陕西省延安市第一中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)

2019－2020学年度第一学期期中
高一年级数学试题
注意事项：
1.全卷满分120分，答题时间100分钟；
2.答卷前，考生须准确填写自己的班级、姓名、考号；
3.所有答案请对号入座，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，书写要工整、清晰；
4.考试结束，监考教师将答题纸收回.
第Ⅰ卷选择题（共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.设全集{,,,,}U a b c d e =，集合{,,,}A a b c d =，{,,}B c d e =，则集合()U C A B ⋂=（ ） A. {}d
B. {},a b
C. {},,b c d
D.
{,,}a b e
【答案】D 【解析】 【分析】
先计算A B I ，再计算()U C A B I 得到答案.
【详解】{,,,}A a b c d =，{,,}B c d e =，故{},A B c d ⋂=
{}(),,U C A B a b e ⋂=
故选：D
【点睛】本题考查了交集和补集的计算，属于简单题型. 2.函数()f x 与函数2log y x =互为反函数，则()f x =（ ） A. 2x B. 2x
C. 2x
D. 1()2
x
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用反函数定义进行计算得到答案.
【详解】根据2log y x =得到2y x =，故反函数为()2x f x = 故选：C
【点睛】本题考查了反函数的计算，属于基础题型. 3.已知集合S ={}中的三个元素可构成
ABC 的三条边长，那么
ABC 一定不是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三
角形 【答案】D 【解析】 【详解】因为集合中的元素是的三边长，
由集合元素的互异性可知互不相等，
所以一定不是等腰三角形,
故选D.
4.在区间(0，＋∞)上是增函数是（ ） A. x
y e =
B. 1y x =-
C. 1
()3
x
y =
D.
3y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
依次判断每个选项的单调性，判断得到答案. 【详解】A. x
y e =，在R 上单调递增，正确；
B. 1y x =-，在(1,)+∞上单调递增，(,1)-∞上单调递减，错误；
C. 1()3
x
y =，在R 上单调递减，错误； D. 3
y x =-，在R 上单调递减，错误； 故选：A
【点睛】本题考查了函数的单调性，记住常规函数的单调性是解题的关键.
5.如果函数2
()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围
是（ ） A. 3a ≤- B. 3a ≥- C. 5a ≤ D. 5a ≥
【答案】A 【解析】 【分析】
根据开口向上的二次函数在对称轴左边单调递减，即可求出a 的取值范围。

【详解】2
()2(1)2f x x a x =+-+的对称轴为2(1)
12
a x a -=-
=- ， 又2
()2(1)2f x x a x =+-+开口向上，即在(,1]a -∞-上单调递减 即(],4-∞(,1]a ⊆-∞- 即413a a ≤-⇒≤- 故选A
【点睛】本题考查二次函数的单调性与单调区间的子区间，主要注意区分函数在(,)a b 上是减函数与函数的单调递减区间为(,)a b ，属于基础题。

6.满足条件{}{}0,10,1A ⋃=的所有集合A 的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D 【解析】
由{}{}0,10,1A ⋃=易知：集合A ⊆{}0,1，而集合{}0,1的子集个数为22=4 故选D
7.函数2
2log (1)y x =-的单调增区间是（ ）
A.
0,)+∞（ B.
0)∞（-, C. ∞（1,+) D. 1∞（-,)
【答案】C 【解析】 【分析】
将函数分解为2log y u =和21u x =-，利用复合函数的单调性得到答案. 【详解】2
2log (1)y x =-定义域为：2101x x ->∴>或1x <-
将函数分为2log y u =和21u x =-，利用复合函数单调性得到：
0x ≥时，21u x =-单调递增，所以2
2log (1)y x =-单调递增； 0x <时，21u x =-单调递减，所以2
2log (1)y x =-单调递减.
综上所述：单调增区间是∞（1,+) 故选：C
【点睛】本题考查了复合函数的单调性，忽略定义域是容易发生的错误. 8.已知幂函数()f x 的图像过点()2,4，若1
(),2
f x =
则x =（ ）
A.
14
B. 2
±
C.
12
D.
4
【答案】B 【解析】 【分析】
设幂函数代入点得到解析式，再解方程得到答案.
【详解】设幂函数为()a
f x x =，代入点()2,4，解得2a =，2
()f x x =
21()2f x x x ==∴= 故选：B
【点睛】本题考查了幂函数的解析式，意在考查学生的计算能力.
9.已知0.80.7a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c <<
B. a c b <<
C. b a c <<
D.
c a b <<
【答案】C 【解析】 【分析】
依次判断,,a b c 与0,1的大小关系，比较得到答案.
【详解】0.8000.70.71a <=<=； 1.1 1.1log 0.9log 10b =<=；0.901.1 1.11c =>=.
