立体几何证明垂直专项含练习题及答案

•复习引入

1. _________________________________ 空间两条直线的位置关系有： , , 三种。

2. （公理4）平行于同一条直线的两条直线互相 __________ .

3. _________________________________ 直线与平面的位置关系有 _____ , , 三种。

4. _________________________________ 直线与平面平行判定定理：如果 的一条直线和这个平面内的一条直线平行,

那么这条直线和这个平面平行

5. 直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么 ____________________________ .

6. __________________________ 两个平面的位置关系： , .

7. 判定定理1:如果一个平面内有 _______________ 线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行• 8. __________________________________________________ 线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面 ______________________________________________ .

9. _____________________________________________________ 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的 __________________________________________ 行.

10. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都 知识点梳理

知识点一、直线和平面垂直的定义与判定

要点诠释：定义中“平面工内的任意一条直线”就是指“平面-内的所有直线”，这与“无数条直线” 不同（线线垂直 二线面垂直）

知识点二、直线和平面垂直的性质

性质

立体几何证明

垂直

____ 另一个平面. 语言描述

一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线垂直于这个平面内的所有直线

垂直于同一个平面的两条直线平行.

图形条件

/丄附

7〃空

知识点三、二面角

I •二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedral angle ).这条直线叫做二 面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面•记作二面角 —AB —.(简记P — AB — Q ) 二面角的平面角的三个特征：

i.点在棱上 ii .线在面内

iii .与棱垂直

n .二面角的平面角：在二面角 -1- 的棱i 上任取一点O ,以点O 为垂足，在半平面，内分别作 垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的 AOB 叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：00

180°.

' r

f I

〉一，

知识点四、平面和平面垂直的定义和判定

定义 判定

文字描述

两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面垂 直. 一个平面过另一个平面的垂线，则这

两个平面垂直

图形

么

/

% ___ /

结果

aAp =l a -l- B =90o 口a 丄 B

/丄 工f u 盘 二 氐 丄 0

(垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何” “随意”“无数”等字眼)

三•常用证明垂直的方法

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直， 而证明线线垂直一般有以下的一些方法 ：

(1)

通过“平移”。

(2) 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 (3) 利用勾股定理。

(4)

利用直径所对的圆周角是直角

(1) 通过“平移”.根据若a/ /b,且b 丄平面a,则a 丄平面a

1. 在四棱锥P-ABCD 中, △ PBC 为正三角形，AB 丄平面PBC ，AB// CD, 结论

1

AB 二一DC, E 为 PD 中

点.

求证：AE丄平面PDC.

o'

A 2•如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA丄底面ABCD

/ PDA=45，点E为棱AB的中点.求证：平面PCEL平面PCD;

(2) 利用等腰三角形底边上的中线的性质

3、在三棱锥P ABC 中，AC BC 2，ACB 90°，AP BP AB，PC AC . (I )求证：PC AB ;

(3) 利用勾股定理

4. 如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为1的正方形，PA CD,PA 1,PD -2. 求证：PA平面ABCD ;

D

(第2题

(4) 利用直径所对的圆周角是直角

5、如图，AB是圆0的直径，C是圆周上一点，PA±平面ABC

(1)求证：平面PACL平面PBC

课堂及课后练习题:

1 .判断下列命题是否正确，对的打“V” ，错误的打“X” 0

(1)垂直于同一直线的两个平面互相平行 ()

(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行 ()

(3)—条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直(

3. 如图所示，在四棱锥P ABCD 中，AB 平面PAD , AB//CD ,PD AD , E 是PB 的中点，F 是CD 上

1

的点，且DF -AB ,PH 为 PAD 中AD 边上的高。

2

（1）证明：PH 平面ABCD ；

4. 如图所示,四棱锥P ABCD 底面是直角梯形BA AD, CD E 为PC 的中点，PA = AD 。 证明：BE 平面PDC ;

5. 如图，在三棱锥P ABC 中，/ PAB 是等边三角形，/ PA （=Z PBC=90 o 证明：AB 丄PC

2•已知直线 a,b 和平面

且 a b, a ,贝U b 与 的位置关系是

AD, CD 2AB, PA 底面

ABCD