2015届中考数学第二轮基础梳理复习57

第27课时相似图形
内容标准：
（1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。

（2）通过具体实例认识图形的相似。

了解相似多边形和相似比。

（3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

（4）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。

*了解相似三角形判定定理的证明。

（5）了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。

（6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。

（7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。

（8）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。

数学思想、方法
在研究相似图形性质、判定的过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。

体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。

十大核心概念在本节课中突出培养的是几何直观、空间观念、符号意识、推理能力、模型思想、应用意识。

一、基础知识梳理（课前完成）
1．比例线段
对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即___________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的性质
⑴基本性质：如果a:b=c:d(d
c
b a =),那么___________；如果ad=b
c （a 、b 、c 、
d 都
不等于0），那么___________．
⑵合比性质：如果d c b a =,那么
=±b b
a ___________． ⑶等比性质：如果n
m
d c b a ⋅⋅⋅==（b+d+···+n ≠0），那么
=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++n d b m
c a ___________．
3．黄金分割
在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），如果
__________，那么线段AB 被点C 黄金分割。

点C 叫做线段的黄金分割点，AC 与
BC 的比叫做黄金比，即=BC
AC
___________≈___________． 4. 相似多边形 ⑴定义：各角对应__________、各边对应__________的两个多边形叫做相似多边形（定义也是判别）．相似多边形__________叫做相似比． ⑵性质：①对应角__________，对应边__________； ②周长比等于__________；面积比等于__________． 5. 相似三角形
⑴性质：①对应角__________，对应边__________；
②相似三角形___________的比、对应角平分线的比和___________的比
都等于___________的比；周长比等于___________；面积比等于___________． ⑵判别：①两角对应__________的两个三角形相似；
②两边对应__________且夹角__________的两个三角形相似； ③三边对应__________的两个三角形相似． 注意：(1)全等是特殊的相似，即相似比为1：1
（2）相似三角形分类：
① A 型 斜A 型
A B C D E A B C D E A
B
（DE ∥BC ） （DE 不平行于BC ） ② X 型 斜X 型
（AB ∥CD ） （AB 不平行于CD ）
（3）当条件中出现“某三角形与某三角形相似”往往要进行分类讨论；当出现“某三角形～某三角形”时是唯一确定的． 6.位似图形
⑴定义：如果两个图形不仅是__________，而且每组对应点所在的直线都经过__________，那么这样的两个图形叫做位似图形．这个点叫做__________，这时的相似比又称为__________．
⑵性质：①位似图形上任意一对对应点到__________的距离之比等于__________．
②对应线段的比等于__________；
③周长比等于__________；面积比等于__________．
注意：⑴相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
⑵位似图形的放大或缩小要考虑两种情况：同方向和反方向各做一个． 7.相似三角形的应用
相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，这一应用建立在数学建模和数形结合的思想的基础上，把实际问题转化为__________问题，通过求解数学问题达到解决__________问题的目的．
注意：⑴黄金分割的应用：如舞台主持人的位置、妈妈穿高跟鞋的高度等问题； ⑵利用相似测量物体的高度：如旗杆的高度、物体的影长等问题．
二、基础诊断题
1．（2014•牡丹江）若x ：y=1：3，2y=3z ，则
的值是（ ） A ． ﹣5
B ．
﹣
C ．
D ．
5 2．(2014年山东省滨州市)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分
面积相等，则
= ．
3．（2013•宜昌）如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），
以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ）
A ． （6，0）
B ． （6，3）
C ． （6，5）
D ． （4，2）
A
B
C
D
E
A
B
C
D
O
4.如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：，
使△ABC∽△ADE．
5.（2014•天津）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD
于点F，则EF：FC等于（）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
【精典例题】
例1.（2014•贵阳）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使
△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
例2. （2014•随州）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，
则S△DOE：S△COB=（）
A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2
考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
例3（2014•菏泽）如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO=1：，若点A（x 0，y0）的
坐标x0，y0满足y0= ，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为y= ．
变式：如图△ABC 是等边三角形,P 为BC 上一点,D 为AC 上一点,若 ∠APD=60°.
（1）求证:△APB ∽△PCD
（2）若BP=1，CD= 3
2
，求△ABC 的边长
例4（2014•武汉）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，
动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ． （1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值； （2）连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值；
【自测训练】 A 组—基础训练
一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）
1．如图，在直角三角形ABC 中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．12
2．在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC=
1
4
BC ．图中相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对
3．（2014年江苏南京）若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A ．1：2
B ． 2：1
C ． 1：4
D ． 4：1 4．（2012山东省聊城）如图，△ABC 中，点D 、
E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是（ ）
A.BC=2DE
B. △ADE ∽△ABC
C.
AC AB
AE AD = D. AD E ABC S S ∆∆=3 5．（2014沈阳）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD=2AD ， DE ∥BC 交AC 于点E ，若线段DE=5，则线段BC 的长为（ ） A.7.5 B.10 C.15 D.20 二、填空题
1．（2014•本溪）如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB=9，BD=3，则CF 等于_______。

2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为___________．
3. （2013安顺）在平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若DE ：EC=1：2，
则BF ：BE= ．
4. 在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的
顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是_____
5.（2012湖北随州）如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且
∠ABC=∠AED 。

