第三讲---不定方程(数论复赛辅导)
初一寒假第3讲 不定方程
第三讲 不定方程不定方程定义略。
我们只关心整系数不定方程的整数解。
若无特殊说明，默认出现的方程是此类方程。
本讲讨论几种简单而且重要的不定方程板块1 一次不定方程像ax+by=c ab ≠0这样的不定方程叫做二元一次不定方程先给出有解条件：ax+by=c 存在整数解的条件是（a ，b ）|c（a ，b ）|c 不成立显然不定方程无整数解，以下证明（a ，b ）|c 成立则方程有整数解。
设a=kp b=kq c=km k =(a,b )则有(p,q )=1代入原方程，px+qy =1 我们只要证明这个方程有整数解移项得到px =1-qy ，我们只要证明p 的倍数可以除以q 余m 即可。
考虑p 2p 3p 4p 5p …(q -1)p 这些数，其中没有q 的倍数，并且除以q 余数各不相同。
所以余数遍历 1,2,3…q -1，其中必有p 的k 倍除以q 余m 。
下面举例说明如何写出通解【例】4x +7y =1【解析】最简单易行的方法是先找到一个解。
比如(2,-1)然后x 的值增加7t ，y 的值减少4t ，方程左边大小不变，等号成立。
所以得到方程的参数解(x,y )=(2+7t ,-1-4t ) t 是任意整数再举一个常数项不是1的例子。
【例】31x +23y =185【解析】31÷23=1...8 185÷23=8 (1)我们需要8的倍数，除以23余1。
24满足条件。
所以原方程化为31x =23(8-y )+1 类比31×3=23×4+1得到特解x =3 8-y =4 (x,y )=(3,4)进而得到通解(x,y )=(3+23t ,4-31t )其中t 是任意整数【例】4x +5y =21【解析】4|5y -214|y -1y =4t +1代入得到解5441x t y t =-+⎧⎨=+⎩ 其中t 是任意整数三元一次不定方程的例子【例】2x +3y +7z =35【解析】观察到3y +7z 是偶数也就是说y,z 有相同的奇偶性设y=a+b z=a-b 代入，得到参数解1725x b a y a bz a b =+-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩其中a,b 是任意整数【例】2x +3y +7z =35【解析】观察到3y +7z 是奇数也就是说y,z 有不同的奇偶性设y=a+b+1 z=a-b 代入，得到参数解16251x b a y a b z a b =+-⎧⎪=++⎨⎪=-⎩其中a,b 是任意整数再看三元一次不定方程组【例】1001050500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩【解析】把x 看成常数10t ，解出方程4504949504t y t z -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩若要根是整数，t 是除以4余2的。
浙教版七年级数学培优竞赛讲义(不定方程)
浙教版七年级数学培优竞赛讲义不定方程不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 定理 3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤：（1） 判断有无整数解；（2） 求出一个特解；（3） 写出通解；有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.1．求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13105=+y x .2．求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x2．大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.4．（新加坡）设正整数m ,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 .5．（2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求A 、B 两地的距离.练习：1． 小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？2．已知2220012c a b +=-==，且a +b +c =2001k ，那么k 的值为( )。
高二数学竞赛班二试数论讲义-不定方程
可得一组满足条件的正整数解(x, y)．故 n2 的小于 n 的正约数恰好为 2010．
设n
p1 1
pk k
，其中
p1, ,
pk
是互不相同的素数，1, , k
是非负整数．故 n2
的小于 n
的正约数个数为
(21 1)(2 k 1) 1 ， 2
故 (21 1)(2 k 1) 4021 ．
易知 3 y 5 （当 y 6 时， z 7 ，上式不成立）。仅当 y 4 时， z 14 为整数，故仅有一组整数解 (2, 4,14)
（2）当 (x 1)( y 1)(z 1) 1 3 时，则 1 1 1 1 1 1 2
xyz
x y z xy yz zx
1
4．求方程 x3 y3 xy 61 的正整数解 5．求所有正整数 m, n ，使 2m 3n 为平方数。
高二数学竞赛班二试讲义
不定方程
例
1．
Hale Waihona Puke x 650 y 225
107t 37t
(t
Z
)
，先求
37
x
107
y
25
的一组特解。为此对
37,107
用辗转相除法。107
三、精选习题
1．求不定方程 23x 17 y 25 的整数解。
2．求所有的有理数 r ，使得方程 rx2 (r 1)x (r 1) 0 的所有解都是整数。
例 2．求出所有的正整数 n ，使得关于 x, y 的方程 1 1 1 恰有 2011 组满足 x y 的正整 xyn
综上所述，满足题意的正整数 (a, b, c) 为 (3,5,15), (2, 4,8)
竞赛数学(张同君陈传理)数论3(不定方程)
根据未知数的个数和方程的个数之间的关系，不定方程可分为一 元不定方程、二元不定方程等。
整数解与特解概念
整数解
满足不定方程的整数解称为该不 定方程的整数解。
特解
不定方程的一组特殊解，通常用 于求解其他解或证明解的存在性 。
线性不定方程性质
01
齐次线性不定方程
若线性不定方程的常数项为零，则称为齐次线性不定方程。齐次线性不
的解。
04
特殊类型不定方程处理方法
佩尔方程求解思路
佩尔方程形式
佩尔方程是一类形如x^2 - ny^2 = 1的不定方程， 其中n为正整数且不是完全平方数。
求解步骤
通过连分数、二次剩余等方法找到一组特解，然后 利用递推关系式求得所有解。
注意事项
在求解过程中需要注意n的取值范围以及特解的选择 ，避免陷入死循环或者得到无效解。
况下，可以通过消元法、代入法等方法求解。
02
线性不定方程求解方法
逐步满足法原理及步骤
原理：通过逐步满足方程中的条件，使问题不 断简化，最终得到方程的解。
01
观察方程特点，确定一个未知数的取值范 围；
03
02
步骤
04
在该范围内逐一尝试满足方程的整数解；
若找到一组解，则验证其正确性；
05
06
若无法找到解，则调整取值范围或尝试其 他方法。
其他特殊类型问题探讨
其他特殊类型问题
除了佩尔方程和高次幂和型不定方程外，还有一些其他特殊类型的不定方程问题，如费马 大定理相关的不定方程、涉及三角函数的不定方程等。
处理方法
针对不同类型的特殊问题，需要采用不同的处理方法。例如，费马大定理相关的不定方程 可以通过代数数论的方法进行研究；涉及三角函数的不定方程可以通过三角恒等式进行化 简和求解。
初等数论不定方程的解法
初等数论不定方程的解法初等数论是数论中的一部分，主要研究整数之间的性质和关系。
在初等数论中，不定方程是一个非常重要的研究对象。
不定方程是指一个方程中包含的未知数不确定，需要求解这些未知数的取值以满足方程。
本文将介绍不定方程的一般解法，并通过具体例子进行演示。
首先，我们来介绍一下一元一次不定方程的解法。
一元一次不定方程的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知整数，x、y为未知整数。
解决这个方程的关键是找到一组x、y的取值，使得方程成立。
我们可以通过以下步骤来解决一元一次不定方程：1.首先，我们要判断方程是否有解。
