2020届四川省棠湖中学高三下学期在线月考数学（文）试题（解析版）

2020届四川省棠湖中学高三下学期第一次在线月考数学（文）
试题
一、单选题
1．已知复数z 满足1z i =+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．-1 B ．1 C ．i -
D ．i
【答案】A
【解析】由题意可得1z i =-，所以虚部为i -，选A. 2．设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则（ ） A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆
C ．R P C Q ⊆
D ．R Q C P ⊆
【答案】B
【解析】2
4222x x x <⇒<⇒-<<，即{|22}Q x x =-<<.Q P ∴⊆ 【详解】
24222x x x <⇒<⇒-<<，即{|22}Q x x =-<<.Q P ∴⊆.故B 正确.
【考点】集合间的关系.
3．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为4,n S a 是37a a 与的等比中项，832S =，则S 10等于（ ） A ．18 B ．24 C ．60 D ．90
【答案】C 【解析】【详解】
依题意可得，2437a a a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠．由2
437a a a =，832
S =可得21111(3)(2)(6)
278322a d a d a d a d ⎧+=++⎪
⎨+⨯=⎪
⎩
，解得13{2a d =-= 所以1102910602
a d
S +=
⨯=，故选C 4．函数3x x
e e y x x
--=-的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】
令()3x x
e e
f x x x
--=-，则()()f x f x -=，故函数为偶函数，图像关于y 轴对称，排除
C 选项.由30x x -≠，解得0x ≠且1x ≠±.()0.50.510.50
0.1250.5
e e
f -
=<-，排除D 选项.()1010
1101100010
e e
f -=
>-，故可排除B 选项.所以本小题选A. 【点睛】
本小题主要考查函数图像的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图像上的特殊点进行排除，属于基础题.
5．设,a b ∈R ，则“||||a a b b >”是“33a b >”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】
充分性证明:当||||a a b b >
①若0a >,0b >,则有22a b >,于是33a b >;
②若0a >,0b <,则有||0,||0a a b b ><,可知||||a a b b >显然成立,于是33a b >; ③若0a <,0b >,则||||a a b b >不成立,不满足条件;
④若0a <,0b <,由||||a a b b >,可得22a b ,即22a b <,所以有330a b >>.
∴ “||||a a b b >”是“33a b >”的充分条件.
必要性证明:当33a b >
①若0a b >>,则有||||a b >,于是||||a a b b >;
②若0a b >>,则有||0,||0,a a b b ><于是||||a a b b >; ③若0a b >>,则有22a b <,于是2
2a b ,因为2||a a a =-,2
||b b b =-,所以有
||||a a b b >成立.
∴ “||||a a b b >”是“33a b >”的必要条件.
综上所述,“||||a a b b >”是“33a b >”的充要条件. 故选:C. 【点睛】
本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 6．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2
π
，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象（ ）
A ．向左平移6π
个单位长度 B ．向右平移
6π
个单位长度 C ．向左平移12
π
个单位长度
D ．向右平移12
π
个单位长度
【答案】D
【解析】先由函数()f x 的两个相邻的对称轴之间的距离为2
π
，得到周期，求出ω，再由平移原则，即可得出结果. 【详解】
因为函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2
π
， 所以()f x 的最小正周期为T π=，因此22T
π
ω==， 所以()sin 2sin 2612f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，
因此，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，只需将()sin 212f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右
平移
12
π
个单位长度. 故选D 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即可，属于常考题型.
7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积 （单位：cm 3）是
A ．8
B ．
C ．16
D ．16
【答案】B
【解析】由题意三视图可知，几何体是等边圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可． 【详解】
由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半， 所求几何体的体积为：=8π．
故选B ．
【点睛】
本题是基础题，考查几何体的体积的求法，有三视图推出几何体的形状是本题的关键． 8．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】B
【解析】分别假设甲阅读，乙阅读，丙阅读，丁阅读，结合题中条件，即可判断出结果. 【详解】
若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意； 若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意； 若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意； 若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意； 故选B 【点睛】
本题主要考查逻辑推理的问题，推理案例是常考内容，属于基础题型.
9．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，A 为
OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是
（ ）
A ．
1
4
B ．
12
C ．
34
D ．
58
【答案】C
【解析】设AB r =，圆心角为α，计算出整个折扇的面积以及扇面的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得； 【详解】
解：设AB r =，圆心角为α，则整个折扇的面积为2
12
S r α=
，扇面的面积为
2
22113
2228
r s r r ααα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，
若在整个扇形区域内随机取一点，记此点取自扇面（扇环）部分为事件M ，则根据几
何概型的概率公式得()2
2338142
r
P M r αα=
= 故选：C 【点睛】
本题考查面积型几何概型，属于基础题.
