第六章 相关分析与回归分析

b＜0,y 有随 x 的增加而减少的趋势
●●●回归直线一定通过由观测值的平均值（x,y ）所组成的点：
∵ yˆ a bx
a y bx
∴ yˆ y bx bx y b(x x)
当 xx 时， yˆ y，即回归直线通过点（x,y ）
●直线回归方程配置的实例
实例：对表 6-1 的北碚大红番茄果实横径与果重进行回归分析
| r |愈接近于 1，相关愈密切 | r |愈接近于 0，相关愈不密切 0＜r＜1 时，为正相关 －1＜r＜0 时，为负相关 ●相关系数计算的实例： 实例：表 6-1 为番茄果实横径与果实重的观测值，求其相关性。
表 6-1 北碚大红番茄果实横径与果实重
果实横径（cm）
果重（g）
x
y
10.0
140
其中： r
n
[ x2 ( x)2 ][ y 2 ( y)2 ]
n
n
x、y——为两个变数的成对观测值 n——为观测值的对数（样本容量）
●●相关系数的性质：
●●●r 的符号取决于 x、y 离均差的乘积和（lxy 或 SP）；符号的
性质表示两个变数之间的相关性质，即
r＞0，表示正相关
r＜0，表示负相关
∑y2=133071.0
n=10
a=-23.834
b=16.425
r=0.9931
结论：北碚大红番茄果实横径与果实重量的回归方程为：
yˆ 23.834 16.425 x
●回归关系的显著性测定——有 3 种方法。 ●●直线回归方程的方差分析
●●●y 的总变异的分解
SS y lyy ( y y)2 [( y yˆ) ( yˆ y)]2 ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 2 ( y yˆ)(yˆ y) ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 其中： 2 ( y yˆ )( yˆ y) =0
●●曲线相关与曲线回归——当一个变数的值增大时，另一个变数的值也增大， 但增大到一定大小时，增加幅度逐渐缓慢或者反而减少。其相互关系可用曲线来表 示。
二、直线相关与直线回归
1．直线相关（linear correlation） ●相关系数（correlation coefficient）
衡量变数之间相关关系密切程度的数量化指标，叫相关系数。 用 r 表示。 ●●相关系数的定义公式
●●●将 t 值与 tα进行比较：
t≥tα，否定 H0，接受 HA：ρ≠0 t＜tα，肯定 H0，即两变数之间相关关系不密切。
表 6-1 资料中， df=10-2=8 时，t0.01=3.354。 t=24.0077＞t0.01=3.354。
故：北碚大红番茄果实横径与果实重量之间的正相关关系极显著。
●回归分析与相关分析的应用 由于数理统计学的发展，回归分析与相关关系的应用范围已被突破，无论自变数与因 变数能否被明确区分，均可进行回归分析和相关关系。
3．相关与回归的类别 ●按照所研究性状的数量分为 3 类
●●简单相关与简单回归——研究 2 个变数之间的相互关系而没有涉及到其它变 数。称为简单相关与简单回归。
●●直线回归方程的建立（即如何根据 x 和 y 的实测值确定 直线方程 y=a+bx 中的 a 和 b）
要使 yˆ =a+bx 能够最好地代表 y 与 x 在数量上的互变关系， 根据最小平方法，必须使：
Q
n
( y
yˆ ) 2
n
( y
a
bx)2
最小
1
1
根据微分学上求极小值原理，分别对 a 和 b 求一阶偏导，则有：
9.6
132
9.2
130
8.9
121
8.5
116
8.0
108
7.8
105
7.7
106
7.4
95
7.0
x =8.41
90 y
=114.30
∑x=84.1
∑y=1143.0
∑x2=716.15
∑y2=133071.0
∑xy=9578.3
n=10 r=0.9931
●相关系数的检验 相关系数的数值总是在－1 到 1 范围内，那么，相关系数的数值应为多大，才能表示两个变数之间
第六章 相关分析与回归分析
一、相关与回归的概念