我们知道，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程才有整数解。
我们可以使用欧几里得算法来求出a和b的最大公约数gcd(a,b)，然后判断c是否是gcd(a,b)的倍数。
2.如果方程有解，我们需要求出一个特解。
我们可以使用扩展欧几里得算法来求解特解。
扩展欧几里得算法可以找到一组整数x0和y0，使得ax0 + by0 = gcd(a,b)。
我们可以将c除以gcd(a,b)得到c'，然后将特解x0和y0乘以c'得到一个特解x1 = x0 * c'，y1 = y0 * c'。
3.一旦我们找到了一个特解，我们可以通过以下形式来构造方程的通解：x = x1 + k * (b / gcd(a, b))y = y1 - k * (a / gcd(a, b))其中k为整数。
这样，我们就可以通过改变k的值来得到方程的所有整数解。
接下来，我们来介绍一下二次不定方程的解法。
二次不定方程的一般形式为ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为已知整数，x、y为未知数。
对于二次不定方程，我们可以通过一些特殊的方法来求解。
下面介绍两种常用的方法：1.利用配方法。
如果二次不定方程中的系数是已知整数，且可以对方程进行配方法，那么我们可以通过配方法来求解方程。
完整word版,高中数学竞赛辅导-初等数论(不定方程)
不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.1．几类不定方程 （1）一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程)0,0(,0≠>=++b a c by ax ①通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理.定理一：二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数.有整数解的充分必要条件是c b a |),(. 定理二：若00,,1),(y x b a 且=为①之一解，则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,. （t 为整数）。
（2）沛尔)(pell 方程形如122=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的解，则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()]n nn n n n x x x y x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（1,2,3,n =L ）给出.①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②n n y x ,满足的关系：1(nn x y x y +=+；11211222n n n nn n x x x x y x y y ----=-⎧⎨=-⎩ ， （3）勾股方程222z y x =+这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。
容易看出y x ,一奇一偶，无妨设y 为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。
定理三：方程222z y x =+满足1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且1),(=b a 的任意整数.4．不定方程zt xy =这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：设a z x =),(，则ad z ac x ==,，其中1),(=d c ，故1),(,,===d c dt cy adt acy 因即， 所以bc t bt y y d ==则设,,|. 因此方程zt xy =的正整数解可表示为d c b a bc t ad z bd y ac x ,,,.,,,====都是正整数，且1),(=d c .反过来，易知上述给出的t z y x ,,,都是解.也可采用如下便于记忆的推导： 设d c d c y t z x 这里,==是既约分数，即1),(=d c . 由于z x 约分后得出dc，故ad z ac x ==,，同理.,ab y cb t ==2．不定方程一般的求解方法1．奇偶分析法；2．特殊模法；3．不等式法；4．换元法； 5．因式分解法6．构造法（构造出符合要求的特解或一个求解的递推关系，证明解无数个） 7．无穷递降法由于不定方程的种类和形式的多样性，其解法也是多种的，上面仅是常用的一般方法. 注：对无穷递降法的理解：以下面的问题为例： 证明：方程442x y z +=无正整数解。
人教版高中选修4-6第三讲一次不定方程课程设计
人教版高中选修4-6第三讲一次不定方程课程设计一、课程背景不定方程是高中数学中的重要内容之一，也是选择性课程中的难点和重点。
本课程设计依据人教版高中选修4-6第三讲的教学内容，注重培养学生的解决问题的能力和灵活运用知识的能力。
通过本次课程设计，可以使学生掌握不定方程基础知识和解题方法，增强他们对数学的兴趣和信心。
二、课程目标1.掌握不定方程的定义和基础知识，了解不定方程解的存在条件。
2.掌握常见的不定方程解法，如整数解法、质因数分解法等。
3.培养学生的数学分析和问题解决的能力，让学生能够通过数学知识和方法解决实际问题。
4.激发学生的学习兴趣，提升学生的自信心。
三、教学重难点教学重点1.不定方程的定义和基础知识。
2.常见的不定方程解法。
教学难点1.针对不同类型的不定方程，选择合适的解法。
2.不定方程存在条件的分析。
四、教学过程设计活动1：导入环节（5分钟）1.物质激励：出示一句名言：“一个人的天才，往往就在于发现不确定的方程式中有确定的真理”。
2.引导学生思考：你对不定方程有什么了解？如何解决不定方程？3.向学生介绍本节课的主要内容和目的。
活动2：知识传授（20分钟）1.向学生讲解不定方程的定义，例举存在解的条件。
2.介绍常见的不定方程解法，如整数解法、质因数分解法等。
3.分类讲解不定方程的解法，让学生掌握如何针对不同类型的不定方程选择合适的解法。
4.强调不定方程的重要性和实际应用。
活动3：案例分析（25分钟）1.选择一两个常见的不定方程案例进行分析和解决，让学生参与其中，提高他们的分析和解决问题的能力。
2.引导学生通过解决问题的过程，巩固不定方程的基础知识和解题方法，并帮助他们理解和掌握不定方程的运用。
活动4：总结回顾（10分钟）1.回顾本节课的主要内容和知识点。
2.总结不定方程的应用情况和实际意义。
3.鼓励学生继续学习和探索更多的数学知识。
五、教学评估1.课堂练习：出一些典型的不定方程题目，让学生自己解决，检验他们的掌握程度。
不定方程ppt课件
解：因为（107，37）=1，所以有解；故
y 2x 25 33x 37
令y1
25 33x 37
,即7 y1
33x
25
x
y1
25 4 y1 33
令
25 4 y1 33
x1有 33 x1
4 y1
25
故y1
6 8x1
1 x1 4
,令1 x1 4
y2令x1
4y2
1
令y2 t, x1 1 4t 故
(5)几类特殊的不定方程
§1 二元一次不定方程
定义：形如 ax by c
其中 ( a 0,b 0)a,b,c为整数的方程称为二元 一次不定方程。
例：2X+3Y=5
5U+6V=21
定理： ax by c 有解的充要条件是
(a,b)|c
证：设方程有解 x0 , y0则有 ax0 by0 c
程有无穷解，其一切解可表示成
x y
x0 y0
b1t a1t
t 0,1,2,
其中
证 是：方把程的y解x 。yx00
b1t a1t
代入不定方程成立，所以
又设 x, y 是不定方程的任一解，又因为 x0 , y0
是一特解
则有 a(x x0 ) b( y y0 ) 0 ,即有 a1(x x0 ) b1( y y0 ) 有 a1 | b1( y y0 )
a1x1 a2 x2 d2t2 , d2t2 a3x3 d3t3, d t n1 n1 an xn c
先解最后一个方程的解，得 tn1, xn 然后把其代入倒数第二个方程求得一 切解，如此向上重复进行，求 得所有 方程的解。
例1：求不定方程 25x 13y 7z 4的整数解.