10．若抛物线y 2=4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为（ ） A ．
12
B ．1
C ．
32
D ．2
【答案】B
【解析】由抛物线的方程，知其准线为1x =-，(1,0)F ，设(,)P P P x y ，则由抛物线的定义，有12p x +=，所以1p x =，所以2p y =±，所以
11
12122
OFP P S OF y ∆=⨯⨯=⨯⨯=，故选B ．
【考点】抛物线的定义及几何性质．
11
．设log a =
2019log b =，1
20192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>
【答案】C
【解析】根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小. 【详解】
因为20182018
20181
1log 2018log log ,2
a =>=>=
20192019
1
log log ,2
b =<=102019201820181
c =>=，故本题选C.
【点睛】
本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题. 12．如图，直角梯形ABCD ，90ABC ∠=，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 中
点，ADE ∆沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为（ ）
A ．
12
B ．
2 C ．
D ．1
【答案】B
【解析】由题意得在四棱锥D ABCE '-中AE ⊥平面D CE '．作D M CE '⊥于M ，作MN AB ⊥于N ，连D N '，可证得AB ⊥平面D MN '．然后作MH D N '⊥于H ，可得MH 即为点C 到平面ABD '的距离．在D MN '∆中，根据等面积法求出MH 的表达式，再根据基本不等式求解可得结果． 【详解】
由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥D ABCE '-中，底面ABCE 为边长是1的正方形，侧面D EA '中，D E AE '⊥，且1D E AE '==．
∵,,AE D E AE CE D E CE E ''⊥⊥=，
∴AE ⊥平面D CE '．
作D M CE '⊥于M ，作MN AB ⊥于N ，连D N '， 则由AE ⊥平面D CE '，可得D M AE '⊥，
∴D M '⊥平面ABCE ． 又AB 平面ABCE ，
∴D M
AB '⊥．
∵MN AB ⊥，D M MN M '=，
∴AB ⊥平面D MN '．
在D MN '∆中，作MH D N '⊥于H ，则MH ⊥平面ABD '． 又由题意可得CE
平面ABD '，
∴MH 即为点C 到平面ABD '的距离． 在Rt D MN '∆中，,1D M MN MN '⊥=， 设D M x '=，则01x D E '<≤=，
∴D N
'=．
由D M MN D N MH ''⋅=⋅
可得x MH =
，
∴
2MH =
=
≤
，当1x =时等号成立，此时D E '⊥平面ABCE ，
综上可得点C 到平面ABD '
． 故选B ． 【点睛】
本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．
二、填空题
13．双曲线x 2-2y 2=1的渐近线方程为______．
【答案】y x = 【解析】
由双曲线的方程知1,2
a b ==
，所以双曲线的渐近线方程为2
b y x x a =±
=±． 【考点】双曲线的几何性质．
14．若1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1232
3
a a =-，2324a a =-，则公比q =______. 【答案】32
-
【解析】由123203
a a =-<判断出公比q 的正负，再由
22312a a q a a =以及公比q 的正负计算出公比q 的值. 【详解】
因为120a a <，所以公比0q <， 又因为
223
12a a q a a =，所以294
q =，所以32q =±， 又因为0q <，所以3
2
q =-. 故答案为：32
-. 【点睛】
本题考查等比数列的公比的计算，难度较易.当等比数列的相邻两项的乘积小于零时，此时等比数列的公比q 小于零.
15．若函数(),0
21,0
1x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m 的取值范围
是__________． 【答案】(0,3]
【解析】由题意根据函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数及分段函数的特征，可求得m 的取值范围． 【详解】
∵函数(),021,0
1x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),-∞+∞上单调递增，
∴函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数，
∴0
1212m m >⎧⎨
-≤+=⎩
，解得03m <≤， ∴实数m 的取值范围是(0,3]． 故答案为(0,3]． 【点睛】
解答此类问题时要注意两点：一是根据函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题． 16．已知函数1
()11
f x x a x =
++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点
(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．
【答案】43
-
【解析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解. 【详解】
由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-， 解得1a =，所以()1
1
f x x x =++. 又()()2
1
'11f x x =-
++，所以()3'14
f =.
