} B．{a|3＜a≤4} C．{a|3＜a＜4} D．∅
9．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，点P从A点沿半圆弧运动至B点，设∠AOP＝x，将动点P到A，B 两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）
10．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．15B．
C．15D．15
【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 11．如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12．已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ） A ．{2,1,0}-- B ．{1,0,1,2}- C ．{2,1,0}-- D ．{1,,0,1}- 【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
二、填空题
13．若实数x ，y 满足x 2
+y 2
﹣2x+4y=0，则x ﹣2y 的最大值为 ． 14．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x ）=k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范
围是 ．
15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
16．下列命题：
①集合{},,,a b c d 的子集个数有16个； ②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；
③2
()(21)2(21)f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数；
④A R =，B R =，1
:||
f x x →，从集合A 到集合B 的对应关系f 是映射； ⑤1
()f x x
=
在定义域上是减函数． 其中真命题的序号是 ．
17．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．
18．定积分
sintcostdt= ．
三、解答题
19．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AB=2，
（1）证明：BC 1∥平面A 1CD ；
（2）求异面直线BC 1和A 1D 所成角的大小； （3）求三棱锥A 1﹣DEC 的体积．
20．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数()()2
21ln f x ax a x x =+--，R a ∈．
⑴若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值； ⑵若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围； ⑶设()1
sin 8
g x x =，若对()10,x ∀∈+∞，[]20,πx ∃∈，使得()()122f x g x +≥成立，求整数a 的最小值．
21．已知函数()()x f x x k e =-（k R ∈）． （1）求()f x 的单调区间和极值； （2）求()f x 在[]1,2x ∈上的最小值．
（3）设()()'()g x f x f x =+，若对35,22k ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
及[]0,1x ∀∈有()g x λ≥恒成立，求实数λ的取值范围．
22．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n （单位：台，n ∈N ）的函数解析式f （n ）；
10n
（单位：元），求X 的分布列及数学期望．
23．（本小题满分10分）
已知曲线
22
:1
49
x y
C+=，直线
2,
:
22,
x t
l
y t
=+
⎧
⎨
=-
⎩
（为参数）.
（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求||
PA的最大值与最小值.
24．已知，且．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）若，求sinβ的值．
曲阳县第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：作出y=2x
和y=log
x 的函数图象，如图：
由图象可知当x 0＞a 时，2＞log x 0，
∴f （x 0）=2﹣log
x 0＞0．
故选：C ．
2． 【答案】
【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．
依题意得（2r ×2r ＋1
2πr 2）×2＋5×2r ×2＋5×2r ＋πr ×5＝92＋14π，
即（8＋π）r 2＋（30＋5π）r －（92＋14π）＝0， 即（r －2）[（8＋π）r ＋46＋7π]＝0， ∴r ＝2，
∴该几何体的体积为（4×4＋1
2π×22）×5＝80＋10π.
3． 【答案】D
【解析】
{}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A B ∴=，故选D.
4． 【答案】A
【解析】解：∵ =（2，﹣3，1），=（4，2，x ），且⊥，
∴=0，
∴8﹣6+x=0；
∴x=﹣2；
故选A．
【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x的方程求出x的值．
5．【答案】B
【解析】解：∵f（1）=﹣3＜0，f（2）=﹣=2﹣＞0，
∴函数f（x）=log2（x+2）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（1，2），
故选：B．
6．【答案】C
【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，
由，解得，
即C（1，﹣1），
∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，
∴﹣1=﹣2a，
解得a=．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
7．【答案】A
【解析】解：由A={x|x≥0}，且A∩B=B，所以B⊆A．
A、{x|x≥0}={x|x≥0}=A，故本选项正确；
B、{x|x≤1，x∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误；
C、若B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}≠B，故本选项错误；
D、给出的集合是R，不合题意，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．
8．【答案】A
【解析】解：∵A={x|a﹣1≤x≤a+2}
B={x|3＜x＜5}
∵A∩B=B
∴A⊇B
∴
解得：3≤a≤4
故选A
【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，通过对集合间的关系转化为元素的关系，属于基础题．
9．【答案】
【解析】选B.取AP的中点M，
则P A ＝2AM ＝2OA sin ∠AOM
＝2sin x
2，
PB ＝2OM ＝2OA ·cos ∠AOM ＝2cos x
2
，
∴y ＝f （x ）＝P A ＋PB ＝2sin x 2＋2cos x 2＝22sin （x 2＋π
4），x ∈[0，π]，根据解析式可知，只有B 选项符合要求，
故选B. 10．【答案】C
【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面
ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积
为1S =262创
?11
23+2
2622
创创?