数论中的同余方程与不定方程
数论中的同余方程与不定方程数论是研究整数的性质和结构的学科，其中同余方程和不定方程属于重要的研究内容。
本文将介绍同余方程和不定方程的概念、性质以及解法。
一、同余方程同余方程是指形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、b和m都是整数，≡表示同余，意味着 a与b对于模m同余。
1.1 概念同余方程是用来描述整数之间的关系的方程。
同余方程中的 a、b和m都是整数，其中 a和m是已知的，b是未知的。
解同余方程就是要找到满足这个关系的整数b的值。
1.2 性质同余方程具有一些重要的性质：- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有a+km≡b (mod m) 。
- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有ak≡bk (mod m) 。
- 如果a≡b (mod m) 且b≡c (mod m) ，那么a≡c (mod m) 。
1.3 解法一般而言，我们可以通过穷举法或代入法求解同余方程。
- 穷举法：我们可以从 0开始，依次将整数代入方程，判断是否满足同余关系。
这种方法比较直观，但对于大数目的解比较复杂。
- 代入法：我们可以将 b 替换成一个待定整数 x，然后通过一定的数学变换，将原方程转化为一个简化的同余方程。
然后我们可以通过简化后的方程来求解。
二、不定方程不定方程是指形如 ax+by=c 的方程，其中 a、b和c都是整数，且给定整数解x和y。
2.1 概念不定方程是一种用来描述整数之间的关系的方程。
不定方程中的a、b和c都是整数，其中 a和b是已知的，c是未知的。
我们需要找到满足该关系的整数解x和y。
2.2 性质不定方程具有一些重要的性质：- 如果 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 是不定方程 ax+by=c 的解，那么(x₁+x₂, y₁+y₂) 也是其解。
- 不定方程 ax+by=c 只有有限多个整数解，当且仅当 c 是 a和b的公倍数。
2.3 解法解决不定方程一般有以下几种方法：- 整数分拆法：我们可以通过对方程逐项进行整数分拆，得到不同的解。
人教版高中数学选修4-6 第三讲 一次不定方程 一 二元一次不定方程名师课件【集体备课】
设（a，b）=1则不定方程ax+by=c的整
数通解为， x=x0+bt y=y0-at
其中t为任意的整数x=x0，y=y0为不定方程
ax+by=c的一个特解 .
课堂小结
一、二元一次不定方程一般式：ax+by=c . 其
所以，不定方程不一定有整数解. 下面我们就来讨论什么情况下不定方
程有整数解.
分析（一）
设不定方程ax+by=c有整数解x=x0，y=y0. 因为（a，b）︱a，（a，b） ︱b 所以（a，b） ︱ax0+by0=c， 即若不定方程有整数解，则（a，b） ︱c
这是不定方程有解时系数之间的关系， 下面我们来看验证，当系数满足 （a，b） ︱c 时是否一定有整数 解.
所151s以11
s
4s 1
∈11 z，得到
4s 1
s 3 y 4, x 5
所以 x1=1-5
x=-5+19t
y=4是方程的一个特解. 得解 y=4-15t t ∈z
课堂练习
1、二元一次方程3x+2y=11 ( D). A、 任何一对有理数都是它的解
B、只有一个解 C、只有两个解
D、无穷多个解
鸡翁一，值钱五，鸡母一， 值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱 买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何.
你能算出有多 少只鸡吗？
上面的问题即是著名的“百钱买百 鸡”，百钱能买到百鸡吗？若能买到， 能买到鸡翁、鸡母和鸡雏各多少只？
生活中类似的问题还有很多，要怎 样顺利的解决这些问题，就需要学习新 的知识——二元一次不定方程.
不定方程定义
不定方程定义不定方程定义及相关定义1. 不定方程定义不定方程是指含有未知数的方程，其解可能是整数或有理数，并且方程的系数是已知的。
不定方程的一般形式为：A1x1 + A2x2 + … + Anxn = B其中，A1, A2, …, An 是方程中的系数，x1, x2, …, xn 是未知数，B 是已知的常数。
2. 二元一次不定方程二元一次不定方程是指只含有两个未知数的一次方程。
一般形式为：A1x + A2y = B其中，A1、A2 和 B 是已知的常数。
解二元一次不定方程可以用到数论的知识，如贝祖等式、扩展欧几里得算法等。
3. 举例及理由例1：解二元一次不定方程 3x + 5y = 7。
•理由：这是一个经典的二元一次不定方程，解之可以帮助我们理解贝祖等式的应用。
例2：解二元一次不定方程 2x + 4y = 10。
•理由：这是一个特殊的二元一次不定方程，通过求解该方程，我们可以讨论贝祖等式的无解情况。
例3：解二元一次不定方程 4x + 3y = 2。
•理由：这是另一个特殊的二元一次不定方程，解之可以为我们提供扩展欧几里得算法的实际应用。
4. 相关书籍推荐•“Elementary Number Theory” by David M.Burton: 这本书是数论的经典教材，涵盖了不定方程以及其他数论概念的详细内容。
适合对数论感兴趣的读者，提供了丰富的例题和练习题。
•“An Introduction to the Theory of Numbers”by Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, and Hugh L.Montgomery: 这是另一本优秀的数论教材，对不定方程及其解法进行了深入讲解。
书中提供了大量的例题和习题，适合进一步深入学习不定方程的读者。
以上是关于不定方程定义及相关定义的简要介绍和举例说明。
对于想要深入了解和研究不定方程的读者，推荐阅读上述书籍以获取更详细的知识。
中考数学复习指导：不定方程的求解方法与技巧
不定方程的求解方法与技巧所谓不定方程是指方程的个数少于未知量的个数，且未知量又受某些限制（如为整数、正整数等）的一类方程，在初中数学竞赛中，不定方程问题是一类综合性较强的问题，对于此类问题，如能仔细分析，掌握题目的一般规律，找出其隐含条件，或根据其自身特点和已学过的知识，灵活运用一些方法，就能迎刃而解．以下介绍几种常用的方法：一、分解因式降次法降次是解方程常用的方法，在处理某些不定方程中，可利用因式分解化成型如(ax＋b)（cx＋d）＝0的方程，再利用因式的性质，帮助找到隐含的条件，求得一些未知参数的关系式．例1 求方程1117x y+=的正整数解．例2若△ABC的三条边a，b，c满足关系式a4＋b2c2－a2c2－b4＝0，则△ABC的形状是什么？综上，△ABC 为等腰三角形或直角三角形．二、配方法配方法是数学很常用的方法，在某些不定方程中，通过配方后，再利用非负数的性质，帮助找出隐含的条件，解决一些代数式的求值问题．例3 若x 2＋y 2＋54＝2x ＋y ，那么x y ＋y x ＝． 解 由题意，得例4 求不定方程3x 2－4xy ＋3y 2＝35的全部整数解．三、整体代入法应用整体代人法解决求值问题，能简化运算．在某些不定方程中，把不定方程中的某个式子当作一个“整体”，并把“整体”代入求值，往往可以提高解题效率，简化解题过程．例5 若x＋y＝1，则x4＋6x3y一2x2y＋10x2y2－2xy2＋6xy3＋y4的值等于( )分析此题由x＋y＝1求出x（或y）后，再代入求值繁难可想而知，若是由题意把所求的式子整理成有关并＋y的式子，再利用“整体代入”的思想求值，就可简化运算．四、选取主元法在不定方程中，我们可以选取一个未知数作为“主元”，其余的未知数为“辅助元”，利用解的存在性达到降元的目的．例6 求满足方程x2＋y2＝2(x＋y)＋xy的所有正整数解．分析此不定方程，可以选取未知数x作为主元，y作为辅助元．五、整式分离法在不定方程中将某一个未知数的整式从中分离出来，再由题意求出符合题意的解．例7 求不定方程6xy＋4x－9y－7＝0的所有整数解．解不定方程变形为六、不等式分析法对不定方程利用不等式的逼近方法，逼出某一未知数的范围，再加以讨论，求出符合题意的解．例8 求不定方程x2－2xy＋14y2＝217的所有正整数解．解不定方程整理得。
一招教你搞定不定方程