因为()2
x
g x e x bx =++，()'2x
g x e x b =++，()'01g b =+，
由()3114b +=-，得413b +=-，即4
3
a b +=-. 故答案为：4
3
-
【点睛】
本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.
三、解答题
17．已知数列{}n a 为等差数列，7210a a -=，且1621a a a ，，依次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2
25
n S =，求n 的值. 【答案】(1) 23n a n =+ (2) 10n =
【解析】（1）设等差数列的公差为d ，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）求得b n 12=（11
2325
n n -++），运用裂项相消求和可得S n ，解方程可得n ．
【详解】
解：（1）设数列{a n }为公差为d 的等差数列， a 7﹣a 2＝10，即5d ＝10，即d ＝2， a 1，a 6，a 21依次成等比数列，可得 a 62＝a 1a 21，即（a 1+10）2＝a 1（a 1+40），
解得a 1＝5，
则a n ＝5+2（n ﹣1）＝2n +3； （2）b n ()()1111
23252n
n a a n n +=
==++（112325
n n -++）， 即有前n 项和为S n 12=
（111111
5779
2325
n n -+-++
-++） 12=
（11
525
n -+）()525n n =+，
由S n 2
25
=
，可得5n ＝4n +10， 解得n ＝10． 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．
18．国家每年都会对中小学生进行体质健康监测，一分钟跳绳是监测的项目之一.今年某小学对本校六年级300名学生的一分钟跳绳情况做了统计，发现一分钟跳绳个数最低为10，最高为189.现将跳绳个数分成[)10,40，[)40,70，[)70,100，[)100,130，
[)130,160，[]160,1906组，并绘制出如下的频率分布直方图.
（1）若一分钟跳绳个数达到160为优秀，求该校六年级学生一分钟跳绳为优秀的人数； （2）上级部门要对该校体质监测情况进行复查，发现每组男、女学生人数比例有很大差别，[)10,40组男、女人数之比为2:1，[)40,70组男、女人数之比为5:1，[)70,100组男、女人数之比为11:7，[)100,130组男、女人数之比为10:11，[)130,160组男、女人数之比为19:20，[]160,190组男、女人数之比为1: 6.试估计此校六年级男生一分钟跳绳个数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留整数）. 【答案】（1）优秀的人数为21（2）平均数106
【解析】（1）根据频率分布直方图求出优秀的频率为,再根据该校六年级学生总人数和
概率求出优秀的人数.
（2）先求出频率分布直方图每组数值的中间值,然后分别乘以对应的频数,再相加,最后除以总数即可得平均数. 【详解】
解：（1）由图可知,优秀的频率为：
()10.0010.0040.0060.0070.013300.07-++++⨯=,
故该校六年级学生一分钟跳绳为优秀的人数为3000.0721⨯=. （2）[)10,40组男生人数为2
0.0013030063
⨯⨯⨯
=,[)10,40的中点值为25, [)40,70组男生人数为5
0.00430300306
⨯⨯⨯
=,[)40,70的中点值为55, [)70,100组男生人数为11
0.006303003318
⨯⨯⨯
=,[)70,100的中点值为85, [)100,130组男生人数为10
0.007303003021
⨯⨯⨯=,[)100,130的中点值为115, [)130,160组男生人数为19
0.013303005739
⨯⨯⨯=,[)130,160的中点值为145, []160,190组男生人数为1
0.0730037
⨯⨯
=,[]160,190的中点值为175, 故可估计此校六年级男生一分钟跳绳个数的平均数 为
2565530853311530145571753
1066303330573
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈+++++.
【点睛】
本题考查频率分布直方图,用样本估计总体,考查平均数的求法,属于基础题. 19．如图，在平面图形PABCD 中，ABCD 为菱形，60,2DAB PA PD ︒∠===
，
M 为CD 的中点，将PAD ∆沿直线AD 向上折起，使BD PM ⊥.
（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）若直线PM 与平面ABCD 所成的角为30，求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）见解析； （2
. 【解析】(1) 取AD 中点E ,证明PE ⊥面ABCD 即可. (2)由(1)知30PME ∠=°,计算出AB 的长度,再求解体积即可. 【详解】
（1）取AD 中点E ，连接PE ，EM ，AC ，
PA PD PE AD =⇒⊥……①
由底面ABCD ，所以BD AC ⊥，
又由,E M 为,AD CD 的中点，所以//EM AC ， 可得BD EM ⊥，
又由BD PM ⊥，所以BD ⊥平面PEM ，
BD PE ∴⊥……②
由①②可得：PE ⊥面ABCD ，
又PE ⊂面PAD ⇒平面PAD ⊥平面ABCD . （2）由（1）知PE ⊥面ABCD ， 连接EM ，易知30PME ∠=°.