15=，故选C ．
46
46
10
10
1
1
32
6
E V
D C
B
A
11．【答案】D
【解析】解：∵P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，
∴sin θcos θ＜0，cos θ＞0，
∴sin θ＜0， ∴θ是第四象限角． 故选：D ．
【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】当{2,1,0,1,2,3}x ∈--时，||3{3,2,1,0}y x =-∈---，所以A B ={2,1,0}--，故选C ．
二、填空题
13．【答案】10
【解析】
【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x ﹣2y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=x ﹣2y 过图形上的点A 的坐标，即可求解．
【解答】解：方程x2+y2﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，
即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）
设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，
经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大，
最大值为：10．
故答案为：10．
14．【答案】（0，1）．
【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：
令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，
即方程f（x）=k有三个不同的实根，
故答案为（0，1）．
【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．
15．【答案】 ．
【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中底面是边长为1的正方形，有一侧棱垂直与底面，高为2．
∴棱锥的体积V==．
故答案为．
16．【答案】①② 【解析】
试题分析：子集的个数是2n
，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③()2
41f x x =-为偶函数，故错误.
对于④0x =没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2n
个；对于
奇函数来说，如果在0x =处有定义，那么一定有()00f =，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要根据定义()()()(),f x f x f x f x -=-=-，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A 中任意一个
元素在集合B 中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1 17．【答案】63
【解析】解：解方程x 2﹣5x+4=0，得x 1=1，x 2=4．
因为数列{a n }是递增数列，且a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根， 所以a 1=1，a 3=4．
设等比数列{a n }的公比为q ，则，所以q=2．
则
．
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题．
18．【答案】 ．
【解析】解： 0sintcostdt=
0sin2td （2t ）=
（﹣cos2t ）|=×（1+1）=．
故答案为：
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：连接AC 1与A 1C 相交于点F ，连接DF ， 由矩形ACC 1A 1可得点F 是AC 1的中点，又D 是AB 的中点，
∴DF ∥BC 1，
∵BC 1⊄平面A 1CD ，DF ⊂平面A 1CD ，
∴BC 1∥平面A 1CD ； …
（2）解：由（1）可得∠A 1DF 或其补角为异面直线BC 1和A 1D 所成角．
DF=BC 1=
=1，A 1D=
=
，A 1F=A 1C=1．
在△A 1DF 中，由余弦定理可得：cos ∠A 1DF==
，
∵∠A 1DF ∈（0，π），∴∠A 1DF=
，
∴异面直线BC 1和A 1D 所成角的大小；…
（3）解：∵AC=BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，
∵平面ABB 1A 1∩平面ABC=AB ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1，CD==1．
∴
=
﹣S △BDE ﹣
﹣=
∴三棱锥C ﹣A 1DE 的体积V=
…
【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC 1和A 1D 所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．
20．【答案】⑴2a =⑵11,,64
⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
⑶2
【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数f x （）求导，由导数的几何意义分析可得曲线y f x =（） 在点
11f （，（））处的切线方程，代入点
211（，），计算可得答案； （2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（23，）上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；
（3）由题意得，2min max f x g x +≥（）（），
分析可得必有()()2
15
218
f x ax a x lnx +--≥＝ ，对f x （）求导，
对a 分类讨论即可得答案． 试题解析：
⑵
()()()
211'ax x f x x
-+=
，
∴若函数()f x 在区间()2,3上单调递增，则210y ax =-≥在()2,3恒成立，
410{ 610
a a -≥∴-≥，得14a ≥；
若函数()f x 在区间()2,3上单调递减，则210y ax =-≤在()2,3恒成立，