一招教你搞定不定方程一相关概念1.什么是不定方程未知数个数多于方程个数的方程,叫做不定方程,比如：3x+4y=42就是一个二元一次方程.在各类公务员考试中通常只讨论它的整数解或正整数解.在解不定方程问题时,我们可以利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案.但是方法越是繁多,我们在备考过程中学习的压力就越大,为了让大家更好的地理解和掌握不定方程的求解问题,这里我们介绍一种“万能”的方法——利用同余性质求解不定方程.2.什么是余数被除数减去商和除数的积,结果叫做余数.比如：19除以3,如果商6,余数就是1；如果商是5,余数就是4；如果商是7,余数就是-2.注意,这里余数的概念指的是广义上的概念,即余数不再是比除数小的正整数.3.同余特性①余数的和决定和的余数例：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1；23,24除以5的余数分别是3和4,所以23+24除以5的余数等于余数和7,正余数是2.②余数的差决定差的余数；例：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等于2,即两个余数的差3-1；16-23除以5的负余数为-2,正余数为3.③余数的积决定积的余数；例：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3.二利用同余性质解不定方程例1：解不定方程x+3y=100,x,y皆为整数.A 41B 42C 43D 44解析：因为3y能够被3整除,100除以3余1,根据余数的和决定和的余数,x 除以3必定是余1的,所以答案为C.例2:：今有桃95个,分给甲,乙两个工作组的工人吃,甲组分到的桃有2/9是坏的,其他是好的,乙组分到的桃有3/16是坏的,其他是好的.甲,乙两组分到的好桃共有多少个A.63B.75C.79D.86解析：由题意,甲组分到的桃的个数是9的倍数,乙组分到的桃的个数是16的倍数.设甲组分到的桃有9x个,乙组分到16y个,则9x+16y=95.因为9x可以被9整除,所以95除以9的余数就等于16y除以9的余数,95除以9余5或者余14,16y 除以9的余数由16除以9的余数7和y除以9的余数之积决定,所以可以推出：y除以9的余数是2,那么y的值只能取2,进而求出x=7,,则甲、乙两组分到的好桃共有7x+13y=7×7+13×2=75个,答案选B.。
不定方程的解法
基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。
丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
4方程相关编辑本段4.1一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。
第三讲---不定方程(教用)
第三讲 不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件约束（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组，不定方程也称为丢番图方程. 不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解； （2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
（一）多元一次不定方程（组）定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)有整数解的充要条件是c b a |),(. 定理2. 若00,y x 为 c by ax =+的一个整数解，则方程的一切整数解都可以表示成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t b a ay y t b a b x x ),(),(00 t (为任意整数). 【例题分析】1．求不定方程2510737=+y x 的整数解.解：先求110737=+y x 的一组特解，为此对37，107运用带余除法：33372107+⨯=，433137+⨯=， 18433+⨯=将上述过程回填，得：378)372107(9378339)3337(93749374843748331⨯-⨯-⨯=⨯-⨯=-⨯-=⨯-=⨯--=⨯-=9107)26(3737261079⨯+-⨯=⨯-⨯=由此可知：9,2611=-=y x 是方程110737=+y x 的一组特解，于是 650)26(250-=-⨯=x ，2259250=⨯=y 是方程2510737=+y x 的一组特解. 因此原方程的一切整数解为：⎩⎨⎧-=+-=ty t x 37225107650 . 2．求不定方程213197=+y x 的所有正整数解.解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项，并移项得：753230719213yy y x -+-=-=因为y x ,是整数，故u y=-753也一定是整数，于是有375=+u y . 用5去除上式的两边，得523573uu u y -+-=-=. 令523u v -=为整数，由此得352=+v u 。
证明不定方程
证明不定方程1. 引言在数学中，不定方程是指含有未知数的方程，其解不仅仅限于整数或有理数，而是可以是实数或复数。
证明不定方程的方法有很多，其中包括数论、代数和几何等多个分支。
本文将重点讨论证明不定方程的数论方法，包括但不限于二次剩余、模运算和整数分拆等。
2. 二次剩余二次剩余是数论中一个重要的概念，与证明不定方程密切相关。
首先，我们来定义二次剩余：定义1：对于给定的整数a和素数p，如果存在整数x，使得x^2 ≡ a (mod p)，则称a是模p的二次剩余。
根据二次剩余的定义，我们可以推导出以下性质：性质1：如果a是模p的二次剩余，那么-a也是模p的二次剩余。
性质2：如果a是模p的二次剩余，那么a^((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)。
性质3：如果a是模p的二次剩余，那么x^2 ≡ a (mod p)的解的个数等于p-1的一半。
利用二次剩余的性质，我们可以证明一些关于不定方程的结论。
下面以一个具体的例子来说明。
例子1：证明不定方程x^2 ≡ 2 (mod 7)无解。
证明：根据性质2，我们有2^((7-1)/2) ≡ 1 (mod 7)。
然而，通过计算可知2^3 ≡ 1 (mod 7)，因此2^((7-1)/2) ≡ 1 (mod 7)不成立。
由此可知，不定方程x^2 ≡ 2 (mod 7)无解。
证毕。
3. 模运算模运算是证明不定方程的另一种重要方法。
模运算可以将整数映射到一个有限的范围内，从而简化问题的复杂度。
定义2：对于给定的整数a和正整数n，定义a mod n为a除以n的余数。
模运算有以下性质：性质4：对于任意的整数a和正整数n，a mod n的值范围是0到n-1。
性质5：对于任意的整数a和正整数n，如果a ≡ b (mod n)，则a mod n = b mod n。
通过模运算，我们可以得到一些关于不定方程的结论。
下面以一个具体的例子来说明。
例子2：证明不定方程x^2 ≡ 3 (mod 8)无解。
初中数学竞赛专题复习 第三篇 初等数论 第21章 不定方
第21章 不定方程§21.1 二元一次不定方程21.1.1★求不定方程2x y -=的正整数解．解析 因为312-=，422-=，532-=，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是2,,x n y n =+⎧⎨=⎩ 其中n 可以取一切正整数．21.1.2★求11157x y +=的整数解．解析1 将方程变形得71511yx -=．因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得02x =，01y =-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为215,111,x t y t =-⎧⎨=-+⎩t 为整数．解析2 先考察11151x y +=，通过观察易得()()1141531⨯-+⨯=，所以()()114715377⨯-⨯+⨯⨯=，可取028x =-，0 21y =．从而2815,2111,x t y t =--⎧⎨=+⎩t 为整数．评注 如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程ax by c += ①有一组整数解0x 、0y ．则此方程的一切整数解可以表示为00,,x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩其中0t =，±1，±2，±3，…．21.1.3★求方程62290x y +=的非负整数解．解析 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得31145x y +=． ①由观察知，14x =，11y =-是方程3111x y += ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为()00454180,45145,x y =⨯=⎧⎪⎨=⨯-=-⎪⎩ 所以方程①的一切整数解为18011,453.x t y t =-⎧⎨=-+⎩因为要求的原方程的非负整数解，所以必有180110,4530.t t -⎧⎨-+⎩≥③≥④ 由于t 是整数，由③、④得15≤t ≤16，所以只有t =15，t =16两种可能．当t =15时，x =15，0y =；当t =16时，x =4，y = 3．所以原方程的非负整数解是15,0,x y =⎧⎨=⎩4,3.x y =⎧⎨=⎩21.1.4★求方程719213x y +=的所有正整数解．解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解．