若DE=4，AE=5，BC=8，则AB 的长为______________。

三、解答题
1．（2014•南宁）如图10，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC 于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G.
(1) 求证：△ADE≌△CFE；
(2) 若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长.
2.（2013•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）
（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，AD的长为；
②当AC=3，BC=4时，AD的长为；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．
3、（2014•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．
4. (2014年山东省滨州市)如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，OP交AC于点Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．①当t为何值时，DP⊥AC？
②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒
B组—提升训练
一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）
1.（2014•莱芜，第10题3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
2. （2014年江苏南京，第6题，2分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），
点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）
（第2题图）
A ．（，3）、（﹣，4）
B ．
（，3）、（﹣，4）
C ．（，）、（﹣，4）
D ．（，）、（﹣，4）
3.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )
4.在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点， 连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则
FD
BF
的值是（ ） A.21 B.31 C.4
1
D.51
5. （2014•湖北黄冈,第8题3分）已知：在△ABC 中，BC =10，BC 边上的高h =5，点E 在
边AB 上，过点E 作EF ∥BC ，交AC 边于点F ．点D 为BC 上一点，连接DE 、DF ．设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
A
C
B A ． B ．
C ．
D ．
A
C
D
F E
1. （2014•泰州，第15题，3分）如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE 为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为y=（x＞0）．
2.如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则□ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)
3.（2014•遵义17．（4分））“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FE⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH= 1.05里．
4. (2014年湖北咸宁16．（3分）)如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD为8或；
④0＜CE≤6.4．
其中正确的结论是①②③④．（把你认为正确结论的序号都填上）
5（2013•黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．
三、解答题
1、（（2014年山东泰安，第28题）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠AC B．
（1）求证：=；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
2、（2014•四川自贡，第23题12分）阅读理解：
如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
A C N M P
A M N
P 1
C P 2
B A C
M N P 1 P 2 P 200…… ……
B
第23题图2
第23题图1
第23题图3
3、（2014•包头）如图，已知∠MON=90°，A 是∠MON 内部的一点，过点A 作AB ⊥ON ，
垂足为点B ，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E ，F 同时从O 点出发，点E 以1.5厘米/秒的速度沿ON 方向运动，点F 以2厘米/秒的速度沿OM 方向运动，EF 与OA 交于点C ，连接AE ，当点E 到达点B 时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）当t=1秒时，△EOF 与△ABO 是否相似？请说明理由； （2）在运动过程中，不论t 取何值时，总有EF ⊥OA ．为什么？
（3）连接AF ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得S △AEF =S 四边形ABOF ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
课后反馈
1.(本小题满分9分)已知：△ABC 是任意三角形．
⑴如图1所示，点M 、P 、N 分别是边AB 、BC 、CA 的中点．求证：∠MPN =∠A ．
⑵如图2所示，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且
13AM AB =，1
3
AN AC =，点P 1、P 2是边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N +∠MP 2N =∠A 是否正确？请说明你的理
由．
⑶如图3所示，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且
12010AM AB =，1
2010
AN AC =
，点P 1、P 2、……、P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N +∠MP 2N +……
+∠MP 2009N =____________．（请直接将该小问的答案写在横线上．）
D
E
A
M
N C
B
2.(2011)28．(9分)如图，点C 为线段AB 上任意一点(不与点A 、B 重合)，分别
以AC 、BC 为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD 和△BCE ，CA ＝CD ，CB ＝CE ，∠
ACD 与∠BCE 都是锐角，且∠ACD ＝∠BCE ，连接AE 交CD 于点M ，连接BD 交CE 于点N ，AE 与BD 交于点P ，连接CP ． (1)求证：△ACE ≌△DCB ；
(2)请你判断△ACM 与△DPM 的形状有何关系并说明理由； (3)求证：∠APC ＝∠BPC ．
3.(本小题满分9分)如图,已知双曲线y ＝
x
k
经过点D (6,1),点C 是双曲线第三象限分支上的动点,过C 作CA ⊥x 轴,过D 作DB ⊥y 轴,垂足分别为A
(1)求k 的值；
(2)若△BCD 的面积为12,求直线CD 的解析式； (3)判断AB 与CD 的位置关系,并说明理由.
4. (本小题满分9分) 如图1,抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3与x 轴相交于点A (－3,0),B (－1,0),与y 轴相交于点C ．⊙O 1为△ABC 的外接圆,交抛物线于另一点D ． (1)求抛物线的解析式；
(2)求cos ∠CAB 的值和⊙O 1的半径；
(3)如图2,抛物线的顶点为P ,连结BP ,CP ,BD ,M 为弦BD 的中点.若点N 在坐标平面内,满足△BMN ∽△BPC ,请直接写出所有符合条件的点N 的坐标.
5、已知直线1234l l l l ∥∥∥，相邻的两条平行直线间的距离均为h ，矩
2
1
图
形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB =4，BC =6，则tan α的值等于
（A ）2
3
（B ）34
（C ）43
（D ）32
6、如图1，抛物线2
16
3x y -
=平移后过点A （8，,0）和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积阴影S ； （2）如图2，直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上一动点，
PMN ∠为直角，边MN 与AP 相交于点
N ，设t OM =，试探求：
①为何值时MAN ∆为等腰三角形； ②为何值时线段PN 的长度最小，最小长度是多少．
第6题图1。