广东省梅县高级中学、大埔县虎山中学2019_2020学年高二数学12月联考试题

广东省梅县高级中学、大埔县虎山中学2019-2020学年高二数学12月
联考试题
分数：150分，时间：120分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的1
2，则圆锥的体积( )
A ．缩小到原来的一半
B ．扩大到原来的2倍
C ．不变
D ．缩小到原来的 1
6
2．在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则1(+)2
AB BD BC +=u u u r u u u r u u u r
( ).
A. AG u u u r
B. CG u u u r
C. BG u u u r
D. 12
BC u u u
r
3.如图所示的是水平放置的三角形直观图，D ′是△A ′B ′C ′中B ′C ′边上的一点，且D ′离C ′比D ′离B ′近，又A ′D ′∥y ′轴，那么原△ABC 的AB 、AD 、AC 三条线段中( ) A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC 4．在△ABC 中，“︒>30A ”是“2
1
sin >
A ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R)所表示的直线( )
A ．恒过定点(－2,3)
B ． 恒过点(－2,3)和点(2,3)
C ．恒过定点(2,3)
D ．都是平行直线
6．已知M(-2,0),N(2,0),则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为(
)
A ． x 2
+y 2
=2 B ．x 2
+y 2
=4 C ．x 2
+y 2
=2(x ≠±2) D ．x 2
+y 2
=4(x ≠±2)
7．过点()2,2-P 且与12
22
=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A ．14222=-x y B. 12422=-y x C ．12422=-x y D. 14
222=-y x
8．若ab ≠0，则ax -y +b =0和bx 2+ay 2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的 ( )
9.椭圆22
1259
x y +=的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则∆PF 1F 2
的面积为（ ）
A.8
B.9
C.10
D.12
10. 设Q P ,分别为圆()262
2
=-+y x 和椭圆110
22
=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离
是（ ）
A. 25
B.246+
C.27+
D.26
11.直线x-2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ． k ≥1
B ．k ≤－1
C ．－1≤k ≤1且k ≠0
D ．k ≤－1或k ≥1 12． 已知O 为坐标原点，F 是双曲线()22
22
:
10,0x y a b a b Γ-=>>的左焦点，,A B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则Γ的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ．3
2 D ．43
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．
的位置上．
13．命题3
:0,10p x x ∀≥-≥，则p ⌝为 。

14．抛物线的的方程为2
2x y =，则抛物线的焦点坐标为____________
15．若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5，从长方体的一条对角线的一个端点
出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________． 16．以下三个关于圆锥曲线的命题中：
①设A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若｜PA ｜－｜PB ｜＝K ，则动点P 的轨迹是双曲线。

②方程22-520x x +=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
③双曲线192522=-y x 与椭圆135
22
=+y x 有相同的焦点。