用方程719213x y +=①的最小系数7除方程①的各项，并移项得213193530277y y x y --==-+．② 因为x 、y 是整数，故357y u -=也是整数，于是有573y u +=．再用5除此式的两边得 373255u u y u --==-+．③ 令325u v -= (整数)，由此得 253u v +=．④由观察知1u =-，1v =是方程④的一组解．将1u =-代入③得2y =．2y =代入②得x =25．于 是方程①有一组解025x =，02y =，所以它的一切解为2519,27.x t y t =-⎧⎨=+⎩0,1,2,t =±±L 由于要求方程的正整数解，所以25190,270.t t ->⎧⎨+>⎩解不等式，得t 只能取0，1．因此得原方程的正整数解为25,2,x y =⎧⎨=⎩6,9.x y =⎧⎨=⎩21.1.5★求方程3710725x y +=的整数解．解析 因为10723733=⨯+，371334=⨯+，33841=⨯+．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37=9×(107-2×37)-8×37=9×107-26×37=37×(-26)+107×9,由此可知126x =-，19y =是方程371071x y +=的一组整数解．于是()02526650x =⨯-=-,0259225y =⨯=是方程3710725x y +=的一组整数解．所以原方程的一切整数解为650107,22537,x t y t =--⎧⎨=+⎩t 是整数．21.1.6★求方程92451000x y z +-=的整数解．解析 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．原方程可化为38,351000.x y t t z +=⎧⎨-=⎩①②用前面的方法可以求得①的解为38,3,x t u y t u =-⎧⎨=-+⎩u 是整数．②的解为20005,10003,t v z v =+⎧⎨=+⎩v 是整数．消去t ，得6000815,200035,10003,x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩,u v 是整数．21.1.7★求方程23723x y z ++=的整数解．解析 设23x y t +=，则23,723.x y t t z +=⎧⎨+=⎩①②对于①，0x t =-，0y t =是一组特解，从而①的整数解为3,2,x t u y t u =--⎧⎨=+⎩u 是整数．又02t =，03z =是方程②的一组特解，于是②的整数解为3,27,z v t v =-⎧⎨=+⎩v 是整数． 所以，原方程的整数解为273,272,3.x v u y v u z v =---⎧⎪=++⎨⎪=-⎩u 、v 是整数．21.1.8★求方程组57952,35736x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的正整数解． 解析 消去z ，得 210z y +=． ①．易知04x =，02y =是它的一组特解，从而①的整数解为4,22,x t y t =-⎧⎨=+⎩t 是整数． 代入原方程组，得所有整数解为4,22,2.x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩t 是整数．由0x >，0y >，0z >得12t -<<，所以t =0，1，故原方程组的正整数解为4,2,2;x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩3,4,1.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩21.1.9★求方程351306x y +=的正整数解的组数．解析 因为130651435233y y x y -+==-+，所以0x =437，01y =-是一组特解．于是方程的整数 解为4375,13.x t y t =-⎧⎨=-+⎩t 是整数． 由43750,130.t t ->⎧⎨-+>⎩ 得143735t <<. 所以t =1，2，…，87．故原不定方程有87组正整数解．21.1.10★★某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法? 解析 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是75142x y +=．①所以1427222855x x y x --==--． 由于7x ≤142，所以x ≤20，并且由上式知()5|21x -．因为(5，2)=1，所以5|1x -，从而 x =1，6，11，16．①的非负整数解为1,6,11,16,27;20;13; 6.x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩所以，共有4种不同的支付方式．评注 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．21.1.11★★今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用100个钱买100只鸡，问公 鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?解析 设公鸡、母鸡、小鸡各买x 、y 、z 只，由题意列方程组153100,3100.x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩①② ①化简得159300x y z ++=.③③-②得148200,x y +=即74100.x y +=解741x y +=得1,2.x y =-⎧⎨=⎩于是74100x y +=的一个特解为00100,200.x y =-⎧⎨=⎩所以74100x y +=的所有整 数解为1004,2007,x t y t =-+⎧⎨=-⎩t 是整数． 由题意知，0x <，y ，100z <，所以，01004100,02007100.t t <-+<⎧⎨<-<⎩解得2550,241428.77t t <<⎧⎪⎨<<⎪⎩ 故425287t <<. 由于t 是整数，故t 只能取26，27，28，而且x 、y 、z 还应满足100x y z ++=．所以即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．21.1.12★★小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套lO 次共得61分，问：小鸡至少被套中几次?解析 设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，套中小狗z 次，则根据题意得95261,10.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② 我们要求这个方程组的正整数解．消去z ：从①中减去②×2得7341x y +=，于是4173x y -=．③ 由③可以看出417x <．从而x 的值只能是1，2，3，4，5．将③写成 21323x y x -=-+， 由于y 是整数，所以2x -必须是3的倍数．从而只有2、5两个值满足这一要求．但2x =时，9y =，1z =-不是正整数．在5x =时，2y =，3z =是本题的解． 因此小鸡被套中5次．评注 本题问“小鸡至少被套中几次?”实际上却只有一个解，“至少”两字可以省去．21.1.13★★今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?解析 设甲、乙、丙盐水分别各取x 克、y 克、z 克，配成浓度为7％的盐水100克，依题意有 100,589700.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩其中060x ≤≤，0≤y ≤60，0≤z ≤47．解方程组可得2004,3100.y x z x =-⎧⎨=-⎩由0200460,0310047.x x -⎧⎨-⎩≤≤≤≤ 得3549x ≤≤．又35x =，60y =，5z =和49x =，4y =，47z =均满足题设，故甲种盐水最少可用35克，最 多可用49克．§21.2 勾股数21.2.1★★★满足方程222x y z +=的一切基本勾股数x 、y 、z （y 为偶数)，都可表示为以下形式：22x p q =-，2y pq =，22z p q =+，①其中p 、q 为正整数，(p ，q )=1，p q >，p 、q 一奇一偶．解析 设正整数p 、q 满足(p ，q )=1，p q >，p 、q 一奇一偶，则()()2222222x y p q pq +=-+42242224p p q q p q =-++()2222p q z =+=． 所以一切形如①的正整数x 、y 、z 都是方程222x y z +=的解．下面证明这样的x 、y 、z 是基本勾股 数．设(),,x y z d =，由于p 、q 一奇一偶，所以22p q -是奇数，由22|d x p q =-，于是d 是奇数．