1．变数之间关系的分类：可分为 2 类 ●函数关系——处于同一个统一体中的两个变数，它们互相联系着同时在
变化，其中一个变数变化了，另一个变数按照一定的规律 也相应地变化，而且一个变数取定某个数值，另一个变数 也按照一定的规律有一个完全确定的对应值。这种关系也 称为确定性关系。 例如：在化学分析中比色测定时所用的比耳定律，就是函数关系，用 E 表示消光，C 表示溶液浓度，对于同一性质的溶液，当溶液的厚度和光 源一定时，消光 E 与溶液的浓度 C 成正比，即 E=RC。也就是说如果溶液 浓度 C 为已知，则消光 E 是可以准确地计算出来的。 函数关系常见于物质、化学学科中，而在生物现象中极为少见。
●●净相关与净回归——只研究 2 个变数之间的相互关系而把其它变数加以固定， 从而求出两个变数之间的单纯关系。
●●复相关与复回归——研究多个变数与一个变数之间的相互关系。 ●按照所研究性状之间相互关系表现的图形分为 2 类
●●直线相关与直线回归——当增加一个变数的值时，另一个变数的值也增加；或 增大一个变数的值，另一个变数的值反而减小。前者 称为正相关或正回归，后者称为负相关或负回归，其 相互关系可用直线来表示。
r (x x)( y y) (x x)2 (y y)2
或r
lxy
lxxlyy 或 r
SP
SSxSSy 其中：
lxy 或 SP：为 x 和 y 离均差的乘积和
lxx 或 SSx：为 x 的离均差的平方和 lyy 或 SSy：为 y 的离均差的平方和
●●相关系数的计算公式：
xy ( x)( y)
在生物学和农业科学中很多变数之间的关系都是相关关系。 ●函数关系与相关关系之间是可以互相转化的。
●●由于测量误差及实验条件的变化等原因，函数关系在实际工作中往往 通过相关关系表现出来。例如，在比色分析中，当计算未知溶液的浓度时， 不是按比耳定律的公式计算的，而是用一系列实测数据制定的标准曲线来估 测的。这就是函数关系转化成了相关关系。
Q a
0
Q
b
0
anbx y
ax
bx2
xy
称为正规方程组
a y bx
解之：
b
xy ( x)( y) n
x2 ( x)2 n
(x x)( y (x x)2
y)
SP SS x
●●直线回归方程的特点
●●●回归系数 b 的符号：
b＞0,y 有随 x 的增加而增加的趋势
取决于 SP，且
●●直接查表法：
t r
根据
1 r 2 ≥ta 时，可否定 H0 这一情况，数理统计工作者根据不同显著水平及自由
n2
度下的 t 临界值即 tα计算出了不同自由度下达到不同显著水平时的相关系数 r 的临界值，列
成 r 表。利用此表，就可对 r 直接进行判定，不必再计算 t 值了。表 6-1 资料中，r=0.9931，
相关关系——在研究相关关系时，变数之间不能明确区分为自变数与因变数 的，数理统计学上称为相关关系。如大豆种子中蛋白质含量与 脂肪含量之间的关系。
●回归分析与相关分析 ●●回归分析——数理统计学上处理回归关系的方法叫回归分析。回归分析的内容 有 4 个方面。 ●●●对可以区分为自变数与因变数的两个（或多个）特定变数的实测数据进行 计算研究，配置一个合适的数学方程以表达变数之间的关系。这种方程， 数理统计学上称为回归方程。 ●●●对回归方程进行检验 ●●●分析多个自变数对因变数影响作用的大小 ●●●利用回归方程进行预测预报 ●●相关分析——数理统计学上处理相关关系的方法叫相关分析。相关分析的内容 有： ●●●对两个（或多个）特定变数的实测数据进行计算研究，求出一个数量性指 标，称为相关系数。用它来表示变数之间相关关系密切的程度。 ●●●对相关系数进行检验
SS y
SS x
r 2 (SP) 2 / SS x SS y
：表示由 x 不同而引起的 y 的平方和U ( yˆ y)2
占y的
总平方和 SSy=( y y)2 的比率
r 2 (SP) 2 / SS y SS x
：表示由 y 不同而引起的 x 的平方和 (xˆ x)2 占 x 的总
平方和 SSx= (x x)2 的比率
亦即：r2 就是 y 的变异中可由 x 与 y 的协变来解释的比重，1-r2 即为相疏系 数或非决定性系数，说明不能由协变来解释的比重。