④已知抛物线y 2
=2px,以过焦点的一条弦AB 为直径作圆，则此圆与准线相切 其中真命题为 （写出所以真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A(1,3)
和点B(5,2)的距离相等，求直线l 的方程．
18．（本题满分12分）已知a,b,c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且
C a A c cos sin 3=
⑴ 求C 的值
⑵ 若32,2==b a c ，求△ABC 的面积.
19.（本题满分12分）如图6，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC ＝AD ，DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．
求证：(1)AF//平面BCE ； (2)平面BCE ⊥平面CDE.
20.（本小题满分12分）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点．
(1)当|PF|＝2时，求点P 的坐标；
(2)求点P 到直线y ＝x-10的距离的最小值．
21．（本题满分12分）在直角梯形PBCD 中，∠D=∠C=2
π
，BC=CD=2，PD=4，A 为PD 的中点，如图1．将△PAB 沿AB 折到△SAB 的位置，使SB ⊥BC ，点E 在SD 上，且13
SE SD =u u r u u u r
，如图2．
(1)求证：SA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角E-AC-D 的正切值；
22．（本题满分12分）已知直线10x y -+=经过椭圆S ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦
点和一个顶点． （1）求椭圆S 的方程；
（2）如图，,M N 分别是椭圆S 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,P A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ．
① 若直线PA 平分线段MN ，求k 的值； ② 对任意0k >，求证：PA PB ⊥．
2019年高级中学、虎山中学两校联考答案
一、选择题:AACBA DACBD CB
二、填空题：13. 01,03
00<-≥∃x x 14.（
1
8
，0） 15. 74 16. ②③④ 17．解： 由⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －y －10＝0
x ＋y －2＝0得交点为(3，－1)，………3分
当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k(x －3)，………4分 则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|
k 2＋1，………5分 解得k ＝－1
4，……… 7分
所以直线l 的方程为y ＋1＝－1
4(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0；………8分 又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意．………9分 故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求．………10分 18．解:⑴因为、为△ABC 的内角，由csinA=acosC 知sinA ≠0，cosC ≠0 ，………
1分
由正弦定理可得：,………3分
所以 , ………4分 因为
, 所以6
π
=
C .………5分
⑵ 由c=2a 结合正弦定理得sinA=
21 sinC=4
1
，………7分 因为a ＜c,所以A ＜C,所以cosA==
,………8分
所以
=
,………10分 由正弦定理得：，………11分
所以△ABC 的面积.………12分
19.【证明】 (1)因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB//DE.………1分
取CE 的中点G ，连接BG ，GF ，因为F 为CD 的中点， 所以GF//E//BA ，………2分 GF ＝1
2ED ＝BA ，………3分
从而ABGF 是平行四边形，于是AF//BG.………4分 因为AF ⊂平面BCE ，BG
平面BCE ，所以AF ∥平面BCE.………5分
(2)因为AB ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF ，………6分 即ABGF 是矩形，所以AF ⊥GF.………7分 又AC ＝AD ，所以AF ⊥CD. ………8分
而CD ∩GF ＝F ，所以AF ⊥平面GCD ，即AF ⊥平面CDE.………10分 因为AF//BG ，所以BG ⊥平面CDE.………11分
因为BG ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE.………12分
20.解：(1)依题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ，a 2
4(a>0)，易知F(0，1)，………2分
因为|PF|＝2，结合抛物线的定义得a 2
4＋1＝2，即a ＝2，………4分 所以点P 的坐标为(2，1)．………5分
(2)设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ，a 2
4(a>0)，………6分
则点P 到直线y ＝x-10的距离d ＝
⎪⎪⎪⎪⎪⎪a-a 2
4-102
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
a 2
4-a ＋102
.………8分
因为a 2
4-a ＋10＝1
4(a-2)2＋9，………10分
所以当a ＝2时，a
2
4-a ＋10取得最小值9，………11分
故点P 到直线y ＝x-10的距离的最小值d min ＝9
2＝9
2 2.………12分
21．解法一：(1)证明：在题图1中，由题意可知，BA ⊥PD ，ABCD 为正方形， 所以在题图2中，SA ⊥AB ，SA=2，………1分
四边形ABCD 是边长为2的正方形， 因为SB ⊥BC ，AB ⊥BC ， 所以BC ⊥平面SAB ，………3分
又SA ⊂平面SAB ， 所以BC ⊥SA ， ………4分
又SA ⊥AB ， 所以SA ⊥平面ABCD ，……………………5分
(2) 在AD 上取一点O ，使13
AO AD =u u u r u u u r
，连接EO ． ………6分
因为13
SE SD =u u r u u u r
，所以EO ∥SA 所以EO ⊥平面ABCD ， ………7分
过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ， 则AC ⊥平面EOH ，所以AC ⊥EH ． ………8分 所以∠EHO 为二面角E-AC-D 的平面角，．………9分 在Rt △AHO 中，45HAO ∠=o ，2
sin 453
HO AO ==
o ，………10分 tan 22EO
EHO OH
∠=
=即二面角E-AC-D 的正切值为22．……………………12分
解法二：(1)同方法一 ………………………………5分
(2)如图，以A 为原点建立直角坐标系， A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，
0)，S(0，0，2)，E 24(0,,)33 ………7分
易知平面ACD 的法向为(0,0,2)AS =u u u r
………8分
设平面EAC 的法向量为(,,)n x y z =r ，24
(2,2,0),(0,,)33
AC AE ==u u u r u u u r
由00n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
r u u u r r u u u r 所以020x y y z +=⎧⎨+=⎩，可取(2,2,1)n =-r ………10分
所以1
cos ,3
||||n AS n AS n AS ⋅<>==r u u u r
r u u u r r u u u r 所以tan ,2n AS <>=r u u u r ………11分 即二面角E-AC-D 的正切值为22． ………………………………12分
22．解：（1）在直线10x y -+=中令x=0得y=1；令y=0得x=-1，
由题意得c=b=1， ∴2
2a =，则椭圆方程为2
212
x y +=． …………3分
（2）①由(2,0)M -，(0,1)N -，,M N 的中点坐标为21()22
-
-， 所以2
2
k =
． ……………………………………………6分 ②解法一：将直线PA 方程y kx =代入2212
x y +=，解得212x k =+， 2
12m k
=+，则(,),(,)P m mk A m mk --，于是(,0)C m ，
故直线AB 的方程为0()()2
mk k
y x m x m m m +=
-=-+，
代入椭圆方程得2
2
2
2
2
(2)280k x k mx k m +-+-=，由2222
A B k m
x x k +=+，
因此23
2
2(32)(,)22m k mk B k k +++， ………………………………………………9分 ∴(2,2)AP m mk =u u u r ， 2322222
(32)22(,)(,)2222m k mk mk mk
PB m mk k k k k +=--=-++++u u u r ， ∴2222222022
mk mk
AP PB m mk k k ⋅=⨯-⨯=++u u u r u u u r ，∴AP PB ⊥u u u r u u u r ，故PA PB ⊥．…………12分
解法二：由题意设00(,)P x y ，00(,)A x y --，11(,)B x y ，则0(,0)C x ，
∵,,A C B 三点共线， ∴0101
10010
2y y y y x x x x x +==-+，……………………………………8分
又因为点,P B 在椭圆上， ∴222
201011,122
x x y y +=+=，
两式相减得：010101012()
PB y y x x
k x x y y -+=
=--+，……………………………………………10分
∴001010100101012()12()2()PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y ⎡⎤⎡⎤+++⋅=
⋅-=-=-⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦
，
．……………………………………………………12分∴PA PB。