安徽省舒城中学2016-2017学年高二数学文科寒假作业：第16天 导数 含答案

第16天 导数（三）
【课标导航】1。

导数的应用; 2。

生活中的优化问题。

一.选择题
1．函数3
3x x y -=的单调递增区间是
（ ） A.
(1,1)-
B 。

(,1)-∞-
C ．(0,)+∞
D.(1,)+∞
2．若函数)1,1(12)(3
+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数
k 的取值
范围
（ )
A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或
B ．3113<<-<<-k k 或
C ．22<<-k
D ．不存在这样的实数k 3．函数f （x )＝x 3－3bx ＋3b 在（0，1）内有极小值,则
( )
A ．0<b 〈1
B ．b <0
C ．b >0
D ．b 〈错误! 4．已知函数f （x x ln x ，则有
（ )
A ．f (2）＜f （e)＜f （3)
B ．f (e ）＜f （2）＜f （3）
C ． f (3）
＜f (e ）＜f (2） D ．f (e ）＜f (3）＜f (2)
5．设f （x ），g （x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x 〈0时,f ′(x )g （x ）＋f （x ）g ′(x ）〉0,且g （－3)＝0，
D
E A
B
C
则不等式f (x )g (x )〈0的解集是 ( ）
A ．(－3，0)∪(3，＋∞）
B ．(－3,0）∪(0，3）
C ．（－∞，－3）∪(3,＋∞）
D ．(－∞，－3）∪（0,3)
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1=5。

06x －0。

152
x 和L 2=2x ，其
中x 为销售量（单位：辆)。

若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 （ ）
A ．45。

606
B ．45.6
C ．45.56
D ．45.51
7．把一个周长为12cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为（ ）
A.1∶2
B.2∶1 C 。

1∶π D 。

2∶π
8．
路灯距地平面为8 m,一个身高为1。

6 m 的人以84 m/min 的速率在地面
上行走，从路灯在地平面上射影点C ，沿某直线离开路灯，则人影长度的
变化速率(/m s ）为（ ）
A ．72
B ．720
C ．2120
D ．21
二、填空题
9．2x
y x e 的单调递增区间是 ．
10．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为时，它的面积最大.
11．已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上,则这种
矩形中面积最大值为．
12．某公司租地建仓库,每月土地占用费y1（万元）与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费
y2(万元）与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么,要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站千米处．
三、解答题
13。

设函数f（x）＝x3－错误!x2＋6x－a.
(Ⅰ)对于任意实数x, f′(x）≥m恒成立，求m的最大值;
(Ⅱ)若方程f(x）＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
14.已知函数f(x）＝错误!x2＋ln x。

（Ⅰ）求函数f(x）的单调区间；(Ⅱ）求证：当x〉1时,错误!x2＋ln x〈错误!x3
15.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度）. 设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积
为V立方米。

假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率）.
（Ⅰ）将V表示成r的函数()
V r,并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数()
V r的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大。

16.
请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如
图所示）。

试问当帐篷的顶点O 到底面中心1
O 的距离为多少时，帐篷
的体积最大？ 【注:1
,3
V
S h V S h
=⋅=⋅ 柱体
底锥体底】
【链接高考】
(1)
设函数()2ln x
f x e
a x =-。

（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数;（II ）证明：当0a >时
()22ln
f x a a a
≥+。

(2)
【2016新课标1文数】已知函数()()()
2
2e
1x
f x x a x =-+-．
(I ）讨论()f x 的单调性；(II)若()f x 有两个零点, 求a 的取值范围.
第16天导数（三)
1—8.ABAA DBBB；9。

（－∞,－2)，（0，＋∞);10。

3R; 11。

2
；12. 5
9
13。

（Ⅰ)f′（x）＝3x2－9x＋6＝3（x－1)(x－2）．
因为x∈(－∞，＋∞）．f′（x)≥m,即3x2－9x＋（6－m)≥0恒成立．
所以Δ＝81－12（6－m)≤0，得m≤－错误!，即m的最大值为－错误!。

(Ⅱ)因为当x〈1时，f′(x）〉0;当1〈x〈2时,f′（x）<0；当x〉2时f′(x)〉0。

所以当x＝1时，f（x)取极大值f(1)＝错误!－a，
当x＝2时，f（x)取极小值f(2）＝2－a。

故当f(2）>0或f(1）<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a 〈2或a>错误!。

14．（Ⅰ）依题意知函数的定义域为{x|x>0}，
∵f′（x）＝x＋错误!，故f′(x）〉0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞）．
（Ⅱ）设g（x)＝错误!x3－错误!x2－ln x，∴g′（x)＝2x2－x－错误!，
∵当x>1时，g′(x）＝2
-++>，∴g(x）在(1，＋∞)上为
(1)(21)0
x x x
增函数，
∴g (x )〉g （1）＝错误!>0,∴当x 〉1时,错误!x 2＋ln x <错误!x 3。

15.
16。

设正六棱锥的高为x m,22
3x -m ）。

于是底面正六边形的面积为（单位：m 2)：222333
6(9))4S x x =-=-。

帐篷的体积为（单位:m 3)：
223233133())1)(3)3927)3V x x x x x x x x ⎡⎤
=
-+=-+--++⎢⎥⎣⎦(13)x << 求导数，得233()23)2
V x x x '=-+-；令()0V x '=解得x=—3(不合题意，舍
去），x=1.
当0<x 〈1时，()0V x '>,V （x)为增函数;当1〈x<3时，()0V x '<,V （x)
为减函数。

所以当x=1时，V(x ）最大.即当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大。

【链接高考】（I)()f x 的定义域为0+
，，2()=20x
a
f
x e x x
. 当0a 时，()0f x ，()f x 没有零点;
当0a
时，因为2x e 单调递增，
a
x 单调递增，所以()f x 在0+，单调递增。

又()0f a ，当b 满足0
4
a
b
且14b 时,(b)0f ，故当0a 时,()f x 存
在唯一零点。

（2)
③若2e
a <-，则()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >，
当()()1,ln 2x a ∈- 时,()'0f x <，
所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.
（II)（i)设0a >,则由（I ）知,()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增。

又()()12f e f a =-=，,取b 满足b 〈0且ln 2
2
b a <，
则()()()
2
332102
2a f b b a b a b b ⎛
⎫>-+-=-> ⎪⎝
⎭,所以()f x 有两个零点。

（ii)设a =0,则()()2x
f x x e =-所以()f x 有一个零点。

(iii)设a <0,若2
e a ≥-,则由（I)知,()
f x 在()1,+∞单调递增.
又当1x ≤时,()f x 〈0,故()f x 不存在两个零点；
若2
e a <-，则由(I)知,()
f x 在()()1,ln 2a -单调递减,在()()ln 2,a -+∞单调递
增。

又当1x ≤时()f x <0,故()f x 不存在两个零点。

综上，a 的取值范围为()0,+∞。