第二节 数列的极限

第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
如果按照某一法则，对每个n N +∈，对应着一个确定的实数n x ，这些实数n x 按照下标n 从小到大排列得到的一个系列
12,,,,n x x x 就叫做数列，记为{}.n x
数列中的每一个数叫做数列的项，第n 项n x 叫做数列的一般项（或通项）． 数列{}n x 可以看作自变量为正整数n 的函数
(),.n x f n n N +=∈
当自变量n 依次取一切正整数1,2,3, 时，对应的函数值就排成数列{}.n x
一个非常重要的问题是：当n 无限增大时（即n →∞时），对应的()n x f n =是否无限接近某个确定的数值？
对于数列()1
1n n n -⎧⎫+-⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，其通项
()()
1
1
11
11.n n n n x n
n
--+-=
=+- ()
()0
112345111
1111111,111,1,1,1,1122345
x x x x x =+-=+=+-=-=+=-=+ 67891011111
1,1,1,1,1,
678910x x x x x =-=+=-=+=-1112131411111,1,1,1,11121314
x x x x =+
=-=+=- 易知，当n 无限增大时，n x 的值无限接近于1.也即当n 无限增大时，()
1
11
11n n x n n
--=-=的值无限接近零． 给定
1
100，要使 11100
n x -<， 只需
11100n <，即100n >．故当100n >时，1
1.100
n x -<
给定
1
1000，要使 1
11000
n x -<， 只需
111000
n <，即1000.n >故当1000n >时，1
1.1000n x -<
一般地，任意给定一个正数ε，存在一个正整数N ，使得当n N >时，不等式 1n x ε-<
都成立．事实上，要使
11n x n ε-=
<，只需1n ε>．故取正整数1max ,1N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
，则当n N >时，n ε1⎡⎤
>⎢⎥⎣⎦，1n ε>，
1.n x ε-<
注：设m 为整数，x 为实数，且[]m x >，则.m x >这是因为m 为整数，且[]m x >，所以[]111.m x x x ≥+>-+=
一般地，有如下数列极限的定义．
定义 设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时，有
n x a ε-<，
那么就称常数a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a ，记为
lim ,n n x a →∞
=或().n x a n →→∞
例1 证明数列()1
1n n n -⎧⎫+-⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的极限是1.
证 上面已经证过，在此从略可 例2 已知()
()
2
11n n x n -=
+，证明数列{}n x 的极限是0.
证 ()
()
()
2
2
2
11
1
011n n x n n n --=
=
<
++ 0ε∀>，要使0n x ε-<，只需
2
1
n ε<
，即n >
取正整数max ,1N ⎧⎫⎪⎪
=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，则当n N >时，有
0.n x ε-< 故lim 0.n n x →∞
=
例3 设1q <，证明等比数列 211,,,,,n q q q -
的极限是0.
证 0ε∀>，要使
1
110n n n q q q
ε----==<，
只需1
ln ln ,n q
ε-<即
()ln 1ln ln ,1.ln n q n q
ε
ε-<>+
取正整数ln max 1,1ln N q ε⎧⎫⎡
⎤⎪⎪
=+
⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩
⎭
，则当n N >时，有 0n x ε-<， 故1lim 0.n n q -→∞
=
二、收敛数列的性质
定理1 如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一． 证 假设同时有n x a →及n x b →，且a b <．取2
b a
ε-=．因为lim n n x a →∞=，故存在正整
数1N ，使得当1n N >时，
.2
n b a
x a --<
（2-2） 因为lim n n x b →∞
=，所以存在正整数2N ，使得当2n N >时，
.2
n b a
x b --<
（2-3） 取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时（2-2）和（2-3）同时成立．故当n N >时，由（2-2）得.2n a b x +<
当n N >时，由（2-3）得2
n a b
x +>
．矛盾． 例4 证明数列()
()1
11,2,n n x n +=-= 是分散的．
证 如果这数列是收敛的，根据定理1，它有唯一的极限．设极限为a ，即lim .n n x a →∞
=按
数列极限定义，对于12
ε=，∃正整数N ，当n N >时，
11
111
,,,.22
222n n n x a a x
a x a a ⎛
⎫-<-<
<+∈-+ ⎪⎝
⎭
但这是不可能的，因为当