又由22|d p q +，得()()2222|d p q p q ++-，即2|2d p ，同理2|2d q ．因为d 是奇数，所以2|d p ，2|d q ，于是()22|,d p q ．由(),1p q =得()22,1p q =，所以1d =．这就证明了由①确定的x 、y 、z 是一组基本 勾股数．反过来，设x 、y 、z 是一组基本勾股数，且y 是偶数，x 和z 都是奇数，则2z x -和2z x +都是整数． 设,22z x z x d -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则存在正整数a 和b ，使 2z x da -=，2z x db +=，(),1a b =， 于是()z d b a =+，()x d b a =-．由于(),1z x =，所以1d =，即,122z x z x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭． 由222x y z +=得2222y z x z x +-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭． 这就可推出上式中右面两个因式都是平方数．设22z x p +=，22z x q -=， 这里0p q >>．(,)1p q =，于是可得2222,2,x p q y pq z p q =-==+．由于z 是奇数，所以p 、q 一奇一偶．这就证明了方程222x y z +=的任意一组解x 、y 、z (y 为偶数) 都可由①表示．评注 如果正整数x 、y 、z 满足方程222x y z +=，那么就称x 、y 、z 是一组勾股数．边长为正整数的直角三角形就称为勾股三角形．在勾股数x 、y 、z 中，如果这三个数的最大公约数是1，那么这样的勾股数就称为基本勾股数．如果 （x ，y ，z ）=1d >，那么设x dx =′，y dy =′，z dz =′，则有（x ′，y ′，z ′）=1，并且由222x y z +=得222222d x d y d z '+'='，两边除以2d ，得222x y z '+'='．所以我们只需研究基本勾股数．在基本勾股数x 、y 、z 中，x 和y 必定一奇一偶．这一点可以用反证法证明：假定x 和y 的奇偶性相同，那么有两种可能的情况：①x 和y 同奇，②x 和y 同偶．如果x 和y 同奇，由于奇数的平方是4的倍数加1，所以22x y +是4的倍数加2，于是2z 是偶数，z 也是偶数，而偶数的平方是4的倍数，这与4的倍数加2矛盾，所以x 和y 不能都是奇数．如果x 和y 都是偶数，那么z 也是偶数，这与x 、y 、z 是基本勾股数矛盾，所以x 和y 中一奇一偶．由此也可推出z 是奇数．21.2.2★设x 、y 、z 是勾股数，x 是质数，求证：21z -和()21x y ++都是完全平方数．解析 ()()222x z y z y z y =-=+-．因为x 是质数，所以2x 只有1、x 、2x 三个正约数．由于0z y z y +>->，所以有2,1.z y x z y ⎧+=⎨-=⎩由此得221z x -=，()21222x y x y ++=++()222121x x x =+-+=+， 所以21z -和2(1)x y ++都是完全平方数．21.2.3★求证：222n n +、21n +、2221n n ++(n 是正整数)是一组勾股数．解析 因为n 是正整数，2222122n n n n ++>+，222121n n n ++>+．由()()2222221n n n +++ ()22222441n n n n =++++()()222222221n n n n =++++ ()22221n n =++, 所以222n n +、21n +、2221n n ++是一组勾股数．21.2.4★若勾股数组中，弦与股的差为1，则勾股数组的形式为21n +、222n n +、2221n n ++，其中n为正整数．解析 设弦长为c ，股长为1c -，勾为x ．因为（c ，1c -）=1，所以x 、1c -、c 为一组基本勾股数．又c 为奇数，1c -为偶数，则x 为奇数． 设21x n =+，则()()222211n c c ++-=，得2221c n n =++，2122c n n -=+．所以，勾股数组具有形式21n +、222n n +、2221n n ++．21.2.5★★求证：勾股三角形的直角边的长能取任何大于2的正整数．解析 当n 是大于1的奇数时，212n -和212n +都是正整数，并且 222221122n n n ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当n 是大于2的偶数时，214n -和214n +都是正整数，并且 222221144n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由以上两式可以看出，勾股三角形的一直角边n 可取大于2的任何正整数．21.2.6★★求证：在勾股三角形中，(1)必有一条直角边的长是3的倍数；(2)必有一条直角边的长是4的倍数；(3)必有一条边的长是5的倍数．解析 设该勾股三角形的三边的长分别为a 、b 、c （c 是斜边)，则222a b c +=．只要证明a 、b 、c 是基本勾股数时的情况．不失一般性，设b 为偶数，则22a p q =-，2b pq =，22c p q =+， 其中p 、q 满足上述定理中的条件．(1)若p 、q 中至少有一个是3的倍数，则b 是3的倍数；若p 、q 都不是3的倍数，设31p k =±，31q l =±，则()()22223131a p q k l =-=±-± ()22996k l k l =+±±是3的倍数．(2)由于p 、q 一奇一偶，所以2b pq =是4的倍数．(3)若a 、b 都不是5的倍数，则2a 的末位数是1或9；2b 的末位数字是4或6．1+4=5，1+6=7，9+4=13，9+6=15，由于一个完全平方数的末位数不可能是7和3，所以222c a b =+的末位数只可能是5．于是c 的末位数是5．评注 由此可推出，勾股三角形的面积必是6的倍数；三边之积必是60的倍数．21.2.7★★求基本勾股数组，其中一个数是16．解析 设勾股数组x 、y 、z ，其中x =16．x =16=2×4×2=2×8×1，若4m =，2n =，有(,m n )-2≠1，从而只有8m =，1n =，(,)1m n =，且m 和n 为一奇一偶．于是 22228163y m n =-=-=，22228165z m n =+=+=．从而，只有一组基本勾股数16、63、65．评注 若不要求基本勾股数，则x =16=2×4×2，设4m =，2n =，得2212y m n =-=，2220z m n =+=．即16、12、20为一组勾股数．又22164322x ==⨯⨯，设232m =，22n =，得2230y m n =-=，2234z m n =+=．即16、30、34为一组勾股数．21.2.8★★设p 、m 、n 为一组勾股数，其中p 为奇质数，且n >p ，n >m ．求证：21n -必为完全平方数．解析 因为p 、m 、n 为一组勾股数，n p >，n m >，则有222n m p =+．()()222m n p n p n p =-=+-，m n p >-．设()1m n r r p =-<≤，则有()()222222p n m n n r r n r =-=--=-． 因为1r p <≤，p 为奇质数，则1r =(否则，若1r p <<，则|r 2p ，矛盾)．由1r =，得221p n =-，从而21n -是完全平方数．21.2.9★★直角三角形的三边的长都是正整数，其中有一条直角边的长是35，它的周长的最大值和 最小值分别是多少?解析 设直角三角形的三边长分别是35，b ，c ，则22235b c +=，即()()1225c b c b +-=．1225的大于35的正约数可作为c b +，其中最大的是1225，最小的是49，所以，直角三角形的周长的 最大值是35+1225=1260，最小值是35+49=84．21.2.10★★设n 为大于2的正整数．证明：存在一个边长都是整数的直角三角形，它的一条直角边长 恰为n ．解析 只需证明不定方程222x n z +=，有正整数解．利用()()2z x z x n -+=，结合z x -与z x +具有相同的奇偶性，故当n 为奇数时，由（z x -，z x +）=（1，2n ），可得不定方程的一组正整数解（x ，z ）=2211,22n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 而当n 为偶数时，由条件，知n ≥4．利用（z x -，z x +）=22,2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 可得不定方程的一组正整数解（x ，z ）=2244,44n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． 综上，可知命题成立。
第03讲数论问题3(1)-不定方程-例题简答