得到b a c << 故选：C
【点睛】本题考查了函数值的大小比较，利用函数的单调性得到与0,1的大小关系是解题的关键.
10.表达式2
lg 25lg 2lg50(lg 2)++的运算结果为（ ）
A. 2
B. 0
C. 1
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用对数的运算法则得到答案.
【详解】2lg 25lg 2lg50(lg 2)lg 25lg 2(lg50lg 2)lg 252lg 2lg 25lg 4++=++=+=+
lg1002==
故选：A
【点睛】本题考查了对数运算，意在考查学生的计算能力.
11.设函数()f x =12x x ≠，下列不等式总成立的是（ ）
A. 12(
)2x x f +≤12()()
2f x f x + B. 12(
)2x x f +<12()()
2f x f x + C. 12()2x x f +≥12()()
2
f x f x + D. 12(
)2x x f +>12()()
2
f x f x + 【答案】D 【解析】 【分析】
依次判断每个选项的正误，判断得到答案.
【详解】A. 12
(
)2x x f +≤12()()
2
f x f x +，即
≤，平方
12x x +≤，再平方得到212()0x x -≤ 错误；
B. 12(
)2x x f +<12()()2
f x f x +，同A 得到：2
12()0x x -<，错误；
C. 12(
)2x x f +≥12()()2f x f x +，同A 得到：2
12()0x x -≥，12x x ≠等号不成立，错误 D. 12(
)2x x f +>12()()2
f x f x +，同A 得到： 2
12()0x x ->，正确. 故选：D
【点睛】本题考查了函数值的大小比较，意在考查学生的计算能力，也可以利用特殊值法排除选项得到答案.
12.狄利克雷函数是数学中非常有名且很重要的一个函数.它的定义如下：
1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩
是有理数
是无理数，则关于狄利克雷函数()D x 的说法错误．．的一项是（ ） A. 定义域为R B. 值域为[0,1]
C. 是偶函数
D. 对定义域内任意x 都有
(1)()D x D x +=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的性质依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】1,()0,x D x x ⎧=⎨
⎩是有理数
是无理数
则函数定义域为R ，A 正确；值域为{}0,1B 错误；
1,1,()()0,0,x x D x D x x x -⎧⎧-===⎨⎨-⎩⎩是有理数是有理数是无理数是无理数，偶函数，C 正确；
1,11,(1)()0,10,x x D x D x x x +⎧⎧+===⎨⎨+⎩⎩
是有理数是有理数
是无理数是无理数，D 正确.
故选：B
【点睛】本题考查了函数的定义域，值域，奇偶性和周期性，综合性强，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.
第Ⅱ卷非选择题（共60分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.设函数()log (1)1a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过点(,)m n ，则m n -=______. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据函数过定点得到2,1m n ==，计算得到答案.
【详解】()log (1)1a f x x =-+经过定点(2,1)，故2,11m m n n ==∴-= 故答案为：1
【点睛】本题考查了对数函数的定点问题，属于常考题型，需要熟练掌握. 14.已知函数3
()y f x x =+是
偶函数，若(10)20,f =则(10)f -=___________.
【答案】2020 【解析】 【分析】
设3
()()y g x f x x ==+，代入数据根据偶函数性质计算得到答案.
【详解】设3
()()y
g x f x x ==+，则(10)10)10001020g f =+=，
(10)(10)10001020(10)2020g f f -=--=∴-=
故答案
：2020
【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力. 15.计算13
2
103
410.027()25631)7
-----+-+=__________．
【答案】19 【解析】
主要考查分数指数幂的概念及其运算性质。

解：13
2
103
410.027
()25631)7
-----+-+=103－49＋64－13＋1=19.
16.设函数2
2(1)()1
x f x x +=+在区间[lg 2,lg 2]-上的最大值与最小值分别为M 和m ，则
M m +=______.
【答案】2 【解析】 【分析】
将函数化简为22()11x f x x =++，设22()1
x
g x x =+判断为奇函数，代入数据根据奇函数性质
计算得到答案.
【详解】222
(1)2()111
x x
f x x x +==+++，设2222(),()()11x x
g x g x g x x x -=-==-++，()g x 为奇函数.max max min min ()()1,()()1M f x g x m f x g x ==+==+
max min ()()22M m g x g x ++==+
故答案为：2
【点睛】本题考查了函数的最值计算，设22()1
x
g x x =+，利用奇函数性质计算是解题的关键.
三、解答题（每小题10分，共40分）
17.已知全集U =R ，集合{212,}A x a x a a R =-≤≤+∈,{14}B x x =-≤≤. （1）若1a =，求A B U 及()U A C B ⋂. （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）{14}A B x x ⋃=-≤≤，()U A C B ⋂=∅；（2）[0,2](3,)⋃+∞ 【解析】 【分析】
（1）直接利用集合的运算法则计算得到答案.