n N >且n 为奇数时，1n x =-，当n N >且n 为偶数时1n x =，而1和1-不可能同时属于长度为1的开区间11,22a a ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
内． 对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得
,1,2,n x M n ≤= ，
则称数列{}n x 有界．否则称数列{}n x 无界． 数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
有界，数列{}
2n 无界．
定理2（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 有界．
证 因为数列{}n x 收敛，设lim n n x a →∞
=．根据数列数列极限定义，对于1ε=，存在正整数
N ，当n N >时，
1n x a -<． 于是，当n N >时，
()1.n n n x x a a x a a a =-+≤-+<+ 取{}12max ,,,,1N M x x x a =+ ，则
,.n x M n N +≤∈ 故数列{}n x 有界．
定理3（收敛数列的保号性）如果lim n n x a →∞
=，且0a >（或0a <），那么存在正整数N ，
当n N >时，0n x >（或0n x <）．
证 就0a >的情形证明．由数列极限定义，对02
a
ε=
>，∃正整数N ，当n N >时， ,2
n a
x a -<
于是， 0.22
n a a
x a >-
=> 推论 如果数列{}n x 从某项起0n x ≥（或0n x ≤），且lim n n x a →∞
=，那么0a ≥（或0a ≤）．
证 只证明其中一种情形，另一种情形类似可证．如果数列{}n x 从某项起有0n x ≥，则存在正整数1N ，当1n N >时，0n x ≥．
假设lim 0n n x a →∞
=<，则由定理3得，∃正整数2N ，当2n N >时，0.n x <取正整数
{}12max ,N N N =，则当n N >时，1n N >，2n N >，由1n N >得0n x ≥，但由2n N >得0n x <，矛盾．
习题1-2
1.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察{}n x 的变化趋势，写出它们的极限：
（1）12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
；
解 收敛，1
lim
0.2n n →∞= （3）212n ⎧
⎫+⎨⎬⎩⎭；
解 收敛，lim n →∞212 2.n ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
（5）(){
}1n
n -；
解 发散．
（7）1n n ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭；
解 发散．
2.（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？ （2）无界数列是否一定发散？ （3）有界数列是否一定收敛？ 解 （1）必要条件． （2）一定发散．
（3）未必一定收敛，如数列(){
}1n
-有界，但它是发散的．
5.根据数列极限的定义证明：
（1）2
1
lim
0n n →∞=； 证 0ε∀>，要使
2211
0n n ε-=<，只需n >．
取正整数max ,1N
⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，则当n N >时，
2
1
0n ε-<， 故2
1
lim
0.n n →∞= （2）313
lim 212
n n n →∞+=+；
证 因为
()31311
.2122214n n n n +-=<++ 0ε∀>，当
1
4n
ε<时，
313.212n n ε+-<+ 要使
14n ε<，只需1
.4n ε
> 取正整数1max ,14N ε⎧⎫
⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，
313.212n n ε+-<+故313
lim .212
n n n →∞+=+
（3） 1.n →∞= 证 当0a =时，所给的数列为常数列，显然有此结论． 以下设0.a ≠因为
2
2
212a n -=<．
0ε∀>，当2
22a n ε<时，
1ε<．要使2
22a n ε<，只需n >．取正整数
max ,1N ⎧⎫⎪⎪
=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，则当n N >1 1.-<故 1.n →∞=
（4）lim0.999=1.n n →∞
个
证 0ε∀>，要使10.999110n
n ε-=< 个
，只需1lg n ε
>． 取正整数1max lg ,1N ε⎧⎫
⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，
0.9991n ε-< 个
．故lim 0.999=1.n n →∞
个
7.设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞
=，证明：lim 0.n n n x y →∞
=
证 因数列{}n x 有界，故0M ∃>，使得对一切n N +∈有.n x M ≤0ε∀>，由于lim n n y →∞
=
0，故对1M
ε
ε=
，N N +∃∈，当n N >时，1n y M
ε
ε<=
，从而
0,n n n n x y x y M M
ε
ε-=<⋅=
所以lim 0.n n n x y →∞
=。