# #第三讲 数论问题 3-不定方程 1—线上课程讲义课程简答例题例1. （1）求方程17x + 40y = 1的整数解．（2）求方程17x + 40y = 3的整数解．（3）求方程111x - 321y = 75 的整数解．解：（1） 40 = 17 ⨯ 2 + 6 ， 17 = 6 ⨯ 2 + 5 ， 6 = 5⨯1+1∴1 = 6 - 5⨯1 = (40 -17 ⨯ 2) - (17 - 6 ⨯ 2) = (40 -17 ⨯ 2) -[17 - (40 -17 ⨯ 2) ⨯ 2] = 3⨯ 40 - 7 ⨯17#x = -7 ∴∃ % y = 3 !x = -7 + 40t 为方程的一组特解，∴" y = 3-17t(t ∈ Z ) 为方程的通解（2）由（1）可得"x = -21∃ y = 9 !x = -21+ 40t 为方程的一组特解，∴" # y = 9 -17t (t ∈ Z ) 为方程的通解 （3） 111x - 321y = 75 等价于37x -107 y = 25对于方程37x -107 y = 1 ， 107 = 37 ⨯ 2 + 33,37 = 33⨯1+ 4,33 = 4 ⨯ 8 +1∴1 = 33- 4 ⨯ 8 = (107 - 37 ⨯ 2) - (37 - 33) ⨯ 8 = (107 - 37 ⨯ 2) -[37 - (107 - 37 ⨯ 2)] ⨯ 8 = 9 ⨯107 - 26 ⨯ 37#x = -26 ∴∃ % y = -9为方程37x -107 y = 1 的一组特解#x = -650 ∴∃ % y = -225为方程37x -107 y = 25 的一组特解#x = -650 +107t ∴∃ % y = -225 + 37t(t ∈ Z ) 为方程111x - 321y = 75 的通解♥⎩&例2. 求不定方程组：♣⎧x + y + z = 30 ♦⎨3x + 2 y + z = 50 的正整数解．解：消去 z ，得2x + y = 20 !x = 10 #x = 10 + t ，显然 为一组特解，∴ ,(t ∈ Z ) 为方程的通解 " # y = 0 ∃ % y = -2t#x = 10 + t % 此时 z = 20 + t ,∴∃ y = -2t %z = 20 + t,(t ∈ Z ) 为方程组通解，当 t = -1;-2;-3;-4;-5;-6;-7;-8;-9 时满足题意 （自行求解即可）例3. 方程 x + 2y + 3z =10共有多少组正整数解．解：由于题目求正整数解，则 2x + y ≥ 3 ，∴ z = 1;2z = 1时有一组正整数解；当 z = 2 时，有 3 组正整数解，故共有 4 组正整数解．例4. 设 x ≤ y ≤ z ，求 1 + 1 + 1= 1的正整数解． x y z解：由 1 < 1 + 1 + 1 = 1 ≤ 1 + 1 + 1 ，得 x = 2 或 3． x x y z x x x 当 x = 2 时， 1 + 1 = 1 ≤ 2 ，故! y = 3 或! y = 4 ；当 x = 3 时， 1 12 ，故! y =3 ． y z 2 y " #z = 6 " #z =4 + = y z 3 " #z = 3例5. 求不定方程的整数解： xy = x 2 + 6解 1：（因式分解法）整理得： x ( y - x ) = 6 ；解 2：（分离部分分式法）整理得： y = x + 6 ；x均能得到 x | 6 ，所以是八组解!x = ±1 !x = ±2 !x = ±3 !x = ±6 " " " "# y = ±7 # y = ±5 # y = ±5 # y = ±7例6. 求方程xy - 2x +y = 4的整数解．解：（因式分解法）整理得；(x +1)( y - 2) = 2"x +1 = 1 "x +1 = 2 "x +1 =-1 "x +1 =-2####∃y - 2 = 2 ∃y - 2 = 1 ∃y - 2 =-2 ∃y - 2 =-1解得： (x, y) = (-6,-7),(-3,-5),(-2,-5),(-1,-7),(2,5),(3,5),(6,7) 例7. 求方程x2 -y2 + 2y - 61 = 0的正整数解．解：（因式分解法）整理得：(x +y -1)(x -y +1) = 60令A =x +y -1, B =x -y +1则 A +B = 2x 为正偶数，则说明 A, B同奇偶，显然均为偶数另外， y -1 ≥ 0 ，则 A ≥B"A = 30 !A = 10∴#∃B = 2"#B = 6"x = 16 !x = 8∴#"∃y = 15 #y = 3例8. 求方程的2m- 3 n= 1的正整数解．解：当m ≥ 3 时，2m ≡ 0(mod8), 3n ≡ 3 或1(mod8) ，方程无解∴m = 2, n = 1例9. 求方程8x +15y = 17z 的正整数解．解：∵8x≡ 0(mod 4),15y≡ 3y(mod 4),17z≡ 1(mod 4) ，∴y 为偶数∵8x≡ 1(mod 7),15y≡ 1(mod 7) ∴y 为偶数时能满足17z≡ 2(mod 7)令z = 2a ，y = 2b 得：(17a+15b)(17a-15b) = 23x，故17a+15b、17a-15b均为2 的方幂但由于(17a+15b) + (17a-15b) = 2 ⋅17a不是 4 的倍数，所以这两个 2 的方幂不可能都是4 的倍数∴17a-15b= 2 ，当b ≥ 2 ， 9 |15a,17a ≡±1(mod 9) ,矛盾，故a =b = 1 ， x =y =z = 2例10. 设m、n 为正整数，求36m -5n 的最小值．解：（1）当m = 1, n = 2 时，36m-5n=11；（2）下面说明11 即为最小值．由(36m- 5n) ≡ 3(mod 4),(36m- 5n) ≡ 1(mod 5) 36m - 5n ≡11或31(mod 60) (36m- 5n) ≡ 1;2(mod 3) ,由中国剩余定理(36m- 5n) ≡ 11;31(mod 60)故36m - 5n ≡ 11;29;31;49(mod 60) ，11 最小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三讲 不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件约束（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组，不定方程也称为丢番图方程.一．公式法解不定方程1． 勾股数方程定义2：形如222z y x =+的方程叫做勾股数方程，这里z y x ,,为正整数。
对于方程222z y x =+，如果d y x =),(，则22|z d ，从而只需讨论1),(=y x 的情形，此时易知z y x ,,两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。
定理3.勾股数方程222z y x =+满足条件y |2的一切解可表示为：2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中1),(,0=>>b a b a 且b a ,为一奇一偶。
推论：勾股数方程222z y x =+的全部正整数解（y x ,的顺序不加区别）可表示为：d b a z abd y d b a x )(,2,)(2222+==-=，其中1),(,0=>>b a b a 且b a ,为一奇一偶，d 是一个整数.1、证明：方程442x y z +=无正整数解.证明：假设442x y z +=存在正整数解，其中z 最小的解记为0z 。
因为()()22222xy z +=，根据勾股方程的通解公式有2222220,2,x a b y ab z a b =-==+，其中,a b 一奇一偶，(),1a b =。
从222x a b =-可以得到a 为奇数，b 为偶数，令2b s =，224y ab as ==，其中(),1a s =，所以22,,(,)1a t s q t q ===。
由222x a b=-得2444x t q =-，即2444x q t +=，又可以通过勾股方程的通解公式222222,22,,(,)1x l m q lm t l m l m =-==+=，注意到2q lm =，所以2200,l l m m ==，24400t l m =+，而420z t b t =+>，与0z 的最小性矛盾。
所以原方程组无正整数解。
2．Pell 方程（沛尔方程）定义3.方程*22,,(4,1N d Z y x dy x ∈∈±±=-且不是平方数)是c dy x =-22的一种特殊情况，称为沛尔(Pell)方程。
这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程c dy x =-22的研究，其中d c ,都是整数，0>d 且非平方数，而0≠c 。
它主要用于证明问题有无数多个整数解。
对于具体的d 可用尝试法求出一组成正整数解。
如果上述pell 方程有正整数解),(y x ，则称使y d x +的最小的正整数解),(11y x 为它的最小解。