●●决定系数与相关关系的区别：
●●●除|r|=1 和 0 的情况外，r2 总是小于 r。这就可以防止对相关系数所表示的相
关程度作夸张的解释。如，r=0.5，只是说明由 x 的不同引起的 y 变异的平
t r
Sr
其中：Sr 为相关系数标准差 S r
1 r 2 n2
n-2：为双变数的自由度
1－r2：为非决定性系数，它代表 y 的变异中不能由 x 与 y 的协变关系来解释的百分比。
代入 Sr 则有：
t r 1 r 2
n2
表 6-1 资料中，
t 0.9931 24.0077 1 0.99312
10 2
即：SSy=Q+U
( yˆ y)2 ——它是 y 的理论值（回归值或估计值）与其平均数之间的误差，因为
●●当对事物的关系了解得更加深刻时，相关关系又可转化为函数关 系。在科学史上很多反映自然规律的公式就是这样逐步形成的。
E
Y
0
C
a 函数关系
X b 相关关系
2．回归与相关的概念 ●回归关系与相关关系
回归关系——在研究相关关系时，当变数之间可以明确区分为自变数与因 变数的，数理统计学上称为回归关系。如作物的产量与施肥 量之间的关系。
表 6-2 北碚大红番茄果实横径与果实
果实横径（cm）x
果重（g）y
10.0
140
9.6
132
9.2
130
8.9
121
8.5
Байду номын сангаас
116
8.0
108
7.8
105
7.7
106
7.4
7.0 x =8.41 ∑x=84.1
∑x2=716.15
∑xy=9578.3
95
90 y =114.30 ∑y=1143.0
n=10，df=n-2=8，r0.01=0.765 r=0.9931**＞t0.01，所以 r 达到极显著水准。
●决定系数（determination coefficient）
●●决定系数——相关系数 r 的平方，即 r2
r 2 (SP)2 (SP)2 / SSx (SP)2 / SS y
SSx • SS y
回归方程来描述。即：
yˆ = a+bx
读作：y 依 x 的直线回归
其中 yˆ 是和 x 的量相对应的依变数 y 的点估计值
x 是自变数
a 是 x=0 时的yˆ 值，即回归直线在 y 轴上的截距，叫回归截距
b 是 x 每增加一个单位数时，yˆ 平均地将要增加（b＞0）或减少
（b＜0）的单位数，叫回归系数。
●●●|r|愈大，两变数的相关程度越高。 ●●●r 的取值范围为：0≤|r|≤1
r 取值范围的物理意义： | r |=1 时，所有点都在一条直线上，此时 x 与 y 为完全相关（确定性关系）。
r=1 时，完全正相关 r= -1 时，完全负相关 r=0 时，一是散点很分散，x 与 y 没有任何关系
二是 x 与 y 呈曲线关系 0＜| r |＜1，两变数呈相关关系
●相关关系——处于同一个统一体中的两个变数，它们也相互联系着同时在 变化，其中一个变数变化了，另一个变数也按一定的规律相 应地变化，但是当一个变数取定某个数值时，另一个变数出 现的对应值不是完全确定的，而是在一定范围内波动的。
例如：作物产量与土壤肥力的关系，就是相关关系。我们知道在一定限 度内肥力高的土壤其生产力也相应地较高，但不能根据土壤肥力指标来计算 出一个完全确定的作物产量，只能估计出一个作物产量的数值范围。
方和仅占 y 总变异平方和的 r2=0.25，而不 0.5。
●●●r 值可正可负，而 r2 则一律为正值，其取值区间为[0，1]。所以，r2 只表示
相关程度，不表示相关性质。
2．直线回归（linear regression）
●直线回归方程式（linear regression equation）
●●对于在散点图上呈直线趋势的两个变数，它们在数量上的互变规律，可用直线
的相关关系密切（显著）呢？因此，需要对相关系数进行检验。方法有 2 种。 ●●t 检验法 用 t 检验法对 r 的显著性进行检验，其步骤和检验方法与两个样本平均数差异显著性 t 检验法相似。
●●●H0：ρ=0 即假定在一个双变数正态总体中，x 与 y 变数间的相关系数ρ=0
●●●在ρ=0 的假设下，从这个双变数总体中抽取一个样本，并求 t 值：