设AB a
，则22
AC PE EM a
===.
故tan 30PE PME EM
︒
∠==
，
3=，解得2a =， 故1PE =
，ABCD S =四边形
故113P ABCD ABCD V S -=⋅⋅=
【点睛】
本题主要考查了面面垂直的证明以及线面角的求解与体积的计算等.属于中等题型.
20．已知椭圆C ：22
1189
x y +=的短轴端点为1B ，2B ，点M 是椭圆C 上的动点，且
不与1B ，2B 重合，点N 满足11NB MB ⊥，22NB MB ⊥.
（Ⅰ）求动点N 的轨迹方程； （Ⅱ）求四边形21MB NB 面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）()22
109
92
y x x +=≠；（Ⅱ）272
2
. 【解析】（Ⅰ）设(),N x y ，()()000,0M x y x ≠，结合垂直关系设出两直线的方程，相乘即可得到动点N 的轨迹方程；
（Ⅱ）利用根与系数的关系表示四边形21MB NB 面积，转求函数最值即可. 【详解】
（Ⅰ）法一：设(),N x y ，()()000,0M x y x ≠，
11,MB NB ⊥ 22MB NB ⊥
∴直线0
10:33
x NB y x y +=-
+ ① 直线0
20:33
x NB y x y -=-
- ② ⨯①②得2
2
202
099
x y x y -=- 又
22
001189
x y +=， 2022221819929
o y y x x
y ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭∴-==--，
整理得点N 的轨迹方程为()22
10992
y x x +=≠ 法二：设(),N x y ，()()000,0M x y x ≠，
11,MB NB ⊥ 22MB NB ⊥
∴直线0
10:33
x NB y x y +=-
+ ① 直线0
20:33
x NB y x y -=-
- ② 由①,②解得：20101
09
y x x y y
⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，又22
001189x y +=，01
2x x ∴=- 故010
12x x y y =-⎧⎨=-⎩，代入22001189x y
+=得22
1119
92
y x +=. ∴点N 的轨迹方程为()22
10992
y x x +=≠ 法三：设直线()1:30MB y kx k =-≠，则直线11
:3NB y x k
=-
- ① 直线1MB 与椭圆22
:1189x y C +=的交点M 的坐标为22212632+12+1k k k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，.
则直线2MB 的斜率为2
22263
32+112+1221
MB k k k k k k --==-. ∴直线2:23NB y kx =+ ②
由① ②解得:点N 的轨迹方程为：()22
10992
y x x +=≠ （Ⅱ）法一：设()11N x y ,，()()000,0M x y x ≠由（Ⅰ）法二得：0
12
x x =- 四边形21MB NB 的面积()1212013
322
S B B x x x =
+=⨯， 20018x <≤，∴当2018x =时，S
的最大值为
2
. 法二：由（Ⅰ）法三得：四边形21MB NB 的面积
()121
2M N S B B x x =+= 222126542+12+12+13k k k k k k ⎛⎫+= ⎪⨯⎝⎭
54122k k
=≤+
当且仅当2
k =时，S
. 【点睛】
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
21．已知设函数()ln(2)(1)ax f x x x e =+-+. （1）若0a =，求()f x 极值；
（2）证明：当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点. 【答案】（1）()f x 取得极大值0，无极小值（2）见证明
【解析】（1）通过求导得到()f x '，求出()0f x '=的根，列表求出()f x 的单调区间和极值.
（2）对a 进行分类，当1a >时，通过对()f x '求导，得到()f x '在()1,-+∞单调递减，找到其零点，进而得到()f x 的单调性，找到()0>0f x ，()00f <，可证()f x 在
()1,-+∞上存在零点.
当01a <<时，根据（1）得到的结论，对()f x 进行放缩，得到1e 0a f -⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，再由
()00f <，可证()f x 在()1,-+∞上存在零点.