定理4.Pell 方程*22,,(1N d Z y x dy x ∈∈=-且不是平方数)必有正整数解),(y x ，且若设它的最小解为),(11y x ，则它的全部解可以表示成：1111*11111()()2()()()n nn n n n x x x n N y x x ⎧⎡⎤=+⎪⎣⎦⎪∈⎨⎪⎤=-⎦⎪⎩.上面的公式也可以写成以下几种形式： （1）n n n d y x d y x )(11+=+；（2）⎩⎨⎧+=+=++n n n n n n x y y x y y dy x x x 111111；（3）11111122n n n n n n x x x x y x y y +-+-=-⎧⎨=-⎩.定理5.Pell 方程*22,,(1N d Z y x dy x ∈∈-=-且不是平方数)要么无正整数解，要么有无穷多组正整数解),(y x ，且在后一种情况下，设它的最小解为),(11y x ，则它的全部解可以表示为21211111*212111111()()2()()()n n n n n n x x x n N y x x ----⎧⎡⎤=+⎪⎣⎦⎪∈⎨⎪⎤=+-⎦⎪⎩1. 求出方程1722=-y x 的所有正整数解. 解：先求最小解),(11y x 。
令 ,3,2,1=y当1=y 时，8712=+y ；当2=y 时，29712=+y ；当3=y 时，2286471==+y 。
所以1722=-y x 的最小解为)3,8(，于是：[][])(])738()738[(721)()(21])738()738[(21)()(21*11111111N n y d x y d x d y y d x y d x x nn n n n n n nn n ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=--+=-++=-++=. 2. 证明：有无穷多个正整数n，使得⎤⎦是完全平方数.证明：构造法因为沛尔方程2221x y -=-有正整数解1x y ==，故该方程有无穷多组正整数解设,u v 是方程的任意一组正整数解，则2221v u =+，上式两边同乘以2u ，得: 22422v u u u =+，则221u u =+故2u ⎤=⎦，取n uv =，即得出无穷多个满足条件的正整数n ，命题得证.3. （费尔马（Fermat ）大定理）方程3(≥=+n z y x nn n 为整数)无正整数解。
费尔马（Fermat ）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles 完全解决了这一难题。
二、同余分析法解不定方程【方法提示】：利用同余分析法解不定方程就是在方程两边选取适当的模后，往往能找到方程解应满足的某些必要条件，甚至推出方程无整数解，这样的方法灵活多变，在竞赛中尤为多见.1、1231231232p p 7p =1826p ,p ,p ,.3p 5p 7p =2007-+⎧⎨++⎩求所有的质数使得2.已知,x y 是质数，求不定方程219y x x y xy -=-的解。
解：若x y =，则显然无解，有已知方程可得：()19mod yx y ≡-.易知(),1x y =.由费尔马小定理，有()11mod y xy -≡，于是()190mod x y +≡，同理得：()190mod y x -≡.因为()190mod x y y -+≡，()190mod x y x -+≡，所以()190mod x y xy -+≡ 易知190x y -+≠，于是有1919xy x y x y ≤-+<++，即得()()1120x y --<. 因此1919x y xy x y -<≤-+，，即()()1118x y +-≤.所以当5x ≥时，2y =或3y =，此时23220,30,190,x x x x xy -<-<->矛盾.从而当4x =时，容易验证值，原方程的解为()()2,32,7，. 3.证明：不定方程22386x y z +-=没有整数解.证：模2知：,x y 的奇偶性相同；模4知：,x y 都是奇数；从而()()221mod81mod8x y ≡≡，.方程两边同时模8：有()223682mod8x y z ≡+-≡，矛盾，故原方程无整数解.【巩固练习】1．求所有满足zyx17158=+的正整数三元组),,(z y x .解：两边取8mod ，得)8(mod 1)1(≡-y ，所以y 是偶数，再7mod 得)7(mod 32z≡，所以z 也是偶数。
此时令),(2,2N t m t z m y ∈==，于是由zyx17158=+可知：)1517(23m t x -=)1517(mt +；由唯一分解定理：s m t 2)1517(=-，s x m t -=+32)1517(，从而131322)22(2117----+=+=s x s s x st注意到17是奇数，所以要使131322)22(2117----+=+=s x s s x st成立，一定有1=s 。
于是21517=-mt 。
当2≥m 时，在21517=-mt 的两边取9mod ，得)9(mod 2)1(≡-t ，这显然是不成立的，所以1=m ，从而2,1==x t ，故方程zy x 17158=+只有唯一的一组解（2，2，2）. 2．求方程235xyz -=的正整数解.解析：首先31,3(mod 4)x ≡，51(mod 4)y ≡，从而31(mod 4)x ≡，,x z 为偶数。
方程可以转化235x yz -=，2235k y z -=，(3)(3)5k k yz z -+=，3535k s k t z z ⎧-=⎪⇔⎨+=⎪⎩5532552s t k s tz ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，2355552k s tt s z ⎧⨯=+⎪⎨-=⎪⎩。
所以0s =，即得2315512k yy z ⎧⨯=+⎪⎨-=⎪⎩，下面研究2315k y ⨯=+，当2k ≥时，()150mod18y +≡，()517mod18y ≡，通过尝试的方法可以得到：()()2357mod18,51mod18≡≡-，()651mod18≡，63y l =+，632315k l +⨯=+，在考虑模7的余数，636363323151(72)12120(mod7)k l l l +++⨯≡+≡+-≡-≡-≡，矛盾。
所以1,1k y ==，由此可以得到方程的解为2,1,2x y z ===。
3. 已知37ab+为完全平方数，求,a b .解析：37ab +须为4的倍数，从而,a b 一个为奇数，一个为偶数。
若2,21a k b l ==+，则2237kb z +=，同上，应该有2371k b ⨯=-，当2k ≥时，()710mod18b -≡，()717mod18b ≡，通过尝试的方法可以得到：()()23713mod18,71mod18≡≡， 矛盾，所以0,1k =，满足条件的,a b 为()(),0,1(2,1)a b == 仍然考虑2317kb⨯=+4. 求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．解 令x x x x =++321，y x x =+54，z x =6，则1,2,3≥≥≥z y x ．先考虑不定方程2153=++z y x满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解．1,2,3≥≥≥z y x ，123215≤--=∴y x z ，21≤≤∴z ．当1=z 时，有163=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)4,4(),3,7(),2,10(),(=y x ． 当2=z 时，有113=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)2,5(),(=y x ．所以方程2153=++z y x 满足：1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解为 (10,2,1),(7,3,1),(4,4,1),(5,2,2)． 又方程)3,(321≥∈=++x N x x x x x 的正整数解的组数为21x C -， 方程y x x =+54)2,(≥∈x N y 的正整数解的组数为11C -y ， 故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为81693036C C C C C C C C 1124132312261129=+++=+++．5. 求不定方程(1)!1k n n -=-的全部正整数解.解：当1n =时，无解；当2n =时，121k=-，有1k =；当2n >是，(1)!n -为偶数，n 必为奇数.1 当3n =时，231k =-，1k =2 当5n =时，2451,2k k =-=3 当5n >时，11(2)!(2)22n n n n ---≤-，12(2)!2n n -- 故(1)(2)!n n --，则2(1)1kn n --而1111(11)1(1)(1)(1)k k k k k k k n n n C n C n ---=-+-=-+-++- 所以21(1)(1)k k n C n ---，则()1n k -，1n k -≤故111(1)!k n n nn --≥->-，与2(1)1k n n --矛盾，则无解。