（2）分成A =∅和A ≠∅两种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）当1a =时：{13}A x x =≤≤，{14}B x x =-≤≤，
{41}U C B B x x x ==<<-或
则{14}A B x x ⋃=-≤≤，()U A C B ⋂=∅
（2）当A =∅时，即212a a ->+时成立，解得3a >
当A ≠∅时，满足：21224211a a a a -≤+⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
解得02a ≤≤
综上所述：实数a 的取值范围为：[0,2](3,)⋃+∞
【点睛】本题考查了集合的运算，忽略掉空集时容易发生的错误. 18.已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()2f x x x =--. （1）当0x >时，求函数()f x 的解析式；
（2）当[1,2]x ∈-时，设()(2)x
g x f =，求函数()g x 的值域.
【答案】（1）2
()2(0)f x x x x =->；（2）[]1,8- 【解析】 【分析】
（1）设0x >，则0x -<，代入函数表达式，利用奇函数性质化简得到答案.
（2）12[,4]2
x
t =∈，将函数变换为22()2(1)1f t t t t =-=--，根据二次函数的最值求值域. 【详解】（1）设0x >，则0x -<，2()2f x x x -=-+，函数()f x 是奇函数
则2()()2f x f x x x =--=-，即2
()2(0)f x x x x =->
（2）当[1,2]x ∈-时，设12[,4]2
x
t =∈，
22()2(1)1f t t t t =-=--，max min ()(4)8,()(1)1f t f f t f ====- 函数()g x 的值域为[]1,8-
【点睛】本题考查了函数的表达式，值域，其中通过换元2x t =可以简化运算，是解题的关键.
19.“H 大桥”是某市的交通要道，提高过桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况．研究表明：在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为()0v x =；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时；当20200x ≤≤时，车流速度()v x 是车流密度x 的一次函数．
（1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式．
（2）设车流量()()f x v x x =⋅，求当车流密度为多少时，车流量最大？
【答案】（1）60(020)()1200
(20200)3
3x v x x x ≤<⎧
⎪
=⎨-+≤≤⎪⎩；（2）当100x =时，车流量最大为100003 【解析】 【分析】
（1）设出一次函数，代入数据计算得到答案.
（2）得到函数表达式260(020)()1200(20200)3
3x x f x x x x ≤<⎧
⎪
=⎨-+≤≤⎪⎩，分别计算两段函数的最值得
到答案.
【详解】（1）当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+，根据(200)0,(20)60v v ==，代入解得
1200,33a b =-=，故1200
()(2020)33
0v x x x ≤≤=-+
故60(020)()1200
(20200)3
3x v x x x ≤<⎧⎪
=⎨-+≤≤⎪⎩ （2）260(020)()()1200(20200)3
3x x f x v x x x x x ≤<⎧
⎪
=⋅=⎨-+≤≤⎪⎩
当020x ≤<时，()60f x x =，()1200f x <
当20200x ≤≤，21200)33(x f x x -
+=，max 10000
()(100)3
f x f == 综上所述：当100x =时，车流量最大为10000
3
.
【点睛】本题考查了函数的应用，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.
20.已知函数()f x 的定义域为R ，对定义域内任意的,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，有()0f x >. （1）求证：()f x 是奇函数；
（2）求证：()f x 在定义域上单调递增；（3）求不等式214
(3log )(log )0f x f x -+>的解集.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）(0,2)
【解析】
【
分析】
（1）取0x y ==得到(0)0f =，再取y x =-带入化简得到答案.
（2）设12x x <，根据题目条件计算21()()0f x f x ->得到答案. （3）化简214(3log )(log )0f x f x -+>得到22203log log 0x x x >⎧⎨-->⎩计算得到答案. 【详解】（1）()()()f x y f x f y +=+，取0x y ==，得到(0)0f = 取y x =-得到(0)()()0f f x f x =+-=，故()f x 是奇函数. （2）设12x x <，则212111()()()()f x f x f x x x f x -=-+- 211121()()()()f x x f x f x f x x =-+-=-，且当0x >时，有()0f x >， 故21()0f x x ->，所以21()()0f x f x ->，故()f x 在定义域上单调递增 （3）221212244
(3log )(log )(3log log )(3log log )f x f x f x x f x x -+=-+=-- 即222(3log log )0(0)f x x f -->=，故满足：22203log log 0x x x >⎧⎨-->⎩
解得02x << 故解集为：(0,2)
【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性，单调性，解不等式，意在考查学生对于抽象函数的方法技巧的掌握情况.。