410{
610
a a -≤∴-≤，得1
6a ≤，
综上，实数a 的取值范围为11,,64
⎛⎤
⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣
⎭
；
⑶由题意得，()()min max 2f x g x +≥，
()max 1
28g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，
()min 158f x ∴≥，即()()215
21ln 8
f x ax a x x =+--≥，
由()()()()()2
22112111'221ax a x ax x f x ax a x x x
+---+=+--==， 当0a ≤时，()10f <，则不合题意；
当0a >时，由()'0f x =，得1
2x a
=或1x =-（舍去）， 当1
02x a
<<时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当1
2x a
>
时，()'0f x >，()f x 单调递增．
()min 115
28f x f a ⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭
，即117ln 428a a --≥， 整理得，()117
ln 2228a a -⋅
≥， 设()1ln 2h x x x =-，()211
02h x x x
∴=+>'，()h x ∴单调递增，
a Z ∈，2a ∴为偶数，
又()172ln248h =-<，()17
4ln488
h =->，
24a ∴≥，故整数a 的最小值为2。

21．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(1,)k -+∞，单调递减区间为(,1)k -∞-，
1()(1)k f x f k e -=-=-极小值，无极大值；（2）2k ≤时()(1)(1)f x f k e ==-最小值，23k <<时1()(1)k f x f k e -=-=-最小值，3k ≥时，2()(2)(2)f x f k e ==-最小值；（3）2e λ≤-.
【解析】
（2）当11k -≤，即2k ≤时，()f x 在[]1,2上递增，∴()(1)(1)f x f k e ==-最小值；
当12k -≥，即3k ≥时，()f x 在[]1,2上递减，∴2
()(2)(2)f x f k e ==-最小值；
当112k <-<，即23k <<时，()f x 在[]1,1k -上递减，在[]1,2k -上递增， ∴1
()(1)k f x f k e
-=-=-最小值．
（3）()(221)x
g x x k e =-+，∴'()(223)x
g x x k e =-+，
由'()0g x =，得32
x k =-
，
当3
2x k <-
时，'()0g x <； 当3
2
x k >-时，'()0g x >，
∴()g x 在3(,)2k -∞-上递减，在3
(,)2
k -+∞递增，
故323
()()22
k g x g k e -=-=-最小值，
又∵35,22k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴[]30,12k -∈，∴当[]0,1x ∈时，323()()22k g x g k e -=-=-最小值，
∴()g x λ≥对[]0,1x ∀∈恒成立等价于32
()2k g x e λ-
=-≥最小值；
又32
()2k g x e λ-
=-≥最小值对35,22k ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
恒成立．
∴3
2
min (2)k e
k --≥，故2e λ≤-．1
考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的. 22．【答案】
【解析】解：（I ）当n ≥20时，f （n ）=500×20+200×（n ﹣20）=200n+6000， 当n ≤19时，f （n ）=500×n ﹣100×（20﹣n ）=600n ﹣2000，
∴
．
（ II ）由（1）得f （18）=8800，f （19）=9400，f （20）=10000，f （21）=10200，f （22）=10400， ∴P （X=8800）=0.1，P （X=9400）=0.2，P （X=10000）=0.3，P （X=10200）=0.3，P （X=10400）=0.1， X
23．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，26y x =-+；（2.
【解析】
试题分析：（1）由平方关系和曲线C 方程写出曲线C 的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C 的参数方程设曲线上C 任意一点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P 直线的距离，利用正弦函数求出PA ，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA 的最大值与最小值. 试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩，（为参数），直线的普通方程为26y x =-+.
（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到的距离为4cos 3sin 6|d θθ=
+-．
则|||5sin()6|sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取
.当sin()1θα+=时，||PA 考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程. 24．【答案】
【解析】解：（1）将sin +cos
=
两边平方得：（sin
+cos
）2=sin
2
+2sin cos
+cos 2
=1+sin α=，
∴sin α=，
∵α∈（，π），
∴cos α=﹣=﹣
；
（2）∵α∈（，π），β∈（0，），
∴α+β∈（
，
），
∵sin （α+β）=﹣＜0，
∴α+β∈（π，），
∴cos （α+β）=﹣
=﹣，
则sin β=sin=sin （α+β）cos α﹣cos （α+β）sin α=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=
+
=
．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．。