【详解】
（1）当0a =时，()()()ln 21f x x x =+-+，定义域为()2,-+∞，由
()1
02
x f x x +'=-
=+得1x =-． 当x 变化时，()
f x '， ()f x 的变化情况如下表：
故当1x =-时，()f x 取得极大值()()()1ln 21110f -=---+=，无极小值． （2）()()1
e 112
ax f x a x x ⎡⎤=
-++⎣+'⎦，2x >-． 当0a >时，因为1x >-，所以()()
()2
1
e 1202ax
f x a a x x ⎡⎤=-
-++⎣+'<⎦
'， ()f x '在()1,-+∞单调递减．
因为()11e
0a
f --=->'，()1
002
f b -'=-<，
所以有且仅有一个()11,0x ∈-，使()10g x '=，
当11x x -<<时，()0f x '>，当1x x >时，()0f x '<， 所以()f x 在()11,x -单调递增，在()1,x +∞单调递减． 所以()()010f x f >-=，而()0ln210f =-<， 所以()f x 在()1,-+∞存在零点．
当10a -<<时，由（1）得()()ln 21x x +≤+， 于是e 1x x ≥+，所以()e
11ax
ax a x -≥-+>-+．
所以()()()()())
e e ln 21e 1ln 21]ax ax ax
f x x x x a x -⎡⎤⎡=+-+>-+++⎣⎣⎦
． 于是
11111
11
e e e 1ln e 21]e e 1ln e 1]0a a a a a
f a a -------⎡⎫⎡⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+-+->+--=⎪⎪⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎭⎣⎭．
因为()0ln210f =-<，所以所以()f x 在1e ,a
-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
存在零点．
综上，当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在()1,-+∞上存在零点．
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，通过对导函数求导，得到导函数的单调性来判断其正负，得到原函数的增减，再由零点存在定理证明函数存在零点，题目涉及知识点较多，综合程度高，属于难题.
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t α
α=⎧⎨=⎩ （t 为参数，且0t >，
(0,)2πα∈），曲线2C 的参数方程为cos 1x y sin ββ
=⎧⎨=+⎩（β为参数，且(,)22ππ
β∈-）.
以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为
1cos ((0,))2
π
ρθθ=+∈，曲线4C 的极坐标方程为cos 1ρθ=.
（1）求3C 与4C 的交点到极点的距离；
（2）设1C 与2C 交于P 点，1C 与3C 交于Q 点，当α在(0,
)2
π
上变化时，求||||
OP OQ +的最大值. 【答案】（1
；（2
）1+ 【解析】(1) 联立曲线34,C C 的极坐标方程，求得交点极坐标的极径，由极径的几何意义即可得结果；(2)曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的极坐标方程联立得
2sin ,0,2
OP πραα⎛⎫
==∈ ⎪⎝
⎭
，曲线1C 与曲线3C 的极坐标方程联立得
1cos ,0,2OQ παα⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
， 12sin cos OP OQ αα+=++，利用辅助角公式与三
角函数的有界性可得结果. 【详解】
(1)联立曲线34,C C 的极坐标方程1,0,21cos cos πρθθρθ⎧⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎨⎝
⎭⎪=⎩
得: 2
10ρρ--=，
解得ρ=
. (2)曲线1C 的极坐标方程为,0,
,02πθααρ⎛⎫⎛⎫
=∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
曲线2C 的极坐标方程为2sin ,0,2πρθθ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
联立得
2sin ,0,2πραα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭ 即2sin ,0,
2OP παα⎛
⎫
=∈ ⎪⎝
⎭
曲线1C 与曲线3C 的极坐标方程联立得1cos ,0,
2πραα⎛⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭
， 即1cos ,0,
2OQ παα⎛⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭
， 所以()12sin cos 15sin OP OQ αααϕ+=++=++，其中ϕ的终边经过点()2,1， 当2,Z 2
k k π
αϕπ+=+∈，即25
arcsin
α=时，OP OQ +取得最大值为15+. 【点睛】
本题主要考查极坐标方程的应用，考查了极径的几何意义，考查了辅助角公式与三角函数的有界性的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 23．选修4-5：不等式选讲 设
，且
，记
的最小值为.
（1）求的值，并写出此时，的值； （2）解关于的不等式：.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】(1)由题意结合均值不等式的结论求解M 的值和满足题意时的a ,b 值即可； (2)结合(1)的结果分类讨论求解绝对值不等式即可. 【详解】 因为
，所以
，
根据均值不等式有，
当且仅当， 即
时取等号，
所以M 的值为 当时，原不等式等价于，
解得
；
当时，原不等式等价于，
解得；
当时，原不等式等价于，
解得；
综上所述原不等式解集为．
【